第3章圆的基本性质（17个考点梳理典型例题核心素养提升中考热点聚焦）九年级数学讲义（浙教版）

第3章圆的基本性质（17个考点梳理+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦）【知识导图】【知识清单】考点1：与圆有关的概念1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

2.直径：经过圆心的弦叫做直径.要点诠释：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

3.弧的有关概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

要点诠释：

①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

②无特殊说明时，弧指的是劣弧.4.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.5.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.【例1】如图，图中⊙O的弦共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【分析】根据弦的定义即可求解．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．【详解】解：图中有弦共3条，【变式1】下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B．【变式2】下列命题中，正确的个数是（）

⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；

⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.

A.1个B.2个C.3个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选C.【变式2】（1）图①中有条弧，分别为；（2）写出图②中的一个半圆；劣弧：；优弧：．【答案】2；,；；；．【详解】解：（1）图①中有2条弧，分别为,；故答案为：2，,；（2）写出图②中的一个半圆；劣弧：；优弧：．故答案为：；；．考点2：点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．【例2】已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（

）A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定【答案】B【详解】解：∵，，∴，∴点A在圆上，【变式1】已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4cm；(2)5cm；(3)6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【答案与解析】（1）当d=4cm时，∵d＜r，∴点P在圆内；（2）当d=5cm时，∵d=r，∴点P在圆上；（3）当d=6cm时，∵d＞r，∴点P在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.【变式2】已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的距离d＝OD＝3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?【答案与解析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．连接PO，QO，RO．∵PD＝4cm，OD＝3cm，∴PO＝．∴点P在⊙O上．，∴点Q在⊙O外．，∴点R在⊙O内．考点3：圆的确定不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．【例3】（2022秋•西湖区校级月考）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．【变式】（2022•江岸区模拟）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，由题意得，＝，解得，y＝，故选：C．考点4：三角形的外接圆（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个【例4】（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）的外心在三角形的一边上，则是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【答案】B【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形；当的外心在的外部时，则是钝角三角形；当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边．【变式】（2022秋•定海区期中）△ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【解答】解：若外心在三角形的外部，则三角形是钝角三角形；若外心在三角形的内部，则三角形是锐角三角形；若外心在三角形的边上，则三角形是直角三角形，且这边是斜边．故选：A．考点5.图形旋转的相关概念在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AOA′)．如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角．••C′B′CBAA′O要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度【例5】如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF．在这个旋转过程中：（1）旋转中心是谁?（2）旋转方向如何?（3）经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？（4）图中哪个角是旋转角？（5）四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？（6）AO与DO的长度有什么关系？BO与EO呢？（7）∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？【答案与解析】（1）旋转中心是点O；（2）旋转方向是逆时针方向；（3）点A的对应点是点D,点B的对应点是点E;(4)∠AOD和∠BOE;(5)四边形AOBC与四边形DOEF形状一致，大小相等；（6）AO=DO,BO=EO;(7)∠AOD=∠BOE．【变式】如图所示：O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．【答案】下面给出几种解法：

解法一：连接OA、OB、OC即可．如图甲所示；

解法二：在AB边上任取一点D，将D分别绕点O旋转120°和240°得到D1、D2，连接OD、OD1、OD2即得，如图乙所示．解法三：在解法二中，用相同的曲线连结OD、OD1、OD2即得如图丙所示考点6旋转作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

(4)连接所得到的各对应点．【例6】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将向下平移4个单位，得到，再把绕点顺时针旋转，得到，请你画出和（不要求写画法）．

【答案与解析】【总结升华】注意平移和旋转中关键点移动规律的不同．【变式】如图，画出绕点逆时针旋转所得到的图形．【答案】(∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=100°)考点7旋转的性质（重点）(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）；(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）；要点诠释：１、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转．２、旋转前后图形的大小和形状没有改变．【例7】（2022秋•镇海区校级期中）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点（）A．O B．P C．Q D．M【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．【解答】如图，连接BB′，AA′可得其垂直平分线相交于点P，故旋转中心是P点．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．考点8.垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的逆定理1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的逆定理2平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。要点诠释：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【例8】（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．（1）若，，求的长；（2）若，且，求弦的长；【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长；（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．【详解】解：（1）连接AO和DO，∵，且EF过圆心，∴，∵，∴，∵，∴，同理，，∴；（2）如图，连接BO和DO，∵，∴，∴，设，则，在中，，，解得，（舍去），∴，∴．【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．【变式】（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（

）A． B． C．11 D．15【答案】D【分析】连接，，根据，，弧，弧的中点分别是、、、，得到，，从而得到H、I分别是、的中点，利用中位线定理即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，，∵，，弧，弧的中点分别是、、、，∴，，∴H、I分别是、的中点，∴∵，，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查了中位线定理，垂径定理，解题的关键是正确的作出辅助线，根据垂径定理得到，．考点9.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.圆心角定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等．要点诠释：

等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；【例9】（2023•杭州二模）如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°【分析】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到＝，于是得到＝＝，推出AE＝BE＝BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，则＝，∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝AOB，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，∴＝＝，∴AE＝BE＝BC，∴2BC＞AB，故C错误；∵OA＝OB＝OC，∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；∵∠BOE＝∠BOC＝AOB，∵∠BOE+∠OBA＝90°，∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式】（2022秋•越城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（）A．4π B．6π C．8π D．9π【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算．【解答】解：如图，连接OC、OD．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4，∴⊙O的周长＝2×4π＝8π．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等．考点10.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系1°的弧的定义1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点：(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.【例10】若一条弦把圆周分成的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________．【答案】【分析】一条弦把圆周分成的两段弧，所以圆的中心角被分成了5份，每一份占，劣弧对应的圆心角占了2份，即．解：∵一条弦把圆周分成的两段弧，∴劣弧所对圆心角的度数为，故答案为：．【点睛】本题考查了优弧与劣弧的概念，本题的关键找到隐藏条件，圆的中心角．考点11.圆周角定理圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【例11】如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同弧所对等圆周角相等求解即可．【详解】∵所对应的弧为，∴，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．【变式】（2023•西湖区校级三模）如图，点A、B、C在圆O上，若∠A＝50°，则∠OBC的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°【分析】根据圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，故选：A．【点评】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形性质，它们均为几何中重要知识点，必须熟练掌握．考点12.圆周角定理的推论推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【例12】（2023•西湖区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝．【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，∵∠AED＝100°，∴∠BED＝∠BCD+∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠BED﹣∠BCD＝80°﹣30°＝50°，故答案为：50°．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．【变式】如图，四边形内接于⊙O，为直径，，连接．若，则的度数为（

）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】A【分析】连接，根据等弧所对的圆周角相等可得，再根据直径所对的圆周角为直角可得，最后根据三角形的内角和即可求解．【详解】解：连接，∵点C为的中点∴∵为的直径∴∴故选：A．【点睛】本题主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用考点13.圆内接四边形的性质定理1.圆内接四边形的对角互补．2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．【例13】（2023·浙江绍兴·校考一模）如图，四边形内接于，，连接，点P是半径上任意一点，连接，，则可能为度（写出一个即可）．【答案】80【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，得到．【详解】解：连接、，∵四边形内接于，，∴，由圆周角定理得，，∴，即，∴可能为，故答案为：80．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．考点14.正多边形的有关概念（重点）（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。（3）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。（5）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。正多边形的画法

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。

要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.正多边形的对称性（拓展）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

【例14】（2022秋•南浔区期末）已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD＝CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故答案为：72°．【点评】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n﹣2）×180°是解题的关键．【变式】（2022秋•滨江区期末）如图，正五边形ABCDE的对角线AC和AD分别交对角线BE于点M，N，若△AMN的面积为s，则正五边形ABCDE的面积为（结果用含s的代数式表示）．【分析】由正五边形的性质可得，△AMN∽△BAN∽△ACD，设AB＝a，表示出解得AM＝a，则MN＝a﹣a＝a，得出S△ABM＝s，同理求出S△ACD＝s，从而解决问题．【解答】解：由正五边形的性质可知，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，AM＝AN＝BM＝NE，由正五边形的性质可得，△AMN∽△BAN∽△ACD，设AB＝a，∵△AMN∽△BAN，∴＝，即＝，解得AM＝a，∴MN＝a﹣a＝a，∴＝＝，∴S△ABM＝s，∵△AMN∽△ACD，∴＝（）2＝，∴S△ACD＝s，∴S正五边形ABCDE＝S△ACD+4S△ABM+2S△AMN＝s+4×s+2s＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了正边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．考点15.弧长公式（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．【例15】（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【分析】根据弧长公式计算即可．【解答】解：由弧长公式得，故答案为：4π．【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长的公式，即（l表示弧长，n是弧所对圆心角的度数，r表示半径）．【变式】（2023•拱墅区校级模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为（）A． B．π C．2π D．3π【分析】连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE＝60°，再根据弧长公式计算，得到答案．【解答】解：连接OD、OE，∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°，∵OB＝OD，OE＝OC，∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，∴∠DOE＝60°，∴的长为：＝π，故选：B．【点评】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．考点16.扇形的面积（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）【例16】（2023•鹿城区校级二模）若扇形的圆心角为60°，半径为3cm，则该扇形的面积为cm2．【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：该扇形的面积为＝π（cm2）．故答案为：π．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．【变式】（2022秋•宁波期末）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，点D是BC中点，连接OE，OD．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的长和扇形EOD的面积．【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O直径，得到∠ADB＝90°，继而得出AD是线段BC的中垂线，即可求解；（2）由等边对等角及三角形外角的性质求出∠AOE，∠EOD的度数，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可．【解答】解：（1）连接AD，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，又∵D是BC中点，∴AD是线段BC的中垂线，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵∠A＝40°，OA＝OE，∴∠A＝∠AEO＝40°，∴∠AOE＝100°，∵AB＝6，∴OA＝OE＝3，∴，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ABC＝70°＝∠ODB，∴∠AOD＝140°，∴∠EOD＝40°，∴．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形面积公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．考点17.不规则图形面积的求法求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【例17】（2023•浙江模拟）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（）A．14π B．7π C． D．2π【分析】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝﹣＝＝7π，故选：B．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．【变式】（2023•南湖区二模）如图，将半径为的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，则重叠部分（阴影部分）的面积为（）A． B．cm2 C．πcm2 D．【分析】连接OF，过点F作FH⊥OB于H，设OF＝xcm，则DH＝cm，FH＝cm，Rt△OFH中根据勾股定理可列方程，即可求出x，进而得到FH长，从而求得∠FOH＝30°，利用S阴影＝S扇形FOB﹣S△ODF计算即可．【解答】解：如图，连接OF，过点F作FH⊥OB于H，设OF＝xcm，在Rt△DFH中，∠CDB＝60°，则DH＝cm，FH＝cm，根据平移的性质得：OB＝DE＝2cm，在Rt△OFH中，（x）2+（2+）2＝（2）2，∴x＝2（舍去负值），∴FH＝＝，∴∠FOH＝30°，∴S阴影＝S扇形FOB﹣S△ODF＝﹣＝（）（cm2）．故选：D．【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题关键是将不规则图形转化成规则图形【核心素养提升】1逻辑推理——解决圆中的证明题1．（2023秋·浙江·九年级校考开学考试）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点．(1)求证：；(2)若C是的中点，设，用含α的代数式表示β．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先根据已知条件结合对顶角相等、三角形外角的性质可得，然后再根据圆的内接四边形对角互补即可证明结论；（2）先根据等弧所对的弦相等求得，再说明，即是的垂直平分线；从而得到，；然后再根据直角三角形的性质可得，进而求得即可．【详解】（1）证明：∵，，∴∵的内接四边形∴∴，即．（2）解：连接，∵C是的中点∴∴∵∴∴∴是的垂直平分线∴，∵，∴∴∵∴∴．【点睛】本题主要考查了圆的性质、圆的内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解答本题的关键．2数学建模——利用构建方程模型求得线的长度2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】垂径定理得到，三角形中位线定理得到，在中，设，则，，则，解得，则，，即可得到的长．【详解】解：∵的半径弦于点C，连接并延长交于点E，∴垂直平分，是的直径，∴，∴是的中位线，∴，在中，设，则，∵，∴，解得：，即，，∴，故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，根据勾股定理得到是解题的关键．3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，已知，，以点C为圆心、长为半径的圆交于点D，，则的长为（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】如图，作于E．连接，在中，设，利用30度性质即可求出，，，再根据垂径定理可以求出．【详解】解：如图，作于E．连接，则，∴，，∵，，∴，在中，设，∴，，，∴，∴，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅助线，记住直角三角形30度角性质，属于基础题，中考常考题型．4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为，水面最深的地方高度为，则该输水管的半径为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作半径于C，连接，设圆的半径是，则，，，由勾股定理列出方程求解即可．【详解】作半径于C，连接，设圆的半径是，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴该输水管的半径为，故选：A．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．3分类讨论思想5．（2023春·浙江杭州·九年级校联考期中）已知和有相同的外心，，则的度数是．【答案】或【分析】证明和是同一外接圆，分两种情况：当点和在的异侧和同侧，根据圆内接四边形的性质和圆周角的性质即可求得结论．【详解】解：和有相同的外心，设外心为，则和外接圆的半径都为，和是同一外接圆，当点和在的异侧时，如图1，，，，当点和在的同侧时，如图2，，综上所述：的度数是或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，能够正确画出图形，分类讨论是解决问题的关键．6．（2022·浙江·九年级专题练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可．【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为由题意知，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接由题意知，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故选D．【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．7．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、．在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，_______．【答案】或【分析】①当点在点上方时，先判断出四边形是矩形，求出，再根据勾股定理求出，，得出；②当点在点下方时，同①的方法得，，，进而得出，即可得出结论．【详解】∵为等腰直角三角形，，，①当点在点上方时，如图③，过点作交的延长线于，当时，可证，，，，四边形是矩形，，矩形是正方形，，在中，根据勾股定理得，，．②当点在点下方时，如图④同①的方法得，，，，综上所述，的长为或．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形和矩形的性质与判定，解题的关键是能够根据题意进行分情况讨论．4直观想象——求不规则图形的面积8．（2023•杭州二模）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【分析】连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．【解答】解：连接OE，OC，BC，由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC为等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝，∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣××＝，故选：C．【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．9．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在菱形中，分别以点A，C为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）【答案】【分析】连接交于O，先根据菱形的性质和含30度的直角三角形的性质分别求得及对角线的长，再利用菱形和扇形面积公式，由求解即可．【详解】解：连接交于O，∵四边形是菱形，，，∴，，，，∴，∴在中，，，∴，，∴故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、扇形面积公式、含30度的直角三角形的性质，熟记扇形面积公式，掌握菱形的性质，得到阴影部分的面积的计算表达式是解答的关键．10．（2022秋•上城区期末）已知AB是圆O的直径，半径OD⊥BC于点E，的度数为60°．（1）求证：OE＝DE；（2）若OE＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BD，证明△OBD是等边三角形，可得结论；（2）根据S阴＝S扇形AOC+S△COE，求解即可．【解答】（1）证明：连接BD，∵的度数是60°，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∵OD⊥BC，∴OE＝DE；（2）解：连接OC．∵OD⊥BC，OC＝OB，∴∠COE＝∠BOE＝60°，∴∠OCE＝30°，∴OC＝2OE＝2，∴CE＝＝＝，∴S阴＝S扇形AOC+S△COE＝+××1＝+．【点评】本题考查了扇形面积、三角形的面积的计算，正确证明△BOD是等边三角形是关键．11．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．(1)求证：；(2)若，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理的推论，即可得到结论；（2）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．【详解】（1）证明：根据题意，是半圆的直径，∵点是的中点，∴，∵，∴，∴．（2）解：如图所示，连接，∵，，∴是等边三角形，过点C作，∵，∴，∴，∴，∴，，∴．【点睛】本题主要考查扇形面积，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键．【中考热点聚焦】热点1.垂径定理与勾股定理的综合应用1．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理得OA＝＝＝10，即可求出答案．【解答】解：∵AD＝CD＝8，∴OB⊥AC，在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，∴OB＝10，∴BD＝10﹣6＝4．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OB⊥AC是解题的关键．2．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）A．20m B．28m C．35m D．40m【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为Rm，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝m，在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（）2+（R﹣7）2＝R2，解得R＝≈28．故选：B．【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题．热点2.旋转的性质的应用3．（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A（4，2）．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1（﹣，0），M2（﹣，﹣1），M3（1，4），M4（2，）四个点中，直线PB经过的点是（）A．M1 B．M2 C．M3 D．M4【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y＝x+2中可解答．【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），∴PA⊥y轴，PA＝4，由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，如图，过点B作BC⊥y轴于C，∴∠BPC＝30°，∴BC＝2，PC＝2，∴B（2，2+2），设直线PB的解析式为：y＝kx+b，则，∴，∴直线PB的解析式为：y＝x+2，当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣，∴点M1（﹣，0）不在直线PB上，当x＝﹣时，y＝﹣3+2＝﹣1，∴M2（﹣，﹣1）在直线PB上，当x＝1时，y＝+2，∴M3（1，4）不在直线PB上，当x＝2时，y＝2+2，∴M4（2，）不在直线PB上．故选：B．【点评】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．4．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标．【分析】利用旋转变换的性质作出图形可得结论．【解答】解：如图，点A（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点B的坐标（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．热点3.圆心角与圆周角的综合应用5．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．130°【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，∵∠DOE＝130°，∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半热点4.圆周角定理的综合应用6．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD＝∠BOD，进而得出∠AOD＝60°，由圆周角定理得出∠APD＝∠AOD＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC⊥AB，∴，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键．热点5.正多边形的计算7．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：∵正六边形内接于，∴∠COD==60°，则∠COE=120°，∴∠CME=∠COE=60°，故选：D．【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．8．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．【详解】解：连接OB，OC，∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径为：3，∵∠BOC360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝3，∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，故选：C．【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．9．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在正六边形中，连接，则____________度．【答案】30【分析】连接BE，交CF与点O，连接OA，先求出，再根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质求解即可．【详解】连接BE，交CF与点O，连接OA，在正六边形中，，，故答案为：30．【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．热点6.弧长与扇形面积的计算10．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【分析】根据弧长公式计算即可．【解答】解：由弧长公式得，故答案为：4π．【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长的公式，即（l表示弧长，n是弧所对圆心角的度数，r表示半径）．11．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC