不等式及其性质(基础)知识讲解

PAGE不等式及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2.理解不等式的基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．【高清课堂：一元一次不等式\o"查看资源信息"370042不等式的基本性质】要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．不等式的基本性质4：如果a＞b，那么b＜a.不等式的基本性质5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念 1．（春•辽阳校级期中）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27 D．18≤t≤27【思路点拨】根据不等式的定义进行解答即可．【答案】D．【解析】解：∵贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，某一天的气温为t℃，∴27≤t≤18．【总结升华】本题考查的是不等式的定义，熟知用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式是解答此题的关键．举一反三：【变式】的值一定是（）．A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零【答案】D.2.下列叙述：①a是非负数则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10＜2；

③“x的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2+b2＞0．其中正确的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案与解析】①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确；

②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10≤2；故②错误；

③“x的倒数超过10”就是“③“x的倒数大于10”，可表示为＞10．故③正确；

④“a，b两数的平方和为正数”，即“；④“a，b两数的平方和大于零”，可表示为a2+b2＞0．故④正确．

综上所述，正确的说法有3个．故选C．【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．类型二、不等式的基本性质3.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．

（1）若

b-3a＜0，则b＜3a；（2）如果-5x＞20，那么x＞-4；（3）若a＞b，则

ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则

a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a＞b＞0，则<．【答案与解析】（1）若由b-3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；

（2）如果-5x＞20，两边同除以-5不等号方向改变，故错误；

（3）若a＞b，当c=0时则

ac2＞bc2错误，故错误；

（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；

（5）若a＞b，根据c2+1，则

a（c2+1）＞b（c2+1）正确．

（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则<．正确．

故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个负数,不等号方向改变.4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是().A．a+c＞b+cB．c-a＞c-bC．ac＞bcD．【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】A.【解析】A、在不等式的两边同时加上c不等号方向不变，故本选项正确；

B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c后不等号方向改变，故本选项错误；

C、两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；

D、两边同时除以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】（•乐山）下列说法不一定成立的是（）A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞bC．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b【答案】C．解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+