2023-2024学年湖北省襄阳市宜城市高二上册9月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年湖北省襄阳市宜城市高二上册9月月考数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知直线过，且，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．3．如图所示，等腰梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（

）

A． B．12C． D．64．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．5．在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是（

）A．中位数，平均分，方差均不变 B．中位数，平均分，方差均变小C．中位数不变，平均分可能不变，方差变小 D．中位数，平均分，方差都发生改变6．在中，已知，，若有两解，则（

）A． B． C． D．7．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（

）A． B． C． D．8．在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题（每小题5分，共20分）9．若向量，满足，，则（

）A．B．与的夹角为C．D．在上的投影向量为10．小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为，话剧社面试成功的概率为，辩论社面试成功的概率为，则（

）A．文学社和话剧社均面试成功的概率为B．话剧社与辩论社均面试成功的概率为C．有且只有辩论社面试成功的概率为D．三个社团至少一个面试成功的概率为11．已知不同直线，，不同平面，，，下列说法正确的是（

）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则12．已知在棱长为4的正方体中，点O为正方形的中心，点P在棱上，下列说法正确的有（

）A．B．当直线AP与平面所成角的正切值为时，C．当时，点到平面的距离是D．当时，以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长为三、填空题（每小题5分，共20分）13．假设，，且与相互独立，则．14．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为．15．已知，，则的取值范围为.16．如图，在矩形中，，，，，分别为，，，的中点，与交于点，现将，，，分别沿，，，把这个矩形折成一个空间图形，使与重合，与重合，重合后的点分别记为，，为的中点，则多面体的体积为；若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为．四、解答题（17题10分，18-22题每小题12分，共70分）17．如图所示，在平行六面体中，，，，P是的中点，M是的中点，N是的中点，用基底表示以下向量：

(1)；(2)；(3).18．如图：正方体，为棱的中点.（1）求直线与直线所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在一点，满足？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由.19．为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出人，并将这人按年龄分组，记第组，第组，第组，第组，第组，得到如下频率分布直方图：

(1)求出频率分布直方图中的值和这人的年龄的中位数及平均数；(2)从第组中用分层抽样的方法抽取人，并再从这人中随机抽取人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.20．如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．（Ⅰ）求证；（Ⅱ）若平面．①求二面角的大小；②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值．21．在中，有，其中、、分别为角、、的对边.(1)求角的大小；(2)设点是的中点，若，求的取值范围.22．如图，直三棱柱的体积为4，点，分别为，的中点，的面积为．(1)求点A到平面的距离；(2)，平面平面，求平面与平面所成角的余弦值．1．C【分析】先化简复数z，即可求出共轭复数，进而可知其对应点所在的象限.【详解】复数，复数的共轭复数为，对应的点为，在第三象限.故选：C.2．B【分析】利用，求出直线斜率，利用可得斜率乘积为，即可求解.【详解】设直线斜率为，直线斜率为，因为直线过，，所以斜率为，因为，所以，所以，即直线的斜率为.故选：B.3．A【分析】根据直观图画出原图，由此计算出的面积.【详解】在直观图中，，在原图中，，，所以平面图形的面积为.故选：A

4．D【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以点到直线的距离是.故选：D.5．C【分析】根据题意结合中位数、平均数和方差的定义分析判断.【详解】不妨设原始分为，且，则其中位数为，则有效分为，则其中位数为，两者相等，所以中位数不变，例如：原始分为，则其平均数为2，则有效分为，则其平均数为2，两者相等，所以平均数可能不变，因为从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，即把波动最大的两个值去掉，则有效分比原始分更集中，波动性减小，根据方差的定义可知：有效分的方差小于原始分的方差，即方差变小.故选：C.6．C【分析】根据正弦定理及图形关系得到即可得到答案.【详解】

如上图所示，要使有两解，则以为圆心，为半径的圆与射线有两个交点，有两解的充要条件为，代入题设得.故选：C.7．A【分析】先算出各个小木板的面积，进而根据古典概型加法公式求得答案.【详解】如图，设正方形EGHI的边长为x（dm），根据题意可知，AE=CE，即.容易求得,记为S=4，，记为，，记为.所以所求概率.故选：A.8．B【分析】设中点，中点，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知，所以底面，则为三棱锥外接球的球心，可解.【详解】设中点，中点，由，，所以的外接圆直径，且圆心为，由于底面，，所以底面，则为三棱锥外接球的球心，所以外接球的直径，所以外接球的体积．故选：B

9．BCD【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式、投影向量的定义逐一判断即可.【详解】A：，因此本选项不正确；B：由上可知，因为，所以，因此本选项正确；C：因为，所以，因此本选项正确；D：在上的投影向量为，因此本选项正确，故选：BCD10．BCD【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率计算公式，逐项求解，即可得到答案.【详解】对于A中，根据题意，文学社和话剧社均面试成功的概率为，所以A不正确；对于B中，根据题意，话剧社与辩论社均面试成功的概率为，所以B正确；对于C中年，根据题意，有且只有辩论社面试成功的概率为，所以C正确；

对于D中，三个社团都不成功的概率为，所以三个社团至少一个面试成功的概率为，所以D正确.故选：BCD.11．BC【分析】根据面面平行的判定以及性质可知A错误；由线面平行的判定定理可得B正确；利用面面垂直的性质可得C正确；由面面垂直性质可得D错误.【详解】对于A，若，，，，此时可能相交，如下图所示：

当，都与平行时，相交，故A错误；对于B，由，利用线面平行的性质可知存在直线满足，且，又，所以，又，所以可得，即B正确；对于C，若，，，不妨设，如下图所示：

假设不成立，过直线上一点作于点，作于点；由，，可知，，，这与“过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直”矛盾，所以应重合为交线，所以，可得C正确；对于D，如图所示：

若，，，此时可能斜交，不一定垂直，所以D错误；故选：BC12．ABD【分析】对于选项A，证明平面即可判断；对于选项B，连接,则就是直线AP与平面所成角，求出即可判断；对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解判断；对于选项D，取的中点，OP为半径的球面与侧面的交线为以点E为圆心，以为半径，圆心角为的扇形的弧长，即可判断得解.【详解】对于选项A，由正方体得平面，所以,又.又,所以,因为平面,,所以平面,所以.所以该选项正确；

对于选项B，连接,则就是直线AP与平面所成角，所以，所以该选项正确；

对于选项C,建立如图所示的空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，所以，又.所以该选项错误；

对于选项D，取的中点，由题得,则截面圆的半径为.由题得截面圆的圆心为点,在平面内作，且.以点为圆心，以为半径作圆与棱分别交于.所以.所以，以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线为以点E为圆心，以为半径，圆心角为的扇形的弧长，所以以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长.所以该选项正确.故选：ABD

13．0.92##【分析】由并事件的概率公式和相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】事件与相互独立，则，由并事件的概率公式.故0.92.14．【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析.【详解】在同一坐标系下标出这三个点，连接，如图当直线恰好经过时为临界情况，又，当直线从位置顺时针转动到位置时，由倾斜角和斜率的关系可知，.故

15．【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，即可求解.【详解】∵，∴，即的取值范围为.故答案为.16．【分析】根据给定的几何体，证明平面，求出四棱锥的体积即可；证明点所在平面平行于平面，作出过点与平面平行的几何体的截面，求出其周长作答.【详解】连接，有，而，为中点，则有，，则平面，同理平面，又平面与平面有公共点，于是点共面，而，即有，，因为，，平面，则平面，又平面，即有，则，同理，即，从而，即四边形为平行四边形，，，等腰梯形中，高，其面积，显然平面，所以多面体的体积；因为平面，同理可得平面，又，则平面，依题意，动点所在平面与垂直，则该平面与平面平行，而此平面过点，令这个平面与几何体棱的交点依次为，则,又为的中点，则点为所在棱的中点，即点的轨迹为五边形，长度为：.故；思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.17．(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）连接AC，，，根据在平行六面体中各向量对应线段与，，对应线段位置关系，用，，表示出各向量即可.【详解】（1）连接AC，，，

；（2）；（3）.18．（1）；（2）存在，点P在棱上靠近的四等分点处.【分析】（1）建立空间坐标系，利用直线的方向向量的角的余弦值求解；（2）利用向量的数量积等于0，运算求解.【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则,,，所以直线与直线所成角的余弦值为；（2）棱上是否存在一点的坐标可设为,则,,故在棱上存在点，满足，这点P在棱上靠近四等分点处.利用空间坐标系求解线线角的问题是十分简洁的.注意在求异面直线所成的角时，其余弦值等于直线上的方向向量所成的角的余弦的绝对值.19．(1)，中位数为，平均数为(2)【分析】（1）根据频率和为的性质可构造方程求得；根据频率分布直方图估计中位数和平均数的方法，直接估算即可；（2）根据分层抽样可确定人中分别来自第的人数，利用列举法可得所有基本事件和满足题意基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图性质知：，解得：；，，中位数位于，设中位数为，则，解得：，即中位数为；平均数为.（2）第组的频率之比为，抽取的人中，第组应抽取人，记为；第组应抽取人，记为，则从人中随机抽取人，有，，，，，，，，，，共个基本事件；其中满足两人恰好属于同一组别的有，，，，共个基本事件；两人恰好属于同一组别的概率.20．Ⅰ详见解析；Ⅱ①，②或．【分析】Ⅰ可以通过已知证明出平面PAB，这样就可以证明出；Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积，求出二面角的大小；求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出的值.【详解】证明：Ⅰ在图1中，，，为平行四边形，，，，当沿AD折起时，，，即，，又，平面PAB，又平面PAB，．解：Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD则0，，0，，1，，0，，1，1，，1，，0，，设平面PBC的法向量为y，，则，取，得0，，设平面PCD的法向量b，，则，取，得1，，设二面角的大小为，可知为钝角，则，．二面角的大小为．设AM与面PBC所成角为，0，，1，，，，平面PBC的法向量0，，直线AM与平面PBC所成的角为，，解得或．本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.21．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）延长到满足，连接、，则为平行四边形，在中，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，在中利用三角形的三边关系，综合可得出的取值范围.【详解】（1）解：在中，因为，由正弦定理可得，因为、，则，，所以，，则，所以，，故.（2）解：如图，延长到满足，连接、，则为平行四边形，则，，，，

在中，由余弦定理得：，则，可变形为