广东省深圳市宝安区陶园中英文学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

宝安区陶园中英文学校2023-2024学年第一学期九年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．2．用配方法解方程x2﹣8x+4＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2＝4 B．（x﹣4）2＝12 C．（x﹣4）2＝16 D．（x﹣8）2＝603．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OB'＝1：2，则四边形ABCD与A'B'C'D'的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：34．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm5．下列命题正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直 B．如果C点是线段AB的黄金分割点，那么 C．两个等腰三角形一定相似 D．两个相似三角形面积比等于它们对应高的比的平方6．如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为18米、11米的长方形菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为96平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（）A．（18﹣2x）（11﹣x）＝96 B．18x+2×11x﹣2x2＝96 C．18×11﹣18x﹣11x+2x2＝96 D．（18﹣x）（11﹣2x）＝967．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m8．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）A． B． C． D．9．如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（）A．1 B． C．2 D．310．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2．将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将△MDC沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（）A． B． C． D．二．填空题（每题3分，共15分）11．若，则＝．12．在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n＝．13．已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为．14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（﹣2，0）和，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE．若DE⊥AB于点F，BC＝10，则AF的长为．三．解答题（共55分）16．（5分）计算：|2﹣|+2sin60°+（）﹣1﹣（﹣1）0．17．（8分）用适当的方法解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣2）（3x﹣5）＝1．18．（7分）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（2）扇形统计图中圆心角α＝度；（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．19．（8分）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）20．（8分）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．（1）求小明、小红的跑步速度；（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．21．（9分）（1）问题背景：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，若∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB；（2）尝试应用：如图2，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB上一点，点E为CD上一点，且＝，∠ACD＝∠ABE，求BD的长；（3）拓展创新：如图3，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，且＝，EF∥AC，连接DE，DF，若∠EDF＝∠BAC，DF＝5，直接写出AB的长．22．（10分）如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以DP为边向右作正方形DPFE，连接CE；【初步探究】（1）则AP与CE的数量关系是，AP与CE的夹角度数为；【探索发现】（2）点P在线段AC及其延长线上运动时，如图1，图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）点P在对角线AC的延长线上时，如图3，连接AE，若AB＝，AE＝，求四边形DCPE的面积．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：俯视图如选项C所示，故选：C．2．用配方法解方程x2﹣8x+4＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2＝4 B．（x﹣4）2＝12 C．（x﹣4）2＝16 D．（x﹣8）2＝60【解答】解：移项，得x2﹣8x＝﹣4，配方，x2﹣8x+16＝12，则（x﹣4）2＝12．故选：B．3．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OB'＝1：2，则四边形ABCD与A'B'C'D'的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：3【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，OB：OB'＝1：2，∴四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为1：2，∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为1：2．故选：A．4．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB＝24÷4＝6cm，∵对角线AC、BD相交于O点，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝AB＝×6＝3cm．故选：A．5．下列命题正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直 B．如果C点是线段AB的黄金分割点，那么 C．两个等腰三角形一定相似 D．两个相似三角形面积比等于它们对应高的比的平方【解答】解：A、矩形的对角线相等，选项错误；B、如果C点是线段AB的黄金分割点，那么或；选项错误；C、两个等腰三角形不一定相似，选项错误；D、两个相似三角形面积比等于它们对应高的比的平方，选项正确；故选：D．6．如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为18米、11米的长方形菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为96平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（）A．（18﹣2x）（11﹣x）＝96 B．18x+2×11x﹣2x2＝96 C．18×11﹣18x﹣11x+2x2＝96 D．（18﹣x）（11﹣2x）＝96【解答】解：∵小道的宽为x米，∴种植菜园的部分可合成长为（18﹣2x）米，宽为（11﹣x）米的长方形．依题意得：（18﹣2x）（11﹣x）＝96．故选：A．7．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m【解答】解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，∴＝，∵BC＝50m，∴AC＝50m，∴AB＝＝100m，故选：A．8．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，∴小灯泡发光的概率为：＝．故选：A．9．如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（）A．1 B． C．2 D．3【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，∴AD＝DE＝EB，∴AB＝3BE，AE＝2AD，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BE：AB，∵AC＝12，AB＝3BE，∴EF：12＝BE：3BE，∴EF＝4，∵DG∥EF，∴△ADH∽△AEF，∴DH：EF＝AD：AE，∵EF＝4，AE＝2AD，∴DH：4＝AD：2AD，∴DH＝2．故选：C．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2．将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将△MDC沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（）A． B． C． D．【解答】解：由翻折变换可知，AM＝MD＝AD＝，AB＝GE＝1，CD＝CE＝1，在Rt△PGC中，设PG＝x，则BP＝x，PC＝2﹣x，由勾股定理得，PG2+CG2＝PC2，即x2+22＝（2﹣x）2，解得x＝，即PG＝，又∵∠G＝∠FEC＝90°，∠PCG＝∠FCE，∴△PGC∽△FEC，∴＝＝，∴EF＝PG＝，故选：C．二．填空题（共5小题）11．若，则＝．【解答】解：∵＝，∴a＝，∴＝．故答案为：．12．在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n＝5．【解答】解：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，∴球的总个数为6+4+n，∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，∴＝，解得，n＝5．故答案为5．13．已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为﹣4．【解答】解：设方程的另一个根为m，根据题意得：1×m＝﹣4，解得：m＝﹣4．故答案为：﹣4．14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（﹣2，0）和，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为﹣．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，则CE＝DO，CD＝EO，∵A（﹣2，0），B（0，），∴AO＝2，OB＝，∴AB＝＝5，连接OC交AB于点Q，根据翻折性质可知：OC⊥AB．OQ＝QC，∵S△AOB＝×OA×OB＝×AB×OQ，∴OQ＝＝＝2．∴OC＝2OQ＝4．在△AOB和△OEC中，∠CEO＝∠BOA＝90°，∠COE＝∠BAO＝90°﹣∠OBA，∴△AOB∽△OEC，∴＝＝，即：＝＝，∴CE＝，OE＝．∵点C在第二象限，∴C（﹣，），∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，∴k＝﹣×＝﹣，故答案为：﹣．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE．若DE⊥AB于点F，BC＝10，则AF的长为2．【解答】解：取BC中点H，连接AH，过点D作DG⊥BC于点G，DM⊥BE于点M．设EF＝a，AD＝CD＝DE＝x，则DF＝x﹣a．∵AB＝AC，∴AB＝2x，∠ABC＝∠ACB，BH＝HC＝5．又由折叠得∠ACB＝∠BED，BE＝BC＝10，∴∠ABC＝∠BED，∴cos∠ABC＝cos∠BED，即＝，∴＝，解得：a＝，∴DF＝x﹣a＝x﹣，∵D是AC中点，DG⊥BC，∴DG是△AHC的中位线，∴CG＝CH＝，∴BG＝，由折叠知∠DEM＝∠DCG，ED＝CD，在△EMD和△CGD中，，∴△EMD≌△CGD（AAS），∴DG＝MD．∵DE⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴∠DEB+∠EBF＝90°．又∵∠CAH+∠ACB＝90°，且∠ACB＝∠DEB，∴∠EBF＝∠CAH，∴∠EBF+∠ABC＝90°，∴∠DMB＝∠MBG＝∠BGD＝90°∴四边形MBGD是正方形，∴DG＝BG＝，∴AH＝2DG＝15．在Rt△AHC中，AH2+HC2＝AC2，∴152+52＝（2x）2，解得：x＝，∴a＝，x﹣a＝，即AD＝，DF＝，在Rt△AFD中，AF＝＝2．三．解答题（共55分）16．计算：|2﹣|+2sin60°+（）﹣1﹣（﹣1）0．【解答】解：原式＝2﹣++2﹣1＝3．17．解方程：（1）x2﹣6x﹣27＝0；（2）（x﹣2）（3x﹣5）＝1．【解答】解：（1）（x+3）（x﹣9）＝0，x+3＝0或x﹣9＝0，x1＝﹣3，x2＝9；（2）整理得，3x2﹣11x+9＝0，a＝3，b＝﹣11，c＝9，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．18．某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了200名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（2）扇形统计图中圆心角α＝54度；（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），∴C的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），故答案为：200，补全条形统计图如下：（2）扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，故答案为：54；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，∴恰好选中甲和乙两名同学的概率为＝．19．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【解答】解：（1）由题意，CD＝8×15＝120（m），在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，∴AC＝CD•tan∠ADC＝CD•tan60°＝120×＝120（m），答：无人机的高度AC是120米；（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，∴BF＝AC＝120，AB＝CF，在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，∴EF＝＝≈276.8（m），∵CE＝8×（15+50）＝520（m），∴AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣276.8≈243（米），答：隧道AB的长度约为243米．20．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．（1）求小明、小红的跑步速度；（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．【解答】解：（1）设小红跑步速度是xm/min，则小明跑步速度是1.2xm/min，根据题意得：﹣＝5，解得：x＝400，经检验，x＝400是所列方程的解，且符合题意，∴1.2x＝1.2×400＝480．答：小明跑步速度是480m/min，小红跑步速度是400m/min；（2）设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，根据题意得：10×30+（10+y﹣30）（y﹣30）＝2300，整理得：y2﹣50y﹣1400＝0，解得：y1＝﹣20（不符合题意，舍去），y2＝70．答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟．21．（1）问题背景：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，若∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB；（2）尝试应用：如图2，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB上一点，点E为CD上一点，且＝，∠ACD＝∠ABE，求BD的长；（3）拓展创新：如图3，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，且＝，EF∥AC，连接DE，DF，若∠EDF＝∠BAC，DF＝5，直接写出AB的长．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD•AB；（2）过点C作CF∥BE，交AB的延长线于点F，∵BE∥CF，∴∠ABE＝∠AFC，∵∠ABE＝∠ACD，∴∠AFC＝∠ACD，在△AFC和△ACD中，，∴△AFC∽△ACD，∴，∴AC2＝AD•AF，∵AB＝9，∴AD＝AB﹣BD＝9﹣BD，∵BE∥FC，∴，∵，∴，∴BF＝2BD，∴AF＝AB+BF＝9+2BD，∵AC＝6，∴AC2＝AD•AF，即62＝（9﹣BD）（9+2BD），解得：BD＝或BD＝﹣3（不合题意，舍去），∴BD＝；（3）如图，延长EF，交DC的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∵EF∥AC，∴四边形AEGC是平行四边形，∴∠BAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴，∴ED2＝EF•EG，∵＝，EF∥AC，∴，