2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高二上册第一次月考数学试题（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高二上册第一次月考数学试题一、单选题1．已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（）A．0 B．1 C． D．32．经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（

）A． B．C． D．3．若两条平行线，与之间的距离为，则等于A． B． C． D．4．已知过点和点的直线为l1，.若，则的值为（

）A． B．C．0 D．85．如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（

）

A．5 B．3 C． D．6．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．7．若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A． B．C．） D．与夹角的余弦值为10．以下四个命题表述错误的是（

）A．恒过定点B．若直线与互相垂直，则实数C．已知直线与平行，则或D．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是11．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（

）A．直线平面 B．C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为12．已知、，为圆上一动点，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．到直线距离的最大值为 D．三、填空题13．将直线l：向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线，则直线l与之间的距离为．14．圆关于直线对称的圆的方程为.15．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为.16．已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为．四、解答题17．已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.18．在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为的中点．

(1)证明：；(2)求二面角正弦值的大小.19．已知直线.（1）若直线过点，且，求直线的方程；（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.20．已知两两垂直,,为的中点，点在上，.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）若点在线段上，设,当时，求实数的值．21．三角形的顶点，边上的中线所在直线为，A的平分线所在直线为．(1)求A的坐标和直线的方程；(2)若P为直线上的动点，，，求取得最小值时点P的坐标．22．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．1．D【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为直线过点和两点，所以，又直线的一个方向向量，所以，所以，所以，所以，解得，所以.故选：D2．B【分析】先求出交点，再根据平行关系求方程即可.【详解】解：联立，解得，即交点为，因为直线的斜率为，所以，所求直线的方程为，即．故选：B．3．A【详解】两条平行线，与，有：，得：平行线，与平行线距离为：,解得或-9（舍）则.故选A.4．A【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值.【详解】因为，所以，解得，又，所以，解得.所以.故选：A.5．D【分析】以为一组基底，表示求解.【详解】解：以为一组基底，则，，，，，，，所以.故选：D6．C【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求k的临界值，得k的取值范围.【详解】直线l：经过定点，，．又直线l：与线段相交，所以或，故选：C．7．B根据题意可得已知圆与圆相交，由圆心距和两圆半径之间的关系，列式即可得解.【详解】由题意可得：已知圆与圆相交，∴，∴，解得且，故选：B.8．B【分析】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案.【详解】，，设，，，则为点分别到点，的距离之和，点关于轴的对称点的坐标为，连接，则，当且仅当，，三点共线时取等号，故选：B.9．BCD【分析】对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量垂直的性质，即可求解，对于D，结合向量的夹角公式，即可求解．【详解】因为，且，故A不正确；因为，，则，故B正确；因为，，故C正确；由于，，所以，所以D正确.故选:BCD.10．BCD【分析】根据题意，求出各直线的斜率，依次判断各选项的正误.【详解】选项A：直线，即，所以恒过定点，故A正确；选项B：根据题意，当时，直线的斜率，直线的斜率不存在，此时，与互相垂直，当时，直线的斜率，直线的斜率，因为两直线互相垂直，所以，解得，所以或，故B错误；选项C：根据题意，当时，直线的斜率，直线的斜率不存在，此时，与互相垂直，舍去，当时，直线的斜率，直线的斜率，因为两直线互相平行，所以，解得，当时，两直线重合，故舍去，所以，故C错误；选项D：根据题意，直线的斜率，因为，所以，所以，倾斜角的取值范围是，故D错误；故选：BCD.11．ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，所以，即，所以，故B正确；，，，设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；设平面的法向量为，则，即，取，则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；，故C错误；故选：ABD本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.12．ABD【分析】求出点到直线的最大距离，结合三角形的面积公式可判断A选项；求出的最大值，可得出到直线距离的最大值，可判断C选项；利用平面两点间的距离公式结合圆的方程可判断D选项；利用圆的几何性质可判断B选项.【详解】对于A选项，圆上的一点到直线的最大距离为圆的半径，故的最大值为，A对；对于C选项，如下图所示：点到直线的距离为，圆的圆心为原点，当直线与圆相切时，此时最大，则点到直线的距离取最大值，连接，则，则，故，因此，点到直线的距离为，C错；对于D选项，设点，则，所以，，D对；对于B选项，，当且仅当点为直线与圆的交点，且点在线段上时，等号成立，所以，的最大值为，B对.故选：ABD.13．【分析】根据条件得到直线为，再由两平行线间的距离公式得到，化简求值即可.【详解】由题意可得，直线的方程为，即，则直线与之间的距离.故答案为.本题考查了两平行线间的距离公式的应用以及直线的平移的应用.14．.根据两圆关于直线对称，得两圆圆心关于直线对称，由此求出对称圆圆心，然后求解圆的方程即可.【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为，由题意得，，解得，，对称圆的圆心，半径为，对称圆的方程为.故答案为.本题考查了直线与圆的位置关系，对称圆的方程的求法，属于中档题.15．【分析】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，所以.本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．由题意可知，直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件可求得的取值范围，并求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值，由此可求得直线的方程.【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为，即.在直线的方程中，令，可得；令，可得.即点、，由题意可得，解得，的面积为，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，直线的方程为，即.故答案为.关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）将三角形的面积利用加以表示；（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.17．（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可.(Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可.【详解】解：(Ⅰ)因为,所以.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.因为,所以所以实数的值为.本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取AC得中点O，得，，可知平面，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面的法向量，根据向量的夹角公式求解.【详解】（1）取AC得中点O，连接SO，OB，，，，，又SO，BO交于点O，平面，平面，于是可知平面，又平面，；（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系,那么，∴，设为平面CMN的一个法向量，那么，取，那么，∴，又为平面的一个法向量，，，即二面角的正弦值为.

19．（1）（2）或.【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程；（2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出．【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为.因为直线过点，所以直线的方程为，即.（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，所以，解得或.故直线的方程为或.本题主要考查直线方程的求法，涉及两直线垂直，平行关系的应用，以及平行直线的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．20．（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，写出的坐标，从而可得的长；（Ⅱ）利用垂直，向量数量积为0，求出的值.【详解】（Ⅰ）由题意，以OA,OB,OC分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，由于为的中点，点在上，可得,；

（Ⅱ）设，且点在线段上，，

，，

，本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解线段的长度，利用空间向量解决空间的垂直问题.21．(1)，直线的方程为(2)【分析】（1）设点A坐标并表示中点D坐标，由点在直线方程建立方程求解即可得A，利用角平分线的性质可得点B关于直线的对称点，从而求方程；（2）由两点之间的距离公式结合二次函数求最值计算即可.【详解】（1）由题意可设，则，由直线，的方程可知：，即，设点B关于直线的对称点，则中点坐标为，，依题意有，解之得，即，易知在直线上，故由两点式可得，化简得；

（2）由（1）所得方程，不妨设，则，由二次函数的性质可知当，上式取得最小值，此时.22．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）设交于点，连接，利用三角形相似证得，从而证得，进而证得直线平面；（2）通过平面，证得平面，所以平面平面；（3）建立空间直角坐标系，设，通过向量和平面的法向量建立直线与平面所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值.【详解】（1）如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，因为平面，所以，又因为是底面圆的内