2023-2024学年江苏省连云港市高三上册9月月考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年江苏省连云港市高三上册9月月考数学模拟试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（

）A． B．C． D．2．欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则（

）A． B． C． D．3．已知等比数列的前项和为，且公比，若，则公比（

）A．3 B． C．2 D．4．已知向量，线段的中点为，且，则（

）A． B． C． D．5．已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（

）A． B．C． D．7．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．比较，，的大小关系为（

）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分．9．已知实数满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．10．已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为，平均数；最大和最小两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（

）A．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变B．C．剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数D．11．已知函数，则（

）A．函数在区间上单调递增B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数的值域为D．方程最多有8个根，且这些根之和为12．已知椭圆：的中心为，，是上的两个不同的点且满足，则（

）A．点在直线上投影的轨迹为圆B．的平分线交于点，的最小值为C．面积的最小值为D．中，边上中线长的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，则．14．若，则．15．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为，则该四棱锥体积的最大值是．16．已知函数，在处取到极小值，则实数．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知是各项均为正数的数列，设，若数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和．18．记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若是上的一点，且，求的最小值．19．某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题．现有、、三位员工参加比赛，比赛规则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束．每人两次回答问题的过程相互独立．三人回答问题也相互独立．甲类问题中每个问题回答正确得分，否则得分；乙类问题中每个问题回答正确得分，否则得分．已知员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为；员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为；员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为．(1)求人得分之和为分的概率；(2)设随机变量为人中得分为的人数，求随机变量的数学期望．20．已知四棱锥中，底面是矩形，，，是的中点．

(1)证明：；(2)若，，点是上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求．21．已知椭圆的左右焦点分别为是椭圆的中心，点为其上的一点满足．(1)求椭圆的方程；(2)设定点，过点的直线交椭圆于两点，若在上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求的范围．22．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)证明：当时，不等式恒成立．1．B【分析】根据分式不等式的解法、交集的定义求解即可.【详解】，则，即，，解得，故，又，故.故选：B2．B【分析】由已知得出，然后指数运算可得结果.【详解】因为，所以，.故选：B.3．B【分析】利用等比数列片断和的性质，构造新的等比数列求解即可.【详解】由题意可知，公比.由是等比数列，则成等比数列，且公比为，已知，则，即，当时，两边同除以得，，解得，（舍），或，则，当时，此时，由，解得，由已知，舍去.故选：B.4．A【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可.【详解】设，则，由，得，又已知，且，则有，故.故选：A.5．C【分析】由函数在区间不单调，转化为在上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可.【详解】已知，令，解得则函数对称轴方程为函数在区间不单调，，解得，又由，且，得，故仅当时，满足题意.故选：C.6．A【分析】取中点，连接，证得面，作于得面，由等积法求出点到平面的距离，则为直线与平面所成角的正弦值.【详解】取中点，连接，，≌，，，，是边长为的正三角形，，面，面，作于，面，面，面，在中，由余弦定理得，，，，，，，设点到平面的距离为，由得，即，解得，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A.7．C【分析】先根据正弦定理可得，再建立平面直角坐标系求解的轨迹方程，进而可得面积的最大值.【详解】在中，在中，故，，因为，故，又角的平分线交于点，则，故.故.以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，，故，，设，则，即，故，化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.

故选：C8．D【分析】构造函数，其中，，其中，，其中，利用导数分析各函数的单调性，由的单调性可得出、的大小关系，由的单调性可得出、的大小关系，由的单调性可得出、的大小关系，综合可得出、、的大小关系.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为增函数，所以，，所以，，令，其中，则对任意的恒成立，所以，函数在上为增函数，所以，，即，令，其中，则对任意的恒成立，所以，函数在上为增函数，则，则，所以，，综上所述，.故选：D.9．ABD【分析】对A，根据可得，再代入推导即可；对B，由推导即可；对C，举反例判断即可；对D，根据代入化简即可判断.【详解】对A，根据可得，故即，即.因为恒成立，故成立，故A正确；对B，因为，故，故成立；对C，当时，满足且，但不成立，故C错误；对D，因为，，因为，故，故D正确.故选：ABD10．ABD【分析】设10个样本数据从小到大排列分别为，再根据中位数、平均数、下四分卫数与方差的定义与公式推导即可.【详解】设10个样本数据从小到大排列分别为，则剩下的8个样本数据为.对A：原样本数据的中位数为，剩下的8个样本数据中位数为，故A正确；对B，由题意，，.因为，故，即，故，故，故.故B正确；对C，因为，故剩下8个数据的下四分位数为，又，故原样本数据的下四分位数为，又，故，故C错误；对D，因为，故，，.故，，故，故D正确.故选：ABD11．BCD【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题.【详解】，，则是偶函数，图象关于轴对称.，是周期函数，周期.又且，，即图象关于轴对称，故直线都是的对称轴.当时，，则，令，则可看成由与复合而成的函数，单调递增，当，则，单调递增，则单调递增；当，则，单调递减，则单调递减；且.结合以上性质，作出函数的大致图象.GGB选项A，函数在区间上单调递减，故A项错误；选项B，直线是函数图象的一条对称轴，故B项正确；选项C，当时，函数的值域为，由函数周期，函数的值域为，故C项正确；选项D，如图可知，方程最多有8个根，设为，不妨设，当时，函数的图象关于对称，则，即这些根之和为，故D项正确.GGB故选：BCD.12．ABC【分析】根据斜率是否存在分类设直线方程，利用，可求得点到直线的距离为定值，即可判断A；根据椭圆的对称性，的平分线及边上中线最小值都为点到直线的距离可判断BD；C选项可有射影定理和基本不等式求出的最小值，进而得到面积的最小值.【详解】AI选项A：如图，作于，则点在直线上投影为点，当直线斜率不存在时，设直线为，因，根据椭圆的对称性可知若在第一象限，则，代入得，得，故直线方程为，此时为直线与轴的交点，，根据椭圆的对称性知，当直线方程为，也符合题意，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立得，设，，则，，因，故，即，化简得，即，得，即点到直线的距离，则，综上可知为定值，故点的轨迹为以为圆心以为半径的圆，故A正确；选项B：由A选项知点到直线的最小距离为，的平分线交于点，当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性，即为，故的最小值为，故B正确；选项C：根据射影定理，，故，当且仅当时等号成立，此时，故C正确；D选项：当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性，中，边上中线即为，故D错误，故选：ABC13．##【分析】知切求弦，转化为齐次比形式再变形为切代入求解即可.【详解】.故答案为.14．【分析】根据二项展开式公式分别计算即可.【详解】由题意，中含的项为；含的项为；含的项为；含的项为；含的项为；故.故15．##【分析】根据球的体积求出半径，再判断出体积最大时为正四棱锥，根据直角三角形中勾股定理求出正四棱锥底面边长和高的关系，表示出正四棱锥的体积，通过导数求得其最大值.【详解】球的体积,球的半径要使该四棱锥体积最大，如图四棱锥，对于底面所在的小圆中，顶点到该小圆面距离最大，也就是高最大，即点位于小圆圆心与球心所在直线与球面的交点（远离小圆圆心的那点）；同时要使四棱锥体积最大，底面四边形面积取最大，（其中为与的夹角）所以当、取最大即小圆的直径，取最大为1时，即时，底面四边形面积最大，也就是四边形为正方形时，其面积最大，因此当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大.

设，高，则,在Rt中，,即，所以正四棱锥的体积，故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以时，函数取得最大值故答案为.16．1【分析】首先求函数的导数，并求函数的多阶导数，并分析求得的取值.【详解】，由题意可知，，设，，，设，，，若，则存在，使，则，单调递增，即单调递增，又，所以，，函数单调递减，，，函数单调递增，所以，，即，那么，，函数单调递增，在处不能取到极小值，故不成立，若，则存在，使，则，单调递减，即单调递减，又，所以，，函数单调递增，，，函数单调递减，所以，，即，那么，，函数单调递减，在处不能取到极小值，故不成立，所以，即.故1思路点睛：本题表面是一道普通的根据极小值点求参数的取值问题，实际得需要求多阶导数，再分析出的取值.17．(1)(2)【分析】（1）根据可得，进而可得的通项公式；（2）裂项可得，再累加求和即可.【详解】（1），又（2）18．(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理化简可得，再根据角度关系分析即可；（2）根据平面向量基本定理可得，再两边平方可得，结合余弦定理可得，再令，结合函数单调性与最值求解即可.【详解】（1），又，则或，若，则；若，则，又，不符合题意，舍去，综上所述.（2）①，又②，①÷②得：令，又，，令令，令，当时，当时，由对勾函数性质可得当时，为减函数，故，同理当时，所以当三角形为等边三角形时最小，最小值为19．(1)(2)【分析】（1）列举出人得分之和为分的各种情况，结合独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（2）计算出人各自得分为的概率，可知，利用二项分布的期望公式可求出的值.【详解】（1）解：设事件为员工答对甲类问题；设事件为员工答对乙类问题；设事件为员工答对甲类问题；设事件为员工答对乙类问题；设事件为员工答对甲类问题；设事件为员工答对乙类问题；三人得分之和为分的情况有：①员工答对甲类题，答错乙类题；与员工均答错甲类题，则；②员工答对甲类题，答错乙类题；与员工均答错甲类题，；③员工答对甲类题，答错乙类题；与员工均答错甲类题，，所以三人得分之和为分的概率为.（2）解：因为员工得分的概率为，B员工得分的概率为，员工得100分的概率为，所以，随机变量，所以，.20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解.【详解】（1）取的中点，连接、，因为、分别为、的中点，则，因为，所以，，设直线与直线交于点，因为，则，，所以，，所以，，故，设，则，，所以，，且，，所以，，所以，，又因为，、平面，则平面，因为平面，故.（2）因为，，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，则、、、、，设平面的法向量为，则，，则，取，则，设，其中，，因为直线与平面所成角的正弦值为，则，解得，即.21．(1)(2)或【分析】（1）在中，根据余弦定理及可得，从而求得椭圆方程.（2）设，直线的方程为，代入椭圆方程得韦达定理，要使为常数，则，根据范围得到的范围及点坐标.【详解】（1）设，在中，设，，，，，所以椭圆的方程为：（2）设，直线的方程为，，，，设，若为常数，则，即，而此时，又，即或，综上所述，或，存在点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值关键点点睛：对任意恒为定值，因为分子分母中同时含有，这种情况下分子分母的对应系数成比例则整体可以为定值，故需要且即项、常数项对应成比例.22．(1)函数在上单调递增(2)证明见解析【分析】（1）利用