《数字电子技术》课件-第二章 逻辑代数基础

《数字电子技术》（第六版）教学课件第二章

逻辑代数基础第二章逻辑代数基础2.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及其描述方法2.6逻辑函数的化简法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简2.8多输出逻辑函数的化简2.9逻辑函数形式的变换

P03P05P16P22P28P46P62P66P70目录CONTENTS2.1概述在二值逻辑中的变量取值：0和13.逻辑运算的数学基础：2.逻辑代数1.

事物的因果关系逻辑：2.2逻辑代数中的三种基本运算只要条件具备了，结果便不会发生；而条件不具备时，结果便一会发生；也称为逻辑求反。Y=A'=NOTA非3.1.与只有决定事物的所有条件同时具备时，结果才能够发生。也称为逻辑相乘Y=AANDB=A&B=A·B=AB2.或条件之一具备，结果就会发生。也称为逻辑相加。Y=AORB=A+B2.2逻辑代数中的三种基本运算——与表达式3.逻辑运算的真值表2.1.定义与的电路图使用”·”表示与运算。所以A和B进行与逻辑运算时可写成Y=A·BABY000010100111以A=1表示开关A合上;

A=0表示开关A断开；

以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；

与运算——只有当决定件事情的条件全部具备之后,这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑2.2逻辑代数中的三种基本运算——或表达式3.逻辑运算的真值表2.1.定义或的电路使用”+”表示或运算。所以A和B进行或逻辑运算时可写成Y=A+BABY000011101111以A=1表示开关A合上;

A=0表示开关A断开；

以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；

2.2逻辑代数中的三种基本运算——非表达式3.逻辑运算的真值表2.1.定义与的电路使用”'”表示非运算。所以A和B进行非逻辑运算时可写成Y=A'AY0110以A=1表示开关A合上;

A=0表示开关A断开；

以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；

2.2逻辑代数中的三种基本运算的图形符号非3.或2.1.与几种常用的复合逻辑运算——与非表达式3.

与非的真值表2.1.与非的图形符号

ABY001011101110所以A和B进行与非逻辑运算时可写成Y=(AB)'几种常用的复合逻辑运算——或非表达式3.

或非的真值表2.1.或非的图形符号

ABY001010100110所以A和B进行或非逻辑运算时可写成Y=(A+B)'几种常用的复合逻辑运算——异或表达式3.

异或的真值表2.1.异或的图形符号

ABY000011101110所以A和B进行异或逻辑运算时可写成

Y=A

B几种常用的复合逻辑运算——同或表达式3.

同或的真值表2.1.同或的图形符号

ABY001010100111所以A和B进行同或逻辑运算时可写成

Y=A⊙B几种常用的复合逻辑运算——与或非

与或非的真值表ABCDY000010001100101001100100101011011010111010001100111010110110110001101011100111102.表达式3.所以A和B进行与或非逻辑运算时可写成

Y=(AB+CD)'1.与或非的图形符号2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式序号公

式序号公

式10·A=0101′=0;0′=121·A=A111+A=13A·A=A120+A=A4A·A′=013A+A=A5A·B=B·A14A+A′=16A·(B·C)=(A·B)·C15A+B=B+A7A·(B+C)=A·B+A·C16A+(B+C)=(A+B)+C8(A·B)′=A′+B′17A+BC=(A+B)(A+C)9(A′)′=A18(A+B)′=A′·B′例2.3.1：公式（17）的证明：A+BC=(A+B)(A+C)将A,B,C的所有取值组合和公式（17）两边的依次列出，算出相应的结果。可见，等式两边对应的真值表相同，故等式成立。ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2若干常用公式这些公式是利用基本公式导出的。直接运用这些导出的公式可以给化简逻辑函数的工作带来方便。序

号公

式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′常用公式的推导A·B+A·B′=AA·B+A·B′=A·(B+B')=A·1=A3.A+A′B=A+B2.A+A′B=（A+A'）·（A+B）=1（A+B）=A+B1.

A+A·B=A（1+B）=A·1=AA+A·B=AABABBA常用公式的推导AB+AB′=AAB+AB′=A(B+B')=A1=A6.A′(AB)′=A′5.

A'·(A·B)′

=A'(A'+B')=A'A'+A'B'=A'·(1+B′)=

A'

4.

A(A+B)

=A·A+A·B=A+A·B=AA(A+B)=AABABAB2.4逻辑代数的基本定理

2.4.1代入定理2.4.2反演定理2.4.3对偶定理对于任意一个逻辑式Y,若将其中的所有“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y'。在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。若两逻辑式相等，则他们的对偶式也相等。2.4逻辑代数的基本定理代入定理反演定理对偶定理2.4.1代入定理——

例：用定理证明摩根定理也适用于多变量的情况解：已知二变量的摩根定理为（A+B）'=A'·B'及（A·B）'=A'+B'令以（B+C）代入左边等式B中的位置，同时以（BC）代入右边等式中B的位置，于是得到（A+(B+C)）'(A·(B·C))'=A'·(B+C)'=A'+(B·C)'=A'·B'·C'=A'+B'+C'2.4.2反演定理例：2.4.2,2.4.33.规则2.仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序。不属于单个变量上的反号应保留不变。 1.规律

原变量反变量

反变量原变量已知Y=A(B+C)+CD，求Y'解：Y'=(A'+B'+C')(C'+D')=A'C'+B'C'+A'D'+B'C'D'=A'C'+B'C'+A'D'若Y=((AB'+C)'+D)'+C，求Y'解：Y=(((AB'+C)'+D)')'C'=((A'C'+BC')+D)C'=A'C'+BC'+C'D2.4.3对偶定理例如：若Y=A(B+C)，则YD=A+BC

若Y=(AB+CD)'，则YD=((A+B)(C+D))'若Y=AB+(C+D)'，则YD=(A+B(CD)'若两逻辑式相等，则他们的对偶式也相等。例：证明A+BC=(A+B)(A+C)解：得对偶式A(B+C)和AB+AC

由分配律可知A(B+C)=AB+AC

根据对偶定理得，A(B+C)=(A+B)(A+C)2.5逻辑函数及其描述方法2.5.1逻辑函数2.5.2逻辑函数的描述方法真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图计算机软件中的描述方式2.5.3逻辑函数的两种标准形式2.5.1逻辑函数由于变量和输出（函数）的取值只有0和1两种状态，所以我们所讨论的都是二值逻辑函数PS:3.1.逻辑函数定义若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。2.逻辑函数表达式Y=F(A,B,C,······)2.5.2逻辑函数的描述方法将输入变量所有的取值下相应的输出值找到，列成表格，即可得到真值表将输出与输入之间的逻辑关系写成与，或，非运算的组合式，即逻辑函数式。将逻辑关系用图形符号表示出来，即逻辑图。将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来真值表②逻辑式,逻辑图③波形图④卡诺图2.5.2逻辑函数的描述方法——真值表

真值表要求解例：功能需求A为主裁判；B,C为副裁判；开关闭合为合格，通过；只有当主裁判A通过时，副裁判B,C至少一人通过时，认定通过。A,B,C为输入变量；Y为输出值。假设1表示开关闭合，

0表示开关断开；

Y

1表示通过，

0表示没有通过。ABCY00000010010001101000101111011111真值表:将输入变量所有的取值下相应的输出值找到，列成表格，即可得到真值表2.5.2逻辑函数的描述方法——逻辑式,逻辑图逻辑式,逻辑图与，或门要求在A开关闭合的基础上，

A·()B,C开关任意一个闭合（B+C）即可。Y=A·(B+C)逻辑式：将输出与输入之间的逻辑关系写成与，或，非运算的组合式，即逻辑函数式。逻辑图：将逻辑关系用图形符号表示出来，即逻辑图。每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。找出真值表中使

Y=1的输入变量取值组合。将这些变量相加即得

Y的逻辑函数式。5.各种表现形式的相互转换：真值表==>逻辑式1.2.3.把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出函数值，列成表即可.

逻辑式==>真值表5.各种表现形式的相互转换：真值表<==>逻辑式由真值表可知解：A=0,B=1,C=1时Y=A′BC=1A=1,B=0,C=1时Y=AB′C=1A=1,B=1,C=0时Y=ABC′=1

例：

根据真值表写出逻辑式ABCY00000010010001111000101111011110解：这三种取值的任何一种都使Y=1，所以得Y=A'BC+ABC'+ABC'用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。5.各种表现形式的相互转换：逻辑图<==>逻辑式逻辑图==>逻辑式逻辑式==>逻辑图5.各种表现形式的相互转换：逻辑图<==>逻辑式设门的输出为①②③④⑤解：例：画出其对应的逻辑图①=（A+B）'；②=B'；③=A'；④=（②+③）’=（B'+A'）'=AB⑤=（①+④）’=（（A+B）‘+AB）’=（A'B'+AB）‘=（A⊙B）’=A

B=Y②①③④⑤2.5.3逻辑函数的两种标准形式——最小项

两变量A,B的最小项（22个）A'B'，A'B，AB'，AB；三变量A,B,C的最小项（23个）A'B'C'，A'B'C，A'BC'，A'BC，AB'C'，AB'C，ABC'，ABC；最小项举例例1.定义：在n变量逻辑函数中m是包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为这组变量的最小项。对于n变量函数有2n个最小项最小项中A'表示0，A表示1.2.5.3逻辑函数的两种标准形式——最小项编号表最小项取值对应十进制数编号ABCA'B'C'0000m0A'B'C0011m1A'BC'0102m2A'BC0113m3AB'C'1004m4AB'C1015m5ABC'1106m6ABC1117m7全体最小项之和为1。在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。任何两个最小项之积为0。最小项的性质1.2.3.具有相邻性的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。4.相邻性相邻：仅一个变量不同的最小项2.5.3逻辑函数的两种标准形式——最小项之和的形式：例：Y(A,B,C,D)=ABC'D+BC2.1.例：将Y(A,B,C)=ABC'+BC化为最小项利用公式A+A'=1可将任何一个函数化为解：利用公式（A+A'）（B+B'）=1·1可将任何一个函数化为解：2.5.3逻辑函数的两种标准形式——最大项

三变量A,B,C的最大项（23个）（A'+B'+C'），（A'+B'+C），（A'+B+C'），（A'+B+C），（A+B'+C'），（A+B'+C），（A+B+C'），（A+B+C）；最大项举例例1.定义：在n变量逻辑函数中M是包含n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为这组变量的最大项。对于n变量函数有2n个最大项最大项中A表示0，A'表示1.2.5.3逻辑函数的两种标准形式——最大项最大项取值对应十进制数值编号ABCA'+B'+C'11171M7A'+B'+C11061M6A'+B+C'10151M5A'+B+C10041M4A+B'+C'01131M3A+B'+C01021M2A+B+C'00111M1A+B+C00000M0三变量的最大项的编号表2.全体最大项之积为0；3.任何两个最大项之和为1；4.只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。1.在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；最大项的性质全体最大项之积为0；在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；任何两个最大项之和为1；最大项的性质1.2.3.只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。4.2.6逻辑函数的化简法化简原因逻辑式越是简单，它所表示的逻辑关系越明显，同时也有利于使用最少的电子器件实现这个逻辑函数。最简形式——与或与或包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。例Y=ABC+B'C+ACDY=AC+B'C同一逻辑函数，下式为最简形式2.6逻辑函数的化简法2.6.1公式化简法并项法——AB+AB'=A

吸收法——A+AB=A消项法——AB+A'C+BC=AB+A'C消因子法——A+A'B=A+B配项法——写入A+A=A；A+A'=12.6.2卡诺图化简法2.6.1公式化简法

反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。

例：

（根据A+AB=A，消去A'BCD'）——吸收法（根据A+A'B=A+B，消去（B'C）'）——消因子法（根据A+AB=A，消去AC和AB'DE）——吸收法（根据AB+A'C+BC=AB+A'C，消去CD'）——消项法（根据AB+A'C+BC=AB+A'C，消去CD'）——消项法（根据AB+A'C+BC=AB+A'C，消去CD'）——消项法（根据AB+A'C+BC=AB+A'C，消去CD'）——消项法（根据AB+A'C+BC=AB+A'C，消去CD'）——消项法将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来实质：以2n个小方块分别代表n变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。2.6.2卡诺图化简法——逻辑函数的卡诺图表示法

表示最小项的卡诺图4变量的卡诺图三变量的卡诺图二变量卡诺图卡诺图中两两之间为逻辑相邻即只有一个因子不同。表示最小项的卡诺图五变量的卡诺图2.6.2卡诺图化简法——用卡诺图表示逻辑函数卡诺图表示Y=A'B'C'D+A'BD'+AB'例Y=A'B'C'D+A'BD'+AB'=A'B'C'D+A'B(C+C')D'+AB(C+C')(D+D')=A'B'C'D+A'BCD'+A'BC'D'+ABCD+ABCD'+ABC'D+ABC'D'=将函数表示为最小项之和的形式。在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添0。用卡诺图表示逻辑函数2.6.2卡诺图化简法——用卡诺图化简函数以四变量的逻辑式为例：假设Y=ABCD+ABCD'ABCD和ABCD'仅有一变量不同，则可以提出相同的三个因子化简

Y=ABC(D+D')=ABC·1=ABC证明依据1.依据具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。2.在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子。两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子合并最小项的原则：1.2.3.两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子00011110000111100001111000011110四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子

11111111111111ABCD八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子

111111111111ABCD化简后的乘积项相加（项数最少，每项因子最少）找出可合并的最小项用卡诺图表示逻辑函数1.2.用卡诺图化简函数——化简步骤3.每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大。乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少。化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即覆盖图中所有的1。1.2.用卡诺图化简函数——卡诺图化简的原则3.

0001111001

0001111001例2.6.10

用卡诺图化简法化简Y=AC'+A'C+BC'+B'C函数式找出可合并的最小项3.1.化为最小项和Y=A(B+B')C'+A'(B+B')C+(A+A')BC'+（A+A'）B'C=m1+m2+m3+m4+m5+m62.画出卡诺图01111101ABC01111101ABC

000111100101111101ABC化简结果不唯一!

000111100001

1110盲区1001000000001001ABCD卡诺图的四个边沿之间也属于相邻的关系第七节

具有无关项的逻辑函数及其化简2.7.1约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项2.7.2无关项在化简逻辑函数中的应用2.7.1约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。无关项3.1.约束项在逻辑函数中，对输入变量取值的限制，在这些取值下为1的最小项称为约束项。2.任意项在输入变量某些取值下，函数值为1或为0不影响逻辑电路的功能，在这些取值下为1的最小项称为任意项加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每项因子最少······合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的