重难点07函数与方程的综合应用问题（四大题型）

重难点07函数与方程的综合应用问题【题型归纳目录】题型一：零点问题题型二：函数嵌套问题题型三：共零点问题题型四：等高线问题【典型例题】题型一：零点问题例1．函数，，的零点分别为a，b，c，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，可得，因为，所以，，可得，所以；令，可得，因为，所以，，可得，所以；令，可得，因为，所以，，可得，所以；综上，．故选：A．例2．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是满足的偶函数，且当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，则当时，，因为函数是满足的偶函数，所以函数的一个周期为，所以函数的图像如下：函数有个零点即为的图像有个交点，当时显然不符合题意；当时，与函数的图像如图：有且只有个交点，与题意不符；当时，若满足题意，则与函数的图像如图：即，解得．故选：D．例3．已知，则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题设，当时且递减，当时且递减，令，则，可得或，如下图示：由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点．故选：C变式1．已知定义在上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为6 B．在区间上单调递增C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点【答案】C【解析】因为，所以令，得，故，又为偶函数，所以，所以，即，故，所以的一个周期为12，故A错误；又在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，由周期性可知在区间上单调递减，故B错误；因为为偶函数，所以图像关于y轴对称，由周期性可知图像关于直线对称，故C正确；因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，又，所以由周期性可知，在区间上，，而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，又，所以在区间上有337个零点，由于为偶函数，所以在区间上有674个零点，故D错误；故选：C．变式2．若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（

）A．14 B．13 C．12 D．11【答案】C【解析】因为，则，所以是周期为2函数，因为时，则、的图象如下：时且递增，时且递减，时且递增，又，，，由图知：区间上函数交点共有12个．故选：C．变式3．已知函数在恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时为减函数，且，若，此时当时，无零点，所以当时，有两个零点，由，得，此时满足条件，当时，当时，只有一个零点，要使恰有2个零点，则只需当时，只有一个零点即可，由，得，当时，由，得，只有一个零点，满足条件，当时，因为，所以要使当时只有一个零点，则且，得，此时或，综上，或，即实数的取值范围是，故选：D变式4．已知函数恰有3个不相等的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，为减函数，且，若，此时当时，没有零点，则必须当时，有3个零点，由，得，，不满足；当时，当时，只有1个零点，要使恰有3个零点，则需当时，有2个零点，由得或，∴要使当时有2个零点，且，得，综上，实数的取值范围是，故选：A．变式5．函数，若有个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，可得，解得或，如下图所示：由图可知，直线与函数的图象有两个交点，又因为函数有四个零点，故直线与函数有两个零点，且，所以，且，因此，实数的取值范围是．故选：D．题型二：函数嵌套问题例4．已知函数若方程有4个不同的零点，且，则（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【解析】由题意，方程有4个不同的零点，即曲线与直线有4个不同的交点，如下图因为，所以由图知，且，可得：，∴，解得：，则，∴.故选：A.例5．设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知函数，有2个不同的零点；令，得，有2个对应的根，根据判别式法则有与两种情况：当时，即，得，即，解得，即，此时无解，所以此种情况不符题意；当时，即，得；设的实根为：和，不妨设，则，则方程与一共有两个不等实根．进一步可知：方程和有且仅有一个方程有两个不等实根．即和中一个方程有两不等实根，另一个方程无实根．因为，所以，即，即，则，设，则，则，所以，解得，，，即．故选：B.例6．已知函数，则函数的零点个数是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】函数的零点，即方程和的根，函数的图象，如下图所示：由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点．故选：C．变式6．已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（

）A．6 B． C．2 D．【答案】B【解析】由函数的图象，经过沿轴翻折变换，可得函数的图象，再经过向右平移1个单位，可得的图象，最终经过沿轴翻折变换，可得的图象，如下图：则函数的图象关于直线对称，令，则，由图可知，当时，有个零点，当时，有个零点，因为函数有6个不同的零点，所以函数有两个零点，一个等于，一个大于，又因为的最小的零点为，且，所以函数的两个零点，一个等于，一个等于，根据韦达定理得，，即，，则．故选：B．变式7．已知函数，则函数零点个数最多是（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】画出的图像，如图所示，由，令，得，设，由图像可知，则，得的图像，如图所示，由图像可知，，①当时，即，没有根；②当时，即，此时有3个根，，，当时，即，有3个根，当时，即，有4个根，当时，即，有4个根，故时，有11个根；③当时，，此时有三个根，，当时，即，有4个根，当时，即，有4个根，当时，即，有4个根，故时，有12个根；综上所述，最多有12个根，故选：B．变式8．函数，则函数的所有零点之和为（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【解析】令，由得或，所以或，当时，或，当时，则或，解得，所以函数的所有零点之和为.故选：D.变式9．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知得，所以或，作出函数的图象，得的图象与直线恰有2个交点，所以由题意知直线与的图象没有交点，所以或，故选：B．变式10．已知函数，若函数有七个不同的零点，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得或，作出函数的图象，如图所示，与有4个交点，即方程有4个不相等的实根，由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点，故实数t的取值范围是.故选：D.变式11．已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点.的图象如图所示.不妨设，所以，所以，即，即，所以，所以，故选：A.题型三：共零点问题例7．若关于的方程有三不等的实数根，，，且满足其中两根，，则的取值范围是A． B．， C． D．【解析】解：设，满足其中两根，，，（1），，，即，，，当时，有一个根，不满足题意，故，，即，解得，故选：．例8．（2023•永州校级月考）已知函数，且（1）（2）（3），则的取值范围是A． B． C． D．【解析】解：由（1）（2）（3），得，解得，则，由（1），得．即．故选：．例9．在下列各图中，与的图象只可能是A． B． C． D．【解析】解：在中，由二次函数开口向上，故故此时一次函数应为单调递增，故不正确；在中，由，则二次函数图象必过原点故也不正确；在中，由二次函数开口向下，故故此时一次函数应为单调递减，故不正确；故选：．变式12．（2023•浙江）已知，且，对于任意均有，则A． B． C． D．【解析】解：设，可得的图象与轴有三个交点，即有三个零点，，且，由题意知，在上恒成立，则，，，可得，恒成立，排除，；我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．则有或或三种情况，此时显然成立；若，则不成立；若，即，可得，且和都在正半轴上，符合题意，综上恒成立．故选：．变式13．（2023•海南）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是A．，， B．，， C．，， D．，，【解析】解：定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：在上单调递减，且；故；当时，不等式成立，当时，不等式成立，当或时，即或时，不等式成立，当时，不等式等价为，此时，此时，当时，不等式等价为，即，得，综上或，即实数的取值范围是，，，故选：．变式14．（2023•长沙期末）设，若时，均有，则．【解析】解：当时，均有，（1）时，代入题中不等式，明显不成立．（2），构造函数，，它们都过定点．考查函数：令，得，，．考查函数，时均有，故的图象经过，代入得，，解之得：，或（舍去）．故答案为：．变式15．（2023•杭州期末）若不等式对任意实数恒成立，则A． B．0 C．1 D．2【解析】解：不等式对任意实数恒成立，由于的解集为，，可得在，恒成立，可得，且，即且，解得，又的解集为，，，可得在，，恒成立，可得，或，即或，解得，综上可得，故选：．题型四：等高线问题例10．已知函数，若存在四个实数a，b，c，d，满足，，则的取值范围为（

）A．(0，+∞) B． C． D．【答案】C【解析】依题意，可得的图象如图所示：所以时，与的图象有四个交点，又因为，由图象及函数性质知:，易知:，，所以，又因为，所以，则.故选：C.例11．已知函数，若存在四个实数，，，，满足，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，由的图象可知所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，由图象及函数性质知：，易知：，，所以，，则．故选：C例12．函数若,且,则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解:由题知,所以,画出图象如下:由图象可知:,且有即,因为,所以,即,所以,因为,所以,因为,所以,由可得,即,所以,即.故选:B变式16．已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意作函数与的图象，∵方程有四个不同的解且，∴关于对称，即，当得或，则，由题知，，故，所以，故，因为，设，则由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，的取值范围是故选：B.变式17．已知函数，若且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】画出函数的图象如图，若，由，即，即，即，所以，当时，单调递增，且，令，则，所以，.故选：D.变式18．已知函数，若､､均不相等且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函数的图象如图，不妨设，则所以，则．故选：．变式19．已知函数，若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据已知画出函数图象：不妨设，（a）（b）（c），，，解得，，．故选：B变式20．已知函数，若（)，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】C【解析】画出图像,结合图像即可推出,,从而可得结论.画出图像如下图所示:由图可知,,即,又,所以,故选:C.变式21．已知，若存在三个不同实数，，使得，则的取值范围是（

）A．(0,1) B．[2,0) C． D．（0,1）【答案】C【解析】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，，故，故.故选：.变式22．函数，若且，，互不相等，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函数的图象（如图所示），∵且，，互不相等，不妨令，∴，∴由得，即，即，∴，由函数