幂线性空间的刻画

幂线性空间的刻画

1是料av的非空子集,v又作线性空间近年来，随着序列结构和拓扑结构的改进，代际结构的改进引起了越来越多的人的注意。因此，序列结构、拓扑结构和迭代结构的改进取得了许多重要成果。例如，在本文中，提出了代际结构的改进，在文本中显示了环粉丝的改进，在文本中显示了格思的改进。设F是一个数域,V为F的线性空间,记P(v)={A|AV},P0(V)=P(V)-Φ.定义1设Γ是P0(V)的非空子集,如果A,B∈Γ和λ∈,满足运算:而做成线性空间,则称r为V上的幂线性空间.{0}称为幂线性空间的零元.注由于Γ是P0(V)的非空子集,所以Γ是V中A这类子空间的集合,但Γ也许含有限个诸如A这样的V的子空间,也可以含有无限个诸如A这样的V的子空间,但只要ΓP0(V)并满足上述两种运算,便可定义Γ为V的幂线性空间.显然,A是Γ中的元素,并且A是V的子集.定义2数域F上幂线性空间Γ的一个非空子集T称为Γ的一个幂线性子空间,如果Γ对于Γ的两种运算也构成数域F上的幂线性空间.事实上,幂线性空间Γ的非空子集T满足下面两个条件,则Γ是幂线性空间Γ的幂线性子空间.(1)A∈Γ,有λA∈Γ.(2)A,B∈Γ有A+B∈Γ.定理1在幂线性空间中,有单个的零向量组成的子集,是一个幂线性子空间,它叫做零幂子空间.Γ中可以有这样的幂线性子空间,如{{10}}.零幂子空间和幂线性空间本身这两个幂子空间叫做平凡幂子空间,而其它的幂线性空间叫做非平凡幂子空间.22的线性范围定理2如果Γ,,Γ2是幂线性空间Γ的两个幂子空间,那么它们的交Γ1∩Γ2也是Γ的幂子空间.证明首先由{0}∈Γ1,{0}∈Γ2可知{0}∈Γ1∩Γ2,显然Γ1∩Γ2非空.其次,如果A,B∈Γ1∩Γ2,即A,B∈Γ1,A,B∈Γ2A+B∈Γ1,A+B∈+Γ2,因此,A+B∈Γ1∩Γ2.对数量乘积可以同样地证明,所以Γ1∩Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间.注这里A+B={α+β|α∈A,β∈B}.Γ1∩Γ2=Γ2∩Γ1(交换律),(Γ1∩Γ2)∩Γ3=Γ1∩(Γ2∩Γ3)(结合律).定义3设Γ1,Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间,所谓Γ1,Γ2的和是指所有能表示成A1+A2,而A1∈Γ1,A2∈Γ2的向量组成的子集合,记做Γ1,+Γ2.如果Γ1,Γ2是Γ的幂子空间,那么它们的和也是Γ的幂子空间.事实上,因为{0}∈Γ,,{0}∈Γ2,显然{0}∈Γ1+Γ2,显然Γ1+Γ2是非空的.其次,如果A,B∈Γ,+Γ2,即A+B=(A1+B1)+(A2+B2).A1+B1∈Γ1,A2+B2∈Γ2.A+B∈Γ1+Γ2,kA=kA1+kA2∈Γ1+Γ2,所以Γ1+Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间.定理3(维数公式)如果Γ1,Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间,那么维(Γ1)+维(Γ2)=维(Γ1+Γ2)+维(Γ1∩Γ2).证明设Γ1,Γ2的维数分别是n1,n2,Γ1∩Γ2的维数是m.取Γ1∩Γ2的一组基它可以扩充成Γ1的一组基A1,A2,…,Am,B1,…,Bn1-m.A1,A2,…,Am,C1,…,Cn2-m.A1,A2,…,Am,B1,…,Bn1-m,C1,…,Cn2-m.(1)是Γ1+Γ2的一组基,这样,Γ1+Γ2的维数就等于n1+n2-m,因而维数公式成立.因为Γ1=L(A1,A2,…,Am,B1,…,Bn1-m),r2=L(A1,A2,…,Am,C1,…,Cn2-m).Γ1+Γ2=L(A1,A2,…,Am,B1,…,Bn1-m,C1,…,Cn2-m).现在来证明向量组(1)是线性无关的,假设有等式令由第一个等式,A∈Γ1,而由第二个等式看出,A∈Γ2,于是,A∈Γ1∩Γ2,即A可以被线性A1,A2,…,Am表出.令A=l1A1+l2A2+…+lmAm,则由于A1,A2,…,Am,C1,…,Cn2-m线性无关,得l1=…=lm=q1=…=qn2-m=0,因而A=0,从而有由于A1,A2,…,Am,B1,…,Bn1m线性无关,又得这就证明了A1,A2,…,Am,1B,…,Bn1-m,C1,…,Cn2-m线性无关,因而它是Γ1+Γ2的一组基,故维数公式成立.推论如果n维幂线性空间Γ中两个幂子空间Γ1,Γ2的维数之和大于n,那么Γ1,Γ2必含有非零的公共向量.证明由假设维(Γ1)+维(Γ2)=维(Γ1+Γ2)+维(Γ1∩Γ2)>n.但因Γ1+Γ2是Γ的幂子空间,故有维(Γ1+Γ2)≤n,维(Γ1∩Γ2)>0.这就是说,Γ1∩Γ2中含有非零向量.定义4Γ1,Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间.如果和Γ1+Γ2中每个向量A的分解式A=A1+A2,A1∈Γ1,A2∈Γ2,是唯一的,这个和就成为直和,记做Γ1⊕Γ2.定理4设Γ1,Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间,和Γ1,Γ2是直和的充要条件是等式A1+A2={0},A1∈Γ1,A2∈Γ2只有在A1,A2全为零向量时才成立.证明定理的条件实际上就是零向量的分解式是唯一的,因而这个条件显然是必要的,下面来证明这个条件的充分性.设A∈Γ1+Γ2它有两个分解式A=A1+A2=B1+B2,A1,B1∈Γ1,A2,B2∈Γ2.(A1-B1)+(A2-B2)=0.A1-B1∈Γ1,A2-B2∈Γ2.A1-B1=0,A2-B2=0.推论和Γ1+r2为直和的充要条件是Γ1∩Γ2={{0}}.证明先证条件的充分性,假设有等式,A,+A2={0},A1∈Γ1,A2∈Γ2即A1=-A2∈Γ1∩Γ2.A1=A2={0},这就证明了Γ1+Γ2是直和.再证必要性,任取向量A∈Γ1∩Γ2,于是零向量可以表示,{0}=A+(-A),A∈Γ1,-A∈Γ2.因为是直和,所以A=-A={0}这就证明了Γ1∩Γ2={{0}}.定理5设Γ1,Γ2是幂线性空间Γ的幂子空间,令Γ=Γ1+Γ2,则T=Γ1⊕Γ2的充要条件是维(T)=维(Γ1)+维(Γ2).证明因为维(T)+维(Γ1∩Γ2)=维(Γ1)+维(Γ2)而由前面定理4的推论知,Γ1+Γ2为直和的充要条件是Γ1∩Γ2={{0}},这是与维(Γ1∩Γ2)=0是等价的,也就与维(T)=维(Γ1)+维(Γ2)等价,这就证明了定理.定理6设Γ1是幂线性空间Γ的幂子空间,那么一定有一个幂子空间Γ2,使得Γ=Γ1⊕Γ2.定理7设Γ1,Γ2,…,Γs都是幂线性空间Γ的幂子空间,如果和Γ1+Γ2+…+Γs中每一个向量A的分解式A=A1+A2+…+As,Ai∈Γi,(i=1,2,…,s)是唯一