2022届上海市高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若i为虚数单位，则复数z=-sin]+icos号,贝匹在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知函数/。）=“卜2%—21nx）（a>0）,D=1,1若所有点（s,/。）），（s,fe。）所构成的平面区域面积为

e2-l,贝!|。=(

3.已知三棱锥O-A5c的体积为2,△ABC是边长为2的等边三角形，且三棱锥D-A3C的外接球的球心。恰好

是CD中点，则球。的表面积为（）

52万40乃25乃

万

亍亍D.24

4.若函数/（x）=|lnx|满足/伍）=/伽，且0<a<b,则4a②上一二4的最小值是（）

4。+2〃

A.0B.1C.-D.2夜

2

丫2_1

5.已知函数/（1）=土」，则不等式的解集是（）

6.双曲线C：—-^-1（m>0）,左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线。的渐近线方程为（

)

5m

A.2x±5y=0B.2x±&y=0C.瓜±2y=（）D.氐土y=（）

7.函数〃力=%2任一1）卜2—4）的图象可能是（）

8.过抛物线产=2内（〃>0）的焦点作直线交抛物线于AB两点，若线段AB中点的横坐标为3,且同卸=8,则

抛物线的方程是（）

A.y1=2xB.y2=4xC.y2-8xD.y2~10%

9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝

才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，

每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

10.给出下列四个命题：①若"P且4”为假命题，则P、4均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③若命题P：叫）《火，片20,则命题x2<0；④设集合4=何%>1},3={x|x>2},贝!!“xeA”

是“xe8”的必要条件；其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

II.若》+9。,），£1«）与出互为共扼复数，则x+y=（）

1-z

A.0B.3C.-1D.4

12.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到

四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A,医生乙只能分配到医院A或医院8,医生丙不能分配到医生甲、

乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（）

A.18种B.20种C.22种D.24种

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

/、f|logx-a|,0<x<4.、

13.设函数/（x）=F,o1J。，若存在实数a使得关于x的方程/（x）=加有4个不相等的实根，且这

J（o—X）,4<X<o

4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是.

432

14.甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为二和二；乙笔试、面试通过的概率分别为彳和

543

若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是.

2

15.如图所示，平面BCGBi_L平面ABC,ZABC=120°,四边形BCC1B1为正方形，且AB=BC=2,则异面直线BG

与AC所成角的余弦值为.

16.记S“为等比数列｛q｝的前〃项和，已知％=-2,53=«2+3«）,则%=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

ak\Fk

已知矩阵A=（厚0）的一个特征向量为a=,

01一1

A的逆矩阵Ar对应的变换将点（3,1）变为点（1,1）.求实数a,k的值.

18.（12分）图1是由矩形AOE8,RtAA8C和菱形8/GC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,NF8C=60。,

将其沿A5,折起使得BE与重合，连结OG,如图2.

（1）证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面A5C_L平面5CGE；

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

19.（12分）已知点A为圆C：（x—l『+y2=i上的动点，。为坐标原点，过P（0,4）作直线。4的垂线（当A、O

重合时，直线。4约定为y轴），垂足为以。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求点M的轨迹的极坐标方程；

（扃\OA\

（2）直线/的极坐标方程为psin；=4,连接04并延长交/于B,求舄的最大值.

20.（12分）在三角形A8C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若2叵历sinA=〃+c?-/.

3

（I）求角A;

(II)若c=5,cosB=-,求。.

7

21.(12分)已知函数/(x)=|ox+l|+|x-l|.

(1)若。=2,解关于x的不等式/(x)<9；

(2)若当x>()时，/。)>1恒成立，求实数。的取值范围.

22.(10分)在平面直角坐标系中，A(—2,0),5(2,0),且满足tanAtan8=:

(1)求点。的轨迹E的方程；

(2)过F(-应，0)作直线MN交轨迹E于M,N两点,若AM43的面积是面积的2倍，求直线MN的方

程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

首先根据特殊角的三角函数值将复数化为z=-近-工3求出W，再利用复数的几何意义即可求解.

22

【详解】

-H+icos也」，

3322

百1.

Z=----------F-I

22

则z在复平面内对应的点的坐标为(一交21，位于第二象限.

2/

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的几何意义、共扼复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.

2.D

【解析】

依题意，可得/'(x)>0,在pl上单调递增，于是可得了。)在1,1上的值域为[a(e+2),e2q],继而可得

a(e2-e-2)=解之即可.

【详解】

2X

解：f'(x)=a(e-^\=~^>因为xe-,1,a>0,

vXJXLe-

所以/'(x)>0,在-,1上单调递增，

_e_

则/(X)在j,l上的值域为[a(e+2),e2q],

因为所有点(s,/(，))(s/GD)所构成的平面区域面积为e2-l,

所以a(e2-e-2)=

解得。=一二，

e-2

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到。(/-e-2)(l-3=e2-l是关键，考查运算能力，属于中档题.

e

3.A

【解析】

根据。是CD中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.

【详解】

解：设。点到平面A8C的距离为〃，因为。是CO中点，

所以0到平面ABC的距离为-,

2

三棱锥£>—A6c的体积V=gs,Bc/=；・；x2x2xsin6()\〃=2,解得/?=2-6,

作OO'，平面ABC,垂足。'为AABC的外心，所以。0'=皂1,且。O'="=G,

32

所以在RACO'O中，0C=JccP+002=行,此为球的半径,

„.,1352万

S-4乃R-=4万——=----.

33

故选：4

D

本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题.

4.A

【解析】

由/(4)=/3)推导出b=且0<a<l,将所求代数式变形为4a2+忙二4=网±£一_二，利用基本不等式

求得加+h的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.

【详解】

,/函数/(x)=|lnx|满足.・.(ln4)2=(lnb)2,BP(lntz-lnZ?)(ln6z+lnZ?)=0,

9：Q<a<by:Ana<]nb»/.\na+\nb=Q,即In(')=0=>龙=1,

/.\=ab>a2则0<。<1,

由基本不等式得2。+。=2。+工22当且仅当。=!时，等号成立.

a2

4«2+h2-4_(2a+by-4ab-4-_(2“+。『-8_2a+b4

4a+2b2(2a+/?)2(2a+Z?)22a+h

22

「A+h-42J24

所以，当2a+6=20时，a取得最小值工--1=0.

4a+2b22V2

故选：A.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.

5.B

【解析】

由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.

【详解】

V2_111

函数/(x)=^—_-=x--,可得/(幻=1+二，

X6(0,+8)时，/(X)>0,/(X)单调递增，

,」>0,e2A-,>0»

故不等式/(e"')>/Q2Z)的解集等价于不等式y>e2i的解集.

1—x>2x—1.

•x<2

・・人、・

3

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.

6.B

【解析】

首先求得双曲线的一条渐近线方程J晟x-石y=0,再利用左焦点到渐近线的距离为2,列方程即可求出加，进而求

出渐近线的方程.

【详解】

设左焦点为(-c,0),一条渐近线的方程为而x-=0,由左焦点到渐近线的距离为2,可得忙人=诟=2,

所以渐近线方程为y=±%，即为2x土石y=0,

故选：B

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.

7.A

【解析】

先判断函数y=/(x)的奇偶性，以及该函数在区间(0,1)上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.

【详解】

函数y=/(x)的定义域为R，/(-%)=(一%)21(-%)2-1]{(一X)--4=x2(x2-l)(x2-4)=/(%),该函数为偶

函数，排除B、D选项；

当0<x<l时，/(%)=%2(X2-1)(X2-4)>0,排除C选项.

故选：A.

【点睛】

本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合

排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8.B

【解析】

利用抛物线的定义可得,1AB\=\AF\+\BF\=xt+^+x2+-^，把线段A5中点的横坐标为3,1A切=8代入可得p值，

然后可得出抛物线的方程.

【详解】

设抛物线V=2px(p>0)的焦点为尸，设点4(%,乂),3(孙％)，

由抛物线的定义可知|43|=|4/|+|8/|=玉+々+々+々=(内+々)+〃，

线段A8中点的横坐标为3,又|A8|=8,.•.8=6+。，可得。=2,

所以抛物线方程为V=4x.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.

9.B

【解析】

人每天走的路程构成公比为;的等比数列，设此人第一天走的路程为4,计算4=192,代入得到答案.

【详解】

由题意可知此人每天走的路程构成公比为;的等比数列，设此人第一天走的路程为q,

1o1（1A

则L、乙）」=378，解得q=192,从而可得出=192X±=96,4=192X」=24，故的一%=96-24=72.

12\2J

1—

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

10.B

【解析】

①利用P人q真假表来判断，②考虑内角为9。，③利用特称命题的否定是全称命题判断，

④利用集合间的包含关系判断.

【详解】

若“P且4”为假命题，则"、q中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90时，不是象限角，故②错误；

由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为B=所以所以“xwA”是“xw3”的必要条件，

故④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题.

11.C

【解析】

计算2±£=1+2"由共轨复数的概念解得苍》即可.

\-1

【详解】

•••-=l+2i,又由共粗复数概念得：x=l,y=-2,

1-z

x+y=—1.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，共匏复数的概念.

12.B

【解析】

分两类：一类是医院4只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到

答案.

【详解】

根据医院A的情况分两类：

第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院氏当医院8只有1人，则共有C；卷种不同

分配方案，当医院8有2人，则共有C；8种不同分配方案，所以当医院4只分配1人时，

共有C；&+=10种不同分配方案；

第二类：若医院4分配2人，当乙在医院A时，共有禺种不同分配方案，当乙不在4医院，

在B医院时，共有C；A；种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，

共有A；+&$=10种不同分配方案；

共有20种不同分配方案.

故选：B

【点睛】

本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(-oo,l)

【解析】

先确定关于X的方程/(力=相当”为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想

来判断当。为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.

【详解】

由题意，当a»2时，log2x-«<0,此时/(x)=]_]oJ(8_r)at<8'此时函数/在(°，"单调递减，

在(4,8)单调递增，方程/(x)=m最多2个不相等的实根，舍；

当a<2时，函数/(x)图象如下所示：

从左到右方程/(x)=m,有4个不相等的实根，依次为演，x2>X3,4,即X1<X2<X3<X4，

由图可知aTogzX=log2%2一％故为々=4",且刍=8-/，工4=8—不，

俨)M4“)

从而X；+x；+x；+x；=2x；+-T6%+—+128,

31为"

4”

令f=$+—,显然，＞4",

王

片+x；+x；+x：=2/—16f+128—4"T,要使该式在，>4"时有最小值，则对称轴，=4〉4",解得。<1.

综上所述，实数。的取值范围是(-8,1).

【点睛】

本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.

14.A

15

【解析】

分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果.

【详解】

433211

甲被录取的概率P\=TxT=T*乙被录取的概率P2==,；

JtTJJJ

32]28

只有一人被录取的概率〃=〃](1_〃2)+〃2(1_〃1)=不乂4+4乂1=R.

2。JJLJ

Q

故答案为：—.

【点睛】

本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.

15.国

4

【解析】

将AC平移到和BC,相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.

【详解】

过B作5D//AC,过C作CD//A3,画出图像如下图所示，由于四边形A8CO是平行四边形，故8D//AC,所

以/。田。是所求线线角或其补角.在三角形86。中，忸储|=|。山=2及,8。=26,故

8+12—8旦

cos/C\BD=

2x20x2g4

【点睛】

本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

1

16.——

2

【解析】

设等比数列｛4｝的公比为明将已知条件等式转化为4,4关系式，求解即可.

【详解】

设等比数列｛6,｝的公比为夕，

S3=a,+3q,=2。］,..Q~=2,

4

a5—atq—4a,——2,/.a｝=-g.

故答案为:一:.

2

【点睛】

本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

knkak-k-Ak

17.解：设特征向量为a=对应的特征值为3则=%即＜

-1」LoiJnJL-iA.-X

因为k#),所以a=2.5分

31132k1]_13

因为AT'=，所以A即「[1

111101

所以2+k=3,解得k=2.综上，a=2,k=2.20分

【解析】

试题分析：由特征向量求矩阵A,由逆矩阵求k

考点：特征向量，逆矩阵

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵.

18.⑴见详解;⑵30°.

【解析】

(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED,R/AABC和菱形BFGC内部的夹角，所以AD//BE,BE//CG依然成立,

又因E和尸粘在一起，所以得证.因为AB是平面3CGE垂线，所以易证.(2)在图中找到8-CG-A对应的平面角，

再求此平面角即可.于是考虑B关于GC的垂线，发现此垂足与A的连线也垂直于CG.按照此思路即证.

【详解】

(Dffi：•：ADIIBE,BfV/CG,又因为E和尸粘在一起.

AD//CG,A,C,G,D四点共面.

.•.A8_L平面BCGE,•.♦ABu平面ABC,.,.平面ABCL平面BCGE,得证.

(2)过B作B”_LGC延长线于H,连结AH,因为AB1平面BCGE,所以ABJ_GC

而又B”1.GC,故GC，平面HAB，所以AH，GC.又因为1.GC所以ABHA是二面角B-CG-A的平面角,

而在△BHC中NBHC=90，又因为NEBC=60故NBCa=6(X,所以BH=3Csin60=百.

而在.ABH中ZABH=90,tanNBHA=—=-^==—,即二面角B-CG-A的度数为30’.

BHy/33

【点睛】

很新颖的立体几何考题.首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的.再者粘合后的多面体不是

直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法.最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查

考生的空间想象能力.

19.(1)〃=4sin6；(2)2+^

8

【解析】

(1)设M的极坐标为(夕,。)，在AOPM中，有夕=4sin。，即可得结果；

(2)设射线0=a,圆。的极坐标方程为夕=2cos6,联立两个方程，可求出|。山，联立

「sin七］=4..\OA\1.(兀、△

\I3；可得|西，则计算可得舄=：sin2a+丁+4-，利用三角函数的性质可得最值.

八|。回4V3J8

0-a

【详解】

(1)设M的极坐标为(夕,。)，在AOPM中，有夕=4sin8,

二点M的轨迹的极坐标方程为。=4sin8；

(7171\

(2)设射线(M：9=a,cce11>圆C的极坐标方程为『=2cos8,

p=2cos^..

由〈八得：O4=〃=2cosa，

0-a

psin(e+工］=4\OB\=pr-——4____

由「J得」Ssin|Z+小

0-a、3j

OA_2cos«

"OB~4

sinfa+工］

I3j

1.(叫

2I3j

1.(.n.r0

=—cosasinsinacos—4-cosasin-

2I32

Jsinacos”与。s%

44

」sin2a+cos2a+l)

8

1.

—sin2呜

4

271c兀4兀

1.-----------------<2a+—<—

333

当位冷即&=工时,2+6

8

M的最大值为2先+出义

\OB\8

【点睛】

本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.

71„

20.(I)A=-(II)8

3

【解析】

(I)由余弦定理可得/=b2+c2—»ccosA,即可求出A,

(n)根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出.

【详解】

<I)由余弦定理cr=b~+c2-2bccosA,

所以万2+c2-a2=2bccosA>

所以生叵x'bcsinA=2bc、cosA，

32

即tanA=百，

因为0cAe乃，

TC

所以A=；；

3

(II)因为cosB='，所以sinB=勺色，

77

因为sinC=sin(A+3),

=sinAcosB+cosAsinB

G11465百

=---------1----------=------f

272714

bec

由正弦定理得——=-所以。=--sinB=8.

smBsinCsinC

【点睛】

本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题.

21.(1){x|-3<x<3}(2)ae(0,+oo)

【解析】

(1)利用零点分段法将/(x)表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.

(2)对。分成。>0,。=0,。<0三种情况，求得了(x)的最小值，由此求得。的取值范围.

【详解】

3x,x>1