5.1.2弧度制学案（教师版）人教版高中数学必修一

5.1.2弧度制【学习目标】1.理解弧度制的概念，能对弧度和角度进行换算；2.理解引入弧度制的必要性；的弧长公式和面积公式.【教材知识梳理】一．度量角的两种单位制1.角度制：(1)定义：用作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的.2.弧度制：(1)定义：以作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角．一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝(eq\f(180,π))°≈°度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起的关系：每一个角都有的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．二．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则1.弧长公式：l＝.2.扇形面积公式：S＝＝.概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度的角是周角的eq\f(1,360).()(2)1弧度的角大于1度的角.()(3)比值eq\f(l,r)与所在的圆的半径大小有关.（）(4)与45°终边相同的角可以写成α＝2kπ＋45°，k∈Z.()【答案】一．1.度eq\f(1,360)2.弧度半径长3.正数负数0eq\f(l,r)4.2ππ360°180°6.一一对应唯一唯一二．αReq\f(1,2)lReq\f(1,2)αR2概念辨析：(1)×(2)√(3)×(4)×【教材例题变式】（源于P173例4、例5）例1.已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7,12)π，试比较它们的大小.【答案】(1)法一：(化为弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12)，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12)，显然eq\f(π,12)＜eq\f(π,10)＜1＜eq\f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二：(化为角度)：β＝eq\f(π,10)＝eq\f(π,10)×(eq\f(180,π))°＝18°，γ＝1≈°，φ＝eq\f(7π,12)×(eq\f(180,π))°＝105°.显然，15°＜18°°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.归纳：角度制与弧度制互化的关键与方法1.关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键；2.方法：度数×eq\f(π,180)＝弧度数；弧度数×°＝度数；【源于P174例6】例2.已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为(1)若，，求扇形的弧长(2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．【答案】（1）设扇形的弧长为．，即，.（2）由题设条件知，,因此扇形的面积当时，有最大值，此时,当时，扇形的面积最大，最大面积是．归纳：弧度制下解决扇形相关问题的步骤1.明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝eq\f(1,2)αr2和S＝eq\f(1,2)lr.2.分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．3.根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．【教材拓展延伸】例3.（1）将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？（2）用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角θ的集合.【答案】（1）－1125°＝－1125×eq\f(π,180)＝－eq\f(25π,4)＝－8π＋eq\f(7π,4).其中eq\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π，因为eq\f(7π,4)是第四象限角，所以－1125°是第四象限角.（2）终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，故终边落在阴影部分的角θ的集合为.归纳：α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．例4.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则______.【答案】8【详解】因为，所以，又因为，所以，所以.故答案为：8.【课外作业】基础过关：1.角的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】角对应的弧度数为，故选：B.2．圆的一条弧的长度等于圆内接正六边形的边长，则这条弧所对的圆心角的弧度数为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【详解】设圆的半径为r，由于圆内接正六边形每条边长对应的圆心角为，则圆内接正六边形的边长为r，所以这条弧长所对的圆心角为.故选：A.3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（）【答案】C【详解】当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋eq\f(π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(π,2)，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(3π,2)，m∈Z.故选C.4．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设半径为，所以．所以，所以弧长．故选：A．5．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设等边三角形的边长为，则由题意得：，解得：，所以扇形的半径为，圆心角为，则其面积为，又等边三角形的面积为，则该勒洛三角形的面积为，故选：B.6．（多选）下列转化结果正确的是（

）A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－660°C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15°【答案】AD【详解】因为，所以选项A正确；因为，所以选项B不正确；因为，所以选项C不正确；因为，所以选项D正确，故选：AD.7．终边在直线上的角的集合是_______．（用弧度制表示）【答案】【详解】当角的终边落到上，则①当角的终边落到上，则②①与②的并集得：，故答案为：.8．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是_________.【答案】【详解】因为直径16步，故半径为步，（平方步），设扇形的圆心角为，则，即．9．已知．(1)把表示成的形式，其中，；(2)求，使与的终边相同，且．【答案】（1）.（2），设，由可得，解得，，则，故.能力提升：10．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.11．（多选）某同学在学习了弧度制知识后，对某扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（

）A． B．弧长C．扇形的周长为 D．扇形的面积为【答案】BC【详解】，所以A错；弧长，所以B对；扇形的周长为，所以C对；面积为，所以D错；故选：BC.12．（多选）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，周长为，则（

）A．若，确定，则，唯一确定 B．若，确定，则，唯一确定C．若，确定，则，唯一确定 D．若，确定，则，唯一确定【答案】ABD【详解】由弧长公式得，，周长，若，确定，则唯一确定，则，唯一确定，故A正确，若，确定，则唯一确定，则，唯一确定，故B正确，若，确定，则，，即，当，有两正实根，不唯一确定，所以，不一定唯一确定，故C错误，若，确定，则唯一确定，则唯一确定，故D正确，故选：ABD.13．已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是，若扇形的周长是12cm，当______弧度时，该扇形有最大面积.【答案】2【详解】设扇形的弧长为，则，即，扇形的面积为，即当，即时，该扇形有最大面积.故答案为：.14．某城市一圆形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该空地建设运动公园（图中阴影部分）.若是以B为直角的等腰直角三角形，，则该公园的面积为________.【答案】【详解】由题可知圆心为的中点，，连接，该公园的面积.故答案为：15．已知集合，，