1随机古典概型与几何

第十二章概率与统计§12.1随机事件、古典概型与几何概型高考理数

(课标Ⅲ专用)五年高考A组

统一命题·课标卷题组考点一古典概型(2018课标全国Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素

数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C本题主要考查古典概型.不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从这10个素数中随机选取两个不同的数,

有

=45种情况,其和等于30的情况有3种,则所求概率等于

=

.故选C.方法总结解决关于古典概型的概率问题关键是正确求出基本事件的总数和所求事件包含

的基本事件数.(1)当基本事件的总数较少时,可用列举法把所有基本事件一一列举出来.(2)注

意区分排列与组合,正确使用计数原理.考点二对立事件与互斥事件的概率(2015课标Ⅱ,18,12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20

个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分

的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);A地区

B地区

4

5

6

7

8

9

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价

结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意解析(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A地区

B地区

3642688643928651755245678968136424553346932113通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A

地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为

,

,

,

,故P(CA1)=

,P(CA2)=

,P(CB1)=

,P(CB2)=

,P(C)=

×

+

×

=0.48.考点三几何概型1.(2018课标全国Ⅰ,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个

半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围

成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,

Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则

()A.p1=p2

B.p1=p3

C.p2=p3

D.p1=p2+p3

答案

A本题主要考查几何概型概率的求法.不妨设BC=5,AB=4,AC=3,则△ABC三边所围成的区域Ⅰ的面积S1=

×3×4=6,区域Ⅲ的面积S3=

×

-S1=

-6,区域Ⅱ的面积S2=

×22+

×

-

=6,所以S1=S2>S3,由几何概型的概率公式可知p1=p2>p3,故选A.方法总结与面积有关的几何概型的解法求与面积有关的几何概型的概率时,关键是弄清某事件所有结果对应的平面区域的形状并能

正确计算面积.必要时可根据题意构造两个变量,利用平面直角坐标系,找到全部试验结果构成

的平面图形及某事件所有结果构成的平面图形,以便求解.2.(2017课标全国Ⅰ,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆

中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自

黑色部分的概率是

()

A.

B.

C.

D.

答案

B本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心

对称,则黑色部分的面积为

,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=

=

,故选B.3.(2016课标全国Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车

站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B解法一:7:30的班车小明显然是坐不到了.当小明在8:00前到达,或者8:20之后到达,

他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为

=

.故选B.解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,其他时刻到

达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-

=

.思路分析根据题意作出时间轴图象,小明到达时间点落在AB段内,而他到达的时间在线段

AC或者BD内时,才会保证等车时间不超过10分钟.

B组

自主命题·省(区、市)卷题组考点一古典概型1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽

到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C本题主要考查古典概型.由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n=9×8=72,抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基

本事件个数m=

=40,所以所求概率P=

=

=

.故选C.方法技巧古典概型中基本事件个数的探求方法:①枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举;②树状图法:适用于对较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意对有序问题的基本事件的探求;③排列、组合法:在求一些较为复杂的基本事件时,可利用排列、组合知识求出基本事件个数.2.(2015广东,4,5分)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中

任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为

()A.

B.

C.

D.1答案

B从15个球中任取2个球,取法共有

种,其中恰有1个白球,1个红球的取法有

×

种,所以所求概率为P=

=

,故选B.3.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同

学中至少有1名女同学的概率是

.答案

解析本题主要考查了古典概型和古典概型概率的计算方法,考查学生的应用意识和运算求

解能力,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.解法一:记3名男同学分别为a1、a2、a3,2名女同学分别为b1、b2,从这5名同学中选出2名同学的

选法如下:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10种,其中至少有1

名女同学的选法如下:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7种,故所求概率P=

.解法二:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学共有

=10种选法,其中选出的2名同学都是男同学的选法有

=3种,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率P=1-

=

.解后反思解决古典概型概率问题的关键是不重不漏地列出所有基本事件,既可以从正面直

接求解,也可以从反面找对立事件来求解.4.(2019上海,10,5分)某三位数密码,每位数字可在0—9这10个数字中任选一个,则该三位数密

码中,恰有两位数字相同的概率是

.答案

解析设恰有两位数字相同为事件A,解法一:P(A)=

=

.解法二:P(A)=1-

=

.易错警示所有基本事件的个数为103,而非

.5.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,

从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是

(结果用最简分数表示).答案

解析本题主要考查古典概型的概率计算.记5克、3克、1克砝码分别为5、3、1,两个2克砝

码分别为2a,2b,则从这五个砝码中随机选取三个,有以下选法:(5,3,1),(5,3,2a),(5,3,2b),(5,1,2a),

(5,1,2b),(5,2a,2b),(3,1,2a),(3,1,2b),(3,2a,2b),(1,2a,2b),共10种,其中满足三个砝码的总质量为9克

的有(5,3,1),(5,2a,2b),共2种,故所求概率为P=

=

.6.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好

选中2名女生的概率为

.答案

解析本题考查古典概型.解法一:把男生编号为男1,男2,女生编号为女1,女2,女3,则从5名学生中任选2名学生有:男1男2,男1

女1,男1女2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10种情况,其中选中2名女生有3种

情况,则恰好选中2名女生的概率为

.解法二:所求概率P=

=

.易错警示在使用古典概型的概率公式时,应注意:(1)要判断该概率模型是不是古典概型;(2)

分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m,常用列举法把基本事件一一列举出来,再利

用公式P(A)=

求出事件A发生的概率,列举时尽量按某一顺序,做到不重复、不遗漏.7.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩

具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是

.答案

解析先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),……(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个.其中出现向上的点数之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个.从而出现向上的

点数之和小于10的数对共有30个,故所求概率P=

=

.8.(2018天津,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层

抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加

法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽

取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=

(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X0123P

随机变量X的数学期望E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

=

.(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取

的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=

.所以,事件A发生的概率为

.名师点睛超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分

布的特点:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.考点二对立事件与互斥事件的概率1.(2018北京,17,12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类

电影得到人们喜欢,“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1解析(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率是

=0.025.(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.故所求概率为P(A

+

B)=P(A

)+P(

B)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.解后反思古典概型的概率以及方差的求解:在使用古典概型的概率公式时,应该注意:(1)要判断该概率模型是不是古典概型;(2)先分清基

本事件的总数n与事件A中包含的结果数m,再利用公式P(A)=

求出事件A发生的概率.在求方差时,要学会判断随机变量是不是服从特殊分布,若服从,则利用特殊分布的方差公式求解.2.(2015北京,16,13分)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如

下:A组:10,11,12,13,14,15,16;B组:12,13,15,16,17,14,a.假设所有病人的康复时间互相独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的

人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解析设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,事件Bj为“乙是B组的第j个人”,i,j=1,2,…,7.由题意可知P(Ai)=P(Bj)=

,i,j=1,2,…,7.(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第

7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=

.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)

=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=

.(3)a=11或a=18.考点三几何概型1.(2015陕西,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为

()A.

+

B.

-

C.

-

D.

+

答案

B∵|z|≤1,∴(x-1)2+y2≤1,表示以M(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内部,该圆的面积为

π.易知直线y=x与圆(x-1)2+y2=1相交于O(0,0),A(1,1)两点,如图:

∵∠OMA=90°,∴S阴影=

-

×1×1=

-

.故所求的概率P=

=

=

-

.2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=

的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是

.答案

解析本题考查几何概型.由6+x-x2≥0,得-2≤x≤3,即D=[-2,3],∴P(x∈D)=

=

.3.(2016山东,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生

的概率为

.答案

解析

直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交的充要条件为

<3,解之得-

<k<

,故所求概率为P=

=

.思路分析直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交的充要条件为圆心(5,0)到直线y=kx的距离小于半径,

从而求得k的范围,再利用几何概型的概率公式来求解概率.C组

教师专用题组考点一古典概型1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日

都有同学参加公益活动的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

D由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况,而4

位同学都选周六有1种情况,4位同学都选周日有1种情况,故周六、周日都有同学参加公益活

动的概率P=

=

=

,故选D.思路分析“周六、周日都有同学参加”的对立事件是“周六、周日两天中有一天无同学

参加”,而每位同学有两种选择,共24种.周六、周日两天中有一天无同学参加的情况有2种,故

所求概率P=

=

.2.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是

.答案

解析从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况.满足条件的有(2,3),(1,6),共2种情况.故P=

=

.3.(2014江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概

率是

.答案

解析

从10件产品中任取4件有

种取法,取出的4件产品中恰有1件次品有

种取法,则所求的概率P=

=

.4.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的

人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由已知,有P(A)=

=

.所以,事件A发生的概率为

.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

.所以,随机变量X的分布列为X012P

随机变量X的数学期望E(X)=0×

+1×

+2×

=1.考点二对立事件与互斥事件的概率(2013北京,16,13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100

表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日

中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解析设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(Ai)=

,且Ai∩Aj=⌀(i≠j).(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A8.所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=

.(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=

,P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=

,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=

.所以X的分布列为X012P

故X的期望EX=0×

+1×

+2×

=

.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.考点三几何概型1.(2014湖北,7,5分)由不等式组

确定的平面区域记为Ω1,不等式组

确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

D区域Ω1为直角△AOB及其内部,S△AOB=

×2×2=2.区域Ω2是直线x+y=1和x+y=-2夹成的条形区域.由题意得所求的概率P=

=

=

.故选D.

2.(2015福建,13,4分)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内

随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于

.

答案

解析由题图可知S阴影=S矩形ABCD-

x2dx=1×4-

=4-

=

,则所求事件的概率P=

=

=

.A组

2017—2019年高考模拟·考点基础题组三年模拟考点一古典概型1.(2019四川蓉城名校联盟第二次联考,9)2只大熊猫与3只熊猫机器人站成一排表演节目,则3

只熊猫机器人中有且只有2只熊猫机器人相邻的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B先捆绑再插空,P=

=

.故选B.2.(2018广西桂林、北海、崇左联合调研考试,5)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表,甲被

选中的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表,甲被选中的概率是

=

,故选B.3.(2019四川成都石室中学4月月考,13)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的

概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示

击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组如下的随机数:73270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为

.答案

解析由随机数表可知,共有20个随机事件,其中该运动员射击4次至少击中3次有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共7个,因此估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为

.考点二对立事件与互斥事件的概率(2017云南五校联考,9)甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中

目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为

和P,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为

.假设甲、乙两人射击互不影响,则P的值为

()A.

B.

C.

D.

答案

C设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则P(A)=

,P(B)=P,则

=P(A

+

B)=

(1-P)+

×P,解得P=

.故选C.思路分析

甲、乙相互独立,由对立事件的概率公式即可算得甲击中乙不击中,甲不击中乙击

中的概率,即可算得P的值.考点三几何概型1.(2019广西桂林、梧州、贵港、玉林、崇左、北海联考,5)现模仿铜钱制作一个半径为2cm

的圆形铜片,中间有边长为1cm的正方形孔.若随机向铜片上滴一滴水(水滴的大小忽略不计),

则水滴正好落入孔中的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

D因为铜片的面积为π×22=4π,中间方孔的面积为1,则所求概率为

,故选D.2.(2019第一次全国大联考(课标Ⅲ卷),8)已知一只蚂蚁在底面半径为5cm,高为12cm的圆锥侧

面爬行,若蚂蚁在圆锥侧面上任意一点出现的可能性相等,且将蚂蚁看作一个点,则蚂蚁距离圆

锥顶点超过5cm的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

C易得圆锥的母线长为13cm,当蚂蚁距离圆锥顶点不超过5cm时,蚂蚁应爬行在底面

半径为

cm,母线长为5cm的小圆锥侧面上,由几何概型可知,蚂蚁距离圆锥顶点超过5cm的概率为1-

=

,故选C.3.(2019四川宜宾二诊,8)已知b是区间[-2

,2

]上的随机数,直线y=-x+b与圆x2+y2=1有公共点的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C圆x2+y2=1的圆心为点(0,0),半径r=1,圆心到直线y=-x+b的距离d=

=

,直线与圆有公共点,则d≤r,即

≤1,解得-

≤b≤

,所以直线与圆有公共点的概率为

=

.故选C.4.(2018广西桂林、贺州联考,7)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象地表达了阴阳

轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太

极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被y=3sin

x的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为

()

A.

B.

C.

D.

答案

D根据题意,大圆的直径为y=3sin

x的周期,则T=

=8,大圆面积S=π×

=16π,一个小圆的面积S'=π×12=π,根据几何概型概率公式可得在大圆内随机取一点,此点取自阴影部分的

概率P=

=

=

,故选D.5.(2018四川成都毕业班摸底测试,9)小明在花店定了一束鲜花,花店承诺将在第二天早上7:30~

8:30之间将鲜花送到小明家.若小明第二天离开家去公司上班的时间在早上8:00~9:00之间,则

小明在离开家之前能收到这束鲜花的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

D设送花人到达的时间为x,小明离家去工作的时间为y,记小明离家前能收到鲜花为

事件A,以横坐标表示鲜花送到时间,以纵坐标表示小明离家时间,建立平面直角坐标系,如图,

根据题意,阴影区域内的点表示小明在离开家前能收到鲜花,即事件A发生,所以P(A)=1-

=

.故选D.

B组

2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:20分钟分值:25分选择题(每小题5分,共25分)1.(2019广西南宁二中、柳州高中第二次联考,5)已知直角坐标系xOy中,O(0,0),A(1,0),B(1,2),C(0,2).设D是矩形区域OABC,E是D内位于函数y=

(x>0)图象下方的阴影区域,从D内随机取一个点M,则点M取自E内的概率为()

A.

B.

C.

D.

答