2022届上海市浦东新区高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数二满足（z—i）（—i）=5,则z=（）

A.6/B.-6iC.-6D.6

2.若复数加（加一2）+（加2-3,”+2）,•是纯虚数，则实数机的值为（）

A.0或2B.2C.0D.1或2

3.根据最小二乘法由一组样本点（x,,y）（其中i=l,2,L,300）,求得的回归方程是亍=晟+6,则下列说法正确的

是（）

A.至少有一个样本点落在回归直线m=晟+4上

B.若所有样本点都在回归直线$=晟+方上，则变量同的相关系数为1

C.对所有的解释变量七3=1,2,L,300）,bXj+a的值一定与£有误差

D.若回归直线夕4的斜率方＞0,则变量x与y正相关

4.已知a,bGR,3+ai=b-（2a-l）i,则（）

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a

5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取

一，余米一斗五升（注：一斗为十升）.问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15（单

位：升），则输入的k的值为（）

□

/输出S/

（结束］

A.45C.75D.100

6.为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量）和气温x之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及

当天气温得到如图所示的散点图（X轴表示气温，）'轴表示销售量），由散点图可知）'与x的相关关系为（）

A.正相关，相关系数r的值为0.85

B.负相关，相关系数，•的值为0.85

C.负相关，相关系数，•的值为-0.85

D.正相关，相关负数，•的值为-0.85

7.下列四个图象可能是函数y=并驾匣”图象的是（）

8.在中，A8=3,AC=2,ABAC=60°,点。，E分别在线段A3,CD上,且比＞=24),CE=2ED,

则屁•而=（）•

A.-3B.-6C.4D.9

9.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）

10.已知S,是等差数列｛4｝的前〃项和，若S2018<S2020<S20l9,设勿=anan+ian+2,则数列，的前〃项和取

最大值时"的值为（）

A.2020B.2019C.2018D.2017

11.已知函数/(x)=“，-针”+CCb,c均为常数)的图象关于点(2,1)对称，则/(5)(-1)=()

A.-2B.-1C.2D.4

12.执行如图所示的程序框图后，输出的值为5,则。的取值范围是（

37597151531

A.C.

458610851616'32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（21-球的展开式中/的系数为（用具体数据作答）.

II/（%.）-f（x2）_

14.设函数/。）=%,一4,若对于任意的』，X2G［2,+8）,不等式_一>0恒成立,则实数a

X\~X2

的取值范围是.

15.已知随机变量X服从正态分布N（4,c?）,P（X<6）=0.78,则P（XW2）=.

16.将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则

甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数

据分为［9,10）［1。11）,［11,12）,［12,13）,［1第4］五个小组（所调查的芯片得分均在［9,14］内），得到如图所示的频率分布

直方图，其中a—/?=0.18.

(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).

(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。

若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认

定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二

测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分,

手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方

法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均

为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为1()万元,

试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由.

18.(12分)如图,三棱柱48。一446中,侧面886。是菱形,其对角线的交点为。，且回=40=#,46_14。.

(1)求证：平面BBC。；

(2)设NA8C=60。，若直线A4与平面BBC。所成的角为45。，求二面角4一片0一6的正弦值.

19.(12分)如图，三棱柱—的所有棱长均相等，用在底面A8C上的投影。在棱上，且〃平面

ADC,

«

(I)证明：平面ADG，平面；

(n)求直线AB与平面AOG所成角的余弦值.

20.(12分)如图，四棱锥P-ABC。中，四边形ABC。是矩形，AB=—AD,为正三角形，且平面PAD,

2

平面ABC。，E、产分别为PC、PB的中点.

(1)证明：平面A£＞石尸，平面P8C；

(2)求二面角8—OE—C的余弦值.

21.(12分)已知六面体ABCDEF如图所示，BE1平面AB。，BE//AF,AD//BC,BC=1,CD=45,

FM1

AB=AF=AD=2,M是棱ED上的点，且满足——=-.

MD2

(1)求证：直线〃平面M4C；

(2)求二面角A—MC—。的正弦值.

22.(10分)已知函数/(x)=|x+l|-2|x-a|,a＞0.

(1)当。=1时，求不等式/(幻＞1的解集；

(2)若/(尤)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

由复数的运算法则计算.

【详解】

因为（z-i）（-i）=5,所以z=2+i=6i

-z

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的运算.属于简单题.

2.C

【解析】

试题分析：因为复数根（根一2）+（加2-3根+2），是纯虚数，所以根（加-2）=0且根2一3根+2工0,因此机=0.注意不

要忽视虚部不为零这一隐含条件.

考点：纯虚数

3.D

【解析】

对每一个选项逐一分析判断得解.

【详解】

回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A错误；

所有样本点都在回归直线y=Ax+6上，则变量间的相关系数为±1,故B错误；

若所有的样本点都在回归直线£4上，则R+&的值与y,相等，故C错误；

相关系数r与8符号相同，若回归直线§，=%+』的斜率6>0,贝!|r>0,样本点分布应从左到右是上升的，则变量X

与y正相关，故D正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

4.C

【解析】

两复数相等，实部与虚部对应相等.

【详解】

由3+ai=b-(2a-V)i,

3=b

得即a=；,b=l.

a=1-2a'

.'.b=9a.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念，属于基础题.

5.B

【解析】

根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算.

【详解】

123

由题意Sx—x―x—=15,S=60.

234

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键.

6.C

【解析】

根据正负相关的概念判断.

【详解】

由散点图知y随着x的增大而减小，因此是负相关.相关系数为负.

故选：c.

【点睛】

本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别.掌握正负相关的定义是解题基础.

7.C

【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由丫=虫囱目的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，因为＞=辿鼠区为

XX

奇函数，即可得到函数图象关于(-1,0)对称，即可排除A、D,再根据x〉0时函数值，排除5,即可得解.

【详解】

...y=5晦曾1的定义域为{xIXH-1},

其图象可由丁=返四的图象沿X轴向左平移1个单位而得到，

X

...y=51og3|x|为奇函数,图象关于原点对称，

X

...y=Slog31pli的图象关于点（一］,0）成中心对称.

X+1

可排除A、。项.

当x>0时，y=5陛|.+l|〉0,项不正确.

x+1

故选：C

【点睛】

本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档

题.

8.B

【解析】

根据题意，分析可得AO=1,由余弦定理求得。C的值，由

诙・丽=（而+方云）・丽=丽•丽+方后・通=丽•丽可得结果.

【详解】

根据题意，AB=3,BD=2AD,则4）=1

在AAOC中，又AC=2,NS4c=60。

则。C?=AO?+3-2ADOCcosZBAC=3

则。c=G

则CDJ.M

则屁•丽=（丽+诙）•丽=丽•砺+屁丽=丽•丽=3x2xcosl80=-6

故选：B

【点睛】

此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.

9.D

【解析】

用列举法，通过循环过程直接得出S与〃的值，得到〃=8时退出循环，即可求得.

【详解】

1113

执行程序框图，可得S=0,n=2,满足条件，5=-,n=4,满足条件，5=彳+:==,〃=6,满足条件,

2244

S=-+-+y^—,〃=8,由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为UX8=N.

24612123

故选D.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S与”的值是解题的关键，难度较易.

10.B

【解析】

1cle1+1

根据题意计算。2019〉0，。202。<0，«2019+«2020>0,计算;;—<0,厂>0，1~>得到答案・

”201802019“2018”2019

【详解】

S.是等差数列｛q｝的前〃项和，若5201g<S2020<S2O19,

故。2019>°，。2020<°，“2019+。2020>°，2=""“"+A+2，故丁-~~>

°nUnan+\an+2

1cl1cl1c

当〃W2017时，—>0,--=----------<0,--=----------->°,

b”。2018a2018a2019°2020“2019”2019。2020。2021

]+]_\।J____________42019+生020

>0,

“201802019。2018“2019a2020^2019^2020^2021。201842019a2020”2021

1c

当〃22020时，—<0,故前2019项和最大.

bn

故选：B.

【点睛】

本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

11.C

【解析】

根据对称性即可求出答案.

【详解】

解：•.•点(5,f(5))与点(-1,/(-1))满足(5-1)+2=2,

故它们关于点(2,1)对称，所以/(5)+/(-1)=2,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题.

12.C

【解析】

框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.

【详解】

1113

第一次循环：S=-,n=2；第二次循环：S=-+-=-,«=3

2222T4;

第三次循环：S=g+5+《=1,〃=4；第四次循环：S=g+5+★+?=^|，〃=5；

715

此时满足输出结果，故4.

8716T

故选：C.

【点睛】

本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.60

【解析】

利用二项展开式的通项公式可求x2的系数.

【详解】

6r

(2x-I)的展开式的通项公式为Tr+l=C；(2x)6-'(-l),

令6-r=2,故r=4,故1的系数为(―1/*C：x2?=60.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.

14.a<2

【解析】

试题分析：由题意得函数/。)=%卜一同在［2,+8)上单调递增，当aW2时/(x)=x(x-。)在［2,+8)上单调递增;

当。>2时/(%)=%打一。|在5,+s)上单调递增；在［2,a)上单调递减，因此实数a的取值范围是aW2

考点：函数单调性

15.0.22.

【解析】

正态曲线关于x=H对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。

【详解】

P(X<2)=l-P(X<6)=0.22

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题.

16.—

20

【解析】

先求出总的基本事件数，再求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件数，然后根据古典概型

求解.

【详解】

6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件总数共有

n=C：=20个，

甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件个数有：m=C；C；+C；C；+C=9个，

m9

所以甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为P=G=去.

9

故答案为：—

20

【点睛】

本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)11.57(2)预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析

【解析】

(1)先求出。=025,。=007,再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；(2)先求

出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.

【详解】

(1)依题意，(0.05+。+〃+035+028)*1=1,故a+Z?=032.

又因为a—b=0J8.所以a=025,人=0。7,

所求平均数为95x0.05+105x025+115x035+125x028+135x007

=0.475+2625+4.025+35+0.945=1157(万分)

(2)由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率2=00.28+007=0.7.

设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600,900,1200,1500,

尸(X=600)=()32=0X)9,P(X=9(X))=0.73+0.7x()32+03x0.7x03=0.469,

P(X=1200)=C\x03x0.72x03=01323,P(X=1500)=C\x03x072x0.7=03087,

故每颗芯片的测试费用的数学期望为

E(X)=600x0X)9+900x0.469+1200x0.1323+1500x03087=109791(元)，

因为100x1097.91>100000,

所以显然预算经费不够测试完这1()()颗芯片.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

18.(1)见解析；(2)述.

5

【解析】

(1)根据菱形的特征和题中条件得到g平面ABC一结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可.

【详解】

(1)证明：•••四边形是菱形，

，4CJ.BG，

vABVB,C,ABryBC^B,

平面ABC1

(540(=平面48。1,

B,C1AO

又•.•A5=AC，O是BQ的中点，

AO±Be1,

又•.•BCCBG=O

AO,平面3BCC

(2)vAB//A]Bj

直线A£与平面BqGC所成的角等于直线AB与平面BB£C所成的角.

•/AO_L平面BBQ。,

直线AB与平面BB©C所成的角为ZABO,即ZABO=45°.

因为AB=AC；=遥，则在等腰直角三角形ABG中=273,

所以6O=G,CO=4O=6Otan30°=l.

在R/AABO中，由NA3O=45°得A0=B0=6，

以。为原点，分别以OB,OB,,。4为x,%z轴建立空间直角坐标系O-xyz.

则A(O,O,5,B也0,0),5,(0,i,o),q(-V3,0,0)

所以电；=通=(V3,o,-V3),的=(-73,-1,0)

设平面A4G的一个法向量为1=（x,y,z）,

n-A.B,=+x-Gz=0_广

则JL2「，可得勺=(1,—6,1),

=-\/3x-y=0

取平面BB£C的一个法向量为兀=（0,0,1）,

m./_一、,几）

贝（jCOS〈勺，心=

-ImI

所以二面角A-与G-B的正弦值的大小为平.

（注：问题（2）可以转化为求二面角A-BC一用的正弦值，求出AO=BO=G后，在RMOBC中,过点。作8C

的垂线，垂足为〃，连接A”，则NAHO就是所求二面角平面角的补角，先求出0”=走，再求出人”=巫

22

最后在Rt^AOH中求出sinZAHO=内.)

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题.

19.(I)见解析(II)受互

14

【解析】

(I)连接AC交AG于点。，连接OD,由于A/II平面ADG，得出A3II。。，根据线线位置关系得出45_LBC，

利用线面垂直的判定和性质得出耳。，结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面AOC；，平面BCC|g；

(II)根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出丽=(1,6,0)和平面AOG的法向量

7=(-0,2),利用空间向量线面角公式，即可求出直线AB与平面AOG所成角的余弦值.

【详解】

解：(I)证明：连接4c交AC于点。，连接8,

则平面4BCn平面AOG=0D,

•.•45〃平面ADC1,

为AC的中点，.•・£)为3c的中点，.•.A£>_L3C

•.瓦。，平面ABC,ALLL4。

QAOu平面AOG，二平面ADC\1平面BCGg

(II)建立如图所示空间直角坐标系。一冲z,设43=2

则B（-1,O,O）,A（0,V3,0）,耳（0,0,⑹，C1（2,0,V3）

...丽=（l,G,0）,=（0,73,0）,DCx=（2,0,V3）

底=0

设平面4Z)G的法向量为3=(x,y,z),贝卜

lx+百z--0

取X=_g得7=卜底0,2卜

设直线AB与平面APC,所成角为e

sin。=H丽林|寻=誓

.•.cos”也

14

直线AB与平面AOG所成角的余弦值为—.

14

【点睛】

本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力.

20.(1)见解析；(2)旺

4

【解析】

(1)取AD中点。，8C中点“，连接P。，OH,PH.设EF交PH于G,则G为P”的中点，连接。G.

通过证明证得OG_L平面P8C,由此证得平面ADEE_L平面P8C.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面OEC和平面的法向量，计算出二面角B—OE—C的余弦值.

【详解】

(D取A。中点。，BC中点H,连接P。，OH,PH.

设EF交PH于G,则G为P”的中点，连接。G.

设AD=2,则=百，PO=6：.OGLPH.

由已知ADLPO,A£>_LO",二AD_L平面PO”，AO_LOG.

VEF//-BC//-AD,：.EF±OG,

=2=2

•••£Fc=G,JOG工平面P8C,

VOGu平面ADEF，二平面ADEF，平面PBC.

(2)由(1)及已知可得POL平面ABC。，建立如图所示的空间坐标系。—型，设4)=2,则尸(0,0,6,

C(>/3,l,0),£>(0,1,0),B(>/3-1,0),E孝，岑，应=停,-提等］,反=(后0,0),丽=卜后2,0),

瓜=0

令)=百得而=(0,6,1卜

设平面DEC的法向量为〃z=(x,y,z),1

——X——V4-——Z=0n

I222

百1上百_n

设平面3DE的法向量为方=(Xo，yo，Zo)，,令/=2得〃=（2,百，一1）,

-V3x0+2y0=0

...cos/m,Q=—1=也，二面角B-DE-C的余弦值为—.

'/2x2<244

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

21.(1)证明见解析(2)迫至

18

【解析】

(1)连接BO,设即cAC=O,连接MO.通过证明MO//BF,证得直线〃平面M4C.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面M4C和平面MCO的法向量，计算出二面角A-MC-。的正弦值.

【详解】

(1)连接BO,设比)cAC=O,连接M。，

…DOAO_2

因为A£>〃8C,所以△BOCsApQA,所以——

OB5c-7

,,MD2DO

在△阳D中，因为——

MFT-OB

所以MO"BF,且M。u平面MAC,

故BE〃平面MAC.

(2)因为M〃BC,AB=2,BC=l,AD=2,CD=45,所以他

因为BEHAF,BE1平面ABC。，所以Ab_L平面ABC。，

所以AF_LAB,AF±AD,

取AB所在直线为x轴，取A£>所在直线为)’轴，取A尸所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由已知可得3(2,0,0),C(2,l,0),£>(0,2,0),£(2,0,3),F(0,0,