2022届新高考数学精准冲刺复习函数的概念及三要素

2022届新高考数学精准冲刺复习

函数的概念及三要素

【教学目标】

本节内容目标层级是否掌握

★☆☆☆☆☆

函数的概念

★★★★☆☆

函数的三要素

★★★★☆☆

分段函数

一、函数的有关概念

【知识点】

1.函数的概念：设AB都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个

数x,在集合B中都有唯一确定的数/(%)和它对应，那么9/：AfB为从集合A到集合B的一个

函数，记作y=/(x),xeA.

2.函数的定义域、值域：

在函数y=.f(x),xeA中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与》的值相对应的y值

叫做函数值，函数值的集合｛y=f(x)|xeA｝叫做函数的值域.

3.函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.

4.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依

据.

注：两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同.

【例题讲解】★☆☆例题1.若函数y=/（%）的定义域为M={xI—2Wx42},值域为M={y|0WyW2},

则函数y=/（x）的图象可能是（）

【答案】选B

【解析】A中函数定义域不是［-2,2］；C中图象不表示函数；D中函数值域不是［0,2卜

★☆☆练习1.下列所给图象是函数图象的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】选B

【解析】①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的），值，因此不是函数图象；②中当x=x°时，），的

值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的.V值，因此是函数图象.

【例题讲解】★☆☆例题2.下列函数中，与函数y=x+1是相等函数的是（）

2

2「X,

A.y=(x/x+T)B.y=+lC.y=—+1D.y=+1

x

【答案】选B

【解析】对于A,函数"（V7+T）2的定义域为M^{x\x>-\},与函数y=x+1的定义域不同，不是

Y

相等函数；对于B,定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C,函数丫=工+1的定义域为

x

M={x|x。0},与函数y=x+1的定义域xeR不同，不是相等函数；对于D,定义域相同，但对应法则

不同，不是相等函数.

★☆☆练习1.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10-的定义域和值域相同的是()

A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=—

x

【答案】选D

【解析】函数y=10点的定义域、值域均为(0,+s),而y=x,y=2'的定义域均为R排除A,C;y=lgx

的值域为R,排除B;D中y=L的定义域、值域均为(0,-FW).

X

★☆☆练习2.(2019•贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是()

A.y=yjx+lB.y=lnx

【答案】选D

【解析】对于A,定义域为［I,+8)，值域为(0,内),不满足题意；对于B,定义域为(0,+8),值域为R,

不满足题意；对于C,定义域为(-吗0)U(。,+8)，值域为(F),T)U(0,+8),不满足题意；对于D,

Y4.I2

y=-7=1+——，定义域为(F,1)U(1,~)，值域也是(F,1)U(1,M).

x-1x—\

二、函数的定义域

【知识点】

1.函数是一种非空的数集组成的映射，是从自变量X到应变量)，的对应关系；其中X的范围叫做定义域.

2.定义域的常见形式有分式，根式，指数，对数,复合函数以及抽象函数.

3.求函数定义域的策略：

（1）确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发；

（2）如果函数y=/（x）是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域；

（3）如果函数y=/（x）是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.

4.具体函数定义域的常见类型：

1）分式中分母不为零

2）偶次根式非负

3）零次幕底数非零

4）对数函数{x|x>0}

5）正切函数卜xwk乃+

6）当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集

5.抽象函数常见类型

1）已知“X）定义域求/（g（x））定义域

2）已知〃g（x））定义域求/（x）定义域

3）已知/保⑺）定义域求〃/心））定义域

6.函数定义域应用：根据函数定义域求参数范围问题，首先，明确函数类型；其次，通过对定义域的转化

应用来解决其他问题

【例题讲解】★☆☆例题1.函数y=^/n+/。g2（口心—1）的定义域为

【答案】（，]

4

【解析】要使函数y=与"+何2。加1）有意义，则1一天220rtanx-1>0,且xweZ）.

.■.-l<x<m-+k7r<x<-+k7r,keZ，可得工<x41.则函数的定义域为（f,l].

4244

★☆☆练习1.求函数y=yl-x2+36+ln（5//u）的定义域_______

【答案】H6,f）U（（U）

-%2+3620r

【解析】\,，二xe[-6,-乃）xU（0z,»）x,

sinx>0

J——x+2

★☆☆练习2.（2019深圳模拟）函数y=——的定义域为（）

Inx

A.(-2,1)B.[-2,1]C.(0,1)D.(0,1]

【答案】选C

—x~~x+2>0f_2KxW1

【解析】要使函数有意义，则jinxwO，解得jx>o且XH1，二函数的定义域是(0，D-

★☆☆练习3.求函数y=5万+"二'的定义域

【答案】{巾=1}

【解析】•.•x-l>0Kl-x>0.♦.xe{x|x=l}.

★☆☆练习4.(2019•山西名校联考)设函数/(%)=Ig(l-x),则函数/(x)=/"(x)]的定义域为()

A.(-9,+oo)B.(-9,1)C.[-9,+oo)D.[-9,1)

【答案】选B

【解析】易知析[/a)]=/ng(i—%)]=3口-ig(i—“)],

l-x>0

则j1一但(1一%)>o，解得一9cx<1.故/[/(%)]的定义域为(-9,1).

知识点要点总结：【求给定解析式的函数定义域的方法】

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不

等式组求解;对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

【例题讲解】★☆☆例题2.(1)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+l)的定义域为()

A.(-1,1)B.(-1,--)C.(-1,0)D.(―,1)

【答案】选B

【解析】令“=2x+l,由的定义域为(一1,0)，可知一1<〃<0，即-1<21+1<0彳导—1<%<一］.

(2)若函数y=/(x)的定义域是［0,2］,则函数g(x)=染?的定义域为_______

x-1

【答案】。1)

0<2A;<2

【解析】因为y=/(X)的定义域为［0,2］,所以要使g(x)有意义应满足jx_1#0，解得04X<1.

所以g(x)的定义域是［0,1).

★☆☆练习1.已知函数/(x2)的定义域为［0,2］,则函数/(x2-l)的定义域是_______

【解析】0<x<20<%2<4,令"=犬-1,贝!!0<必<4,得—WxK-1或IKXW-J5,

所以„一1)的定义域是［-6,T］UU,石］.

★☆☆练习2.若函数y=/(x)的定义域是［1,2019］,则函数g(x)=/£D的定义域是_______

X-1

【答案】{0WXW2018,且XH1}

l<x+l<2019

【解析】因为函数y=/(x)的定义域是［1,2019］,所以若g(x)有意义，应满足jx_i#o,

所以g(x)的定义域是{04x42018,且x#l}.

2—xx2

★★☆练习3.已知/(x)=lg--，则/(-)+/(-)的定义域是_______

2+x2x

［答案】M,-DU(1,4)

2—xx2

【解析】要是函数有意义，则^—〉0,解得尤£(-2,2),/(；；)+/(一)要确保两个式子都有意义,则

2+x2x

x

-2<-<2

2

2

一2<_<2=>］£(-4,-1)U(1,4)

x・

xwO

知识点要点总结：

1.【求抽象函数定义域的方法】

⑴若已知函数/(X)的定义域为L。，切，则复合函数/[g(%)]的定义域可由不等式aWg(x)〈匕求出.

(2)若已知函数71[g(x)]的定义域为他，的，则/(X)的定义域为g(x)在勿上的值域.

2.除了常规题型，还有一些抽象函数与其他函数综合求定义域问题：

复合函数是由一些基本初等函数复合而成的，再与其他函数进行四则运算则它的定义域为各基本初等函数

的定义域的交集.

【例题讲解】★☆☆例题3.(1)若函数/(x)=’的定义域为R,则实数a的取值范围.

X—Z.CVC-rCI

【答案】(0,1)

【解析】分式型函数分母不为零，当x的范围为R时，f-2ar+aw()恒成立;A=(-2«)2-4a<0gp

0<a<l;所以。的取值范围是(0,1).

(2)函数y=lg(ax2-ax+I)的定义域是R,求。的取值范围.

【答案】[0,4)

【解析】尸伙("2-依+1)的定义域是R，即办2一方+1>。恒成立.

当。=。时，1>0恒成立；

a>0

当a*0时，应有(△=/_44<0,

综上所述，a的取值范围为0W。<4.

★☆☆练习1.若函数〃x)=ln(l-/)的定义域为R,则实数a的取值范围.

【答案】(/,0]

【解析】对数函数真数大于零，当、的范围为R时，1>°恒成立；

即a<2'在R上恒成立，.-.a<0,所以。的取值范围是(-8,0].

Z7V-1

★☆☆练习2.函数/(》)=一^一-的定义域为R，则实数。的取值范围.

ax~+4ax+3

【答案】［0。)

4

【解析】分式型函数分母不为零，当X的范围为R时，以2+4以+3/0恒成立；

当a=°时，显然符合题意；

3

当a>()时，A=(4a)2-12«<0gp0<a<-;

当。<0时，因为△=(4a)2-12a<0，无解；

综上，实数”的取值范围是［0，/.

题型知识点总结：

根据函数定义域求参数范围问题，常结合二次函数在R上恒成立进行求解，主要讨论两个方面:

(1)讨论是否为二次函数；

(2)若为二次函数，讨论开口方向和△.

二、函数的值域

(一)二次函数求值域问题

【知识点】

1.对于二次型函数值域问题：

首先，需要学生能够识别二次型函数；

其次，会用配方法来求函数的值域；

2.部分二次函数含参求最值，需要进行分情况讨论

【例题讲解】★☆☆例题1.(配方法)求函数y=4-V3+2x-x2的值域为.

【答案】［2,4］

【解析】―了+4-(x-Ip+4,0<7-U-l)2+4<2,.-.2<4-7-U-l)2+4<4

故所求函数的值域为［2,4］.

★☆☆练习1.求函数/(力=-^―的值域_______.

x+2x+3

【答案】(0,i］

【解析】因为〃力三人二屋:,所以/3的值域是(0，；.

★☆☆练习2.求函数y=d+2x-3,xe［2,4］的值域.

【答案】［5,21］

【解析】函数是开口向上，以x=-l为对称轴的二次函数，

又•••xw［2,4］,所以函数最小值为42)=5，最大值为"4)=21

所以函数值域为［5,2］

【例题讲解】★★☆例题2.(1)(动轴定区间)求函数y=%2-2以一1在［0,2］上的值域.

【答案】略

【解析】〃力=Y-2依-1=(X-4)2--1，开口向上,对称轴X=a

①，当aW0时,/(x)在［。，2］上单调递增，那么"XL=/(2)=3-4a,/(x)mjn=/(0)=-1,

所以，(x)的值域为［T3-4a］；

②，当0<a<2时,，(x)在［0，〃)上单调递减，在(42］上单调递增，那么/(吐血=/(«)=-a2-1

“力皿在〃。)=-"⑵=3-4a之中取得，而3-4a-(T)=4-4a=4(l-a)

i)当0<aW1时,3—4a>-1,那么“力皿=/⑵=3-4a，于是值域为［-«2-1,3-4a］；

ii)当1<a<2时,3<一1,那么“X)四=/(0)=-1，于是值域为［-〃-1,-1］

③，当a22时,/(x)在［0,2］上单调递减，那么/(x)max=/(0)=-1J(x)1nm=/(2)=3—4a,

所以〃x)的值域为［3-4a,-1］.

综上所述：①aWO时，/(X)G［-1,3-4«］；

②0<aVl时，/(x)e［-«2-l,3-4a］；

③l<a<2时，f(x)e[-a2-1,-1];

④心2时，/(x)e[3-4a,-l].

(2)(定轴动区间)函数“X)=f-2x-3在区间［t,t+1］上的最小值为g⑴，求g(。表达式.

>r-4,/?0

【答案】«(0=!-4,0</<1

p2-It-3,r?1

【解析】函数f(x)=x2-2x-3开口向上，对称轴为*=-万=1，在区间［M+1］上的最小值为g(/),

当"1时，函数在明+1］上单调递增，g(/)=/(z)=z2-2r-3;

当f+1?1即，£0时，函数在［j+l］上单调递减，g(f)=/(r+l)=(r+l)2-2(r+l)-3=?-4；

当0</<1时，函数在山+1］上先减小后增大，g(f)=/(l)=l-2-3=-4；

At2-4,r?0

\g(r)=］-4,0<r<l.

p2-2t-3j?1

★☆☆练习1.函数/(x)=4x2-4办+〃-2a+2在［0,2］上最小值为3,求。.

【答案】a=-&+1或a=5+7(3

[解析】函数"X)=4/-4以+〃-2a+2的对称轴为x、，

如果对称轴X=]W[0,2]，即a«o,4]时,*(*)=/；|=2+2=3a=-；,不合题意;

如果对称轴x、？(？，。)，即“？(？，。)时，篙(x)=/(0)=〃-2a+2=3,好？01,其中

a=-\/2+1符合题意；

2

如果对称轴x4?(2,?),即a?(4,?)时，篇(x)=/(2)=4?44a?2a-2a+2=3,gP

a2-10«+15=0,a=5+710

综上，a=-应+1或Q=5+\/i5.

★★☆练习2.函数/(%)=f+〃vc-1对任意xe［mjn+1］都有/(x)<0成立，求加取值范围.

【答案】（一字0

\/

【解析】要满足“X）=丁+1<0对于任意X€[rn,m+1]都有"X）<0成立，

|f（m\<012〃/-1<0

口壬；J\/nn1

,、而j/（,"+]）<0,++"?（机+1）-1<0，

72

题型知识点总结：

1.利用配方法求二次型函数值域

1）常规的二次函数型题目，可以直通过配方法求函数值域；

2）有定义域限定的二次函数型题目，注意对称轴与定义域的关系

2.对于含参二次函数，首先讨论是否为二次函数，在讨论对称轴与定义域的关系，根据函数图像可求最值

（二）利用换元法求值域

【知识点】

1.对于比较复杂的函数求值域问题：

1）使用代数换元法，可使得一些复杂函数变得简单，从而解决该类函数的值域问题；

2）使用三角换元法，可使得一些复杂函数变得简单，从而解决该类函数的值域问题.

【例题讲解】★★阿列题1.（1）求函数y=x+2x/i心的值域.

【答案】（-oo,2]

【解析】令"二G=则％=1—产，因为>=才+〃+1=-（-1）2+2,又/20.由二次函数的性质

可知ye（7,2],故函数的值域为（-00,2].

（2）求函数的值域.

【答案】[叼]

【解析】解:A：由题可知，y>O,vl-x2>O..O<x2<l,y2=x2（l-^2）=x2-x4,

令t=f则V，故0Wy2w；,又yNO,则>€［°，学.

解法二：由题可知，一11,令工=©0$夕(一1<cos8<1),

二.y=\cos01A/1-cos23=|cos。|>/sin20=|cos。||sin01=|cosOsin61=，sin281又

­.•0<|sin2^|<1..0<y<1.

★☆☆练习1.求函数〃力=34-2、+3,XG［—1,2］的值域.

'13”二

【答案】［了47

【解析】令r=2\x4—l,2］，则飞1,4，得y=3/T+3je1,4.因为函数y=3/一，+3的对称轴

1「1］「131

为t=%，所以函数在］，4上单调递增，故函数/(x)的值域为-,47

★☆☆练习2.求函数y=X+72-x2的值域.

【答案】卜62］

【解析】令x=ylisine,ew-g，］贝［|>>=应$m。+应|8$翁

①当时，y=Aine+&cose=2sin,+£|,所以-?“+5子,所以

-&42sin(0+9卜2.

②当］三时，y=\/IsinO-0cos6=2sin(。-?),所以(40-(4羊，所以一夜42$桁"-(卜2.

所求值域为卜血，2］

★★☆练习3.求函数y=sinx+cos%+sinxcos%的值域.

【答案】T；+夜

【解析】令sinx+cosx=f,sinx+cosx=y/2sin(x+—).'.-72<t<42

4

,2_］,2_।।।

又v(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx/.sinxcosx=------贝！Jy=r+-------=—r+t——(-V2<t<^2)

=/(-I)--1,/(x)nm=/(V2)=1+V2古蜥求值域为T，；+0]

对称轴为，=一1，所以/(X)nR

题型知识点总结：

利用换元法求值域要注意原函数定义域的取值范围以及新元范围的转化，就是我们常说的"换元必换限".

(三)分式型函数求值域问题

【知识点】

1.对于简单的分式型函数值域问题：可利用分离常数法转化为反比例函数或与反比例函数有关的复合函数

求最值问题；

2.对于较为复杂的分式型函数求值域问题，可利用换元法、反求法、均值不等式法、判别式法等进行求解.

【例题讲解】★☆☆例题1.求函数/("=黄的值域

【答案】S，2)U(2,一)

【解析】.“切=*=陪"=2+士.可知/(x)是由反比例函数向左移动1个单位，向上移动两个单

位变化而成。所以/(x)的值域为(~，2)U(2,MO).

★☆☆练习1.求函数y=的值域.

三x+x二-6

【答案】且"

[解析】=]--且当x=2时,1--=

(x-2)(x+3)x+3x+3[I5J\x+35)

★★☆例题2.(换元法、反求法)求函数>=*的值域.

e+2

【答案】加

【解析】法—：由题2级意+12丁/+4-3=2-力3,令r=e'〉O,故0<4*<<4

e+2e+2e+2t+22

-1<--2T<0,；<2-三<2故所求函数的值域为

zf+z乙r+z\乙)

法二：因为/恒大于0，所以"=W>°，解得;<"2，故所求函数的值域为9,2)

2

元/

★☆☆练习1.求函数y=€穴)的值域•

【答案】回1)

【解析】1A：>=舌=1-士(xeR)又因为炉20,故0<；41,

X+1X+1X+1

所以041-三、<1.故所求的函数的值域为［0,1).

法二：因为-20,所以/=言2°，解得()“<1,故所求函数的值域为［0,1).

y-［

★☆☆练习2.求函数y=-s”(xeR)的值域.

sin-x+1

【答案】

【解析】法一："粤三7=1-"7T(xe/?)又因为OAsi/xWl,故^41,

sinJC+1sinx+12sinx+1

所以()54•故所求的函数的值域为.

smx-122」

法二：因为0WSil?XW1,所以0Ws"x=二341,解得04y4：,故所求函数的值域为［0,1

y-［2L2.

★★☆例题3.(均值不等式法、判别式法)求函数y=的值域.

【答案】口李淖

33

【解析】法一：运用均值不等式，当x>0时，尸&=工更(当且仅当x=°,即x=G时等号成

x+3x+33X

X

立);当尤<0时，尸鸟=—―2_4(当且仅当—》=二,即犬=一6时等号成立);当尤=0时，

厂+3_(T+3)3一元

-X

y=0,综邸谜，”子乎.

法二：运用判别式法，令尸―三厕yx2-2x+3y=0,当"0时，判别式A=4-12/

JC+3

所以解得当y=()时，解得、=0即昨卜乎，乎.

x-X+1

★☆☆练习L求函数尸7777T的值域.

【答案】•3

【解析】运用判别式法，令y=三詈，则(y-1)/+(y+i)x+(y-i)=o,当"1时，判别式

△=()，+1)2-4(〉一1)220,所以解得；4丫<3,当3；=1时，解得工=0即,，€已,3.

2X2+1

★☆☆练习2.求函数y=-y-的值域.

【答案】(7,—2&]U[2A,4W)

【解析】法一："。0.•.当x>0时，尸至担=2x+,22、区工=20(当且仅当2X=L即》=正

xx\xx2

时等号成立)；当X<0时，y=^1!=-(-2x+-L)4-2，E=-2&(当且仅当-2x=-U即》=-正

x-xVx-X2

时等号成立)故ye(-w,-2x/2]U[2应,4W)

法二：运用判别式法，令丫=至F，则2x2-yx+1=0,判别式A=y2-8>0,

所以解得ywS-2&U[2夜,M).

题型知识点总结：

函数满足以下条件可以用判别式法求最值：

1.分子分母的最高次为二次函数

2.分子分母无公约数

3.未限定自变量的取值范围

最后需要说明的是，将函数变为整式形式，二次项系数含•,时，需讨论二次项系数是否为零

(四)利用函数单调性求值域

【知识点】

1.对于单调性已知的函数值域问题：

首先，要掌握函数单调性的快速判断方法；

其次，通过函数定义域来求解函数值域.

2.对于有些函数也可转化为距离、斜率等几何意义求最值.

【例题讲解】☆例题1.求函数丁=12-^在xe［-3,3］的值域.

【答案】［-15,39］

【解析】易证/。）=12-/在［-3,3］单调递减

所以〃x）的最大值小）3=/（-3）=39J（x）1nhi=/（3）=-15,

故/阑的值域为［T5,39］.

★★☆练习1.求函数y=x/m+J二万值域.

【答案】［72,

【解析】根据二次根式有意义的条件可得［二：\解得X21

［x-1>0

故函数y=，x+l+Jx-l的定义域为［1，+0°）.

因为y=Jx+1+-Jx-l,任取/>421时，y-％=《%+1+J%-1一业2+1一“2-1>0，

所以函数y=TTM+x/T万为增函数（或利用增函数加增函数为增函数可判断函数y=而T+4^1为

增函数），当x=1时，函数取得最小值/（1）=正，所以值域为［拉,收）.

★☆☆例题2.（观察法）求函数了=|x+1|+卜-2|的值域.

【答案】［3,+8）

【解析】方法一：分类讨论

①当时，y=x+\+x-2=2x-\

②当-4<x<2时，y=x+1+2—x=3

③当1时，y=-x-1+2-x=—2x+1

分段函数图如下：

所以函数值域为［3,+8).

方法二：通过观察，函数表示横坐标轴上的点到(T，o)与(2,0)两点间距离之和，得函数值域为［3,+8).

★★☆练习1.求函数y=A/X2+4X+5+\/x2-4x+5的值域

【答案】［2氏3)

［解析1y=&+4x+5+\/X2-4X+5=J(x+21+(0-1/+7(x-2)2+(0-1)2

函数。的定义域为R,设点阻0)”(-2,1)川(2,1),则y=|PM|+|PN|,点P是、轴上任意一点

求出点M关于V轴的对称点为点0(-21),所以俨+|PN|=|PQ|+\PN\>|QV|=26，

所以函数.'的值域为〔26Ko).

题型知识点总结：

1.函数通过判断单调性可求值域：

1)基础函数单调性：直接判断

2)复合函数单调性：同增异减

3)复杂函数单调性：增加增为增，减加减为减，增减减为增，减减增为减

2.通过观察法求相关函数的值域

1)部分超越函数单调性可直接得到

2)绝对值表示到原点的距离，利用这一原理画图解决双绝对值函数值域问题

3)双根号也可以通过配方转化为双绝对值问题

三、函数的解析式

【知识点】

求函数解析式的4种方法及适用条件:

⑴待定系数法

先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质,或将已知条件代入，建立方程(组),通过解方程(组)

求出相应的待定系数.

(2)换元法

对于形如y=/(g(x))的函数解析式，令r=g(x)，从中求出x=e⑺，然后代入表达式求出了⑺，再将r

换成x,得到/(x)的解析式，要注意新元的取值范围.

(3)配凑法

由已知条件/(g(x))=F(x),可将尸(%)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得/(%)的解

析式.

(4)解方程组法

已知关于/(x)与/山或/(T)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方

X

程组求出了(X).

【例题讲解】★☆☆例题1.已知二次函数/(2x+l)=4f_6X+5,求/(x).

(答案】/(x)=x2—5M-9(xGR)

【解析】法一：待定系数法

因为了⑴是二次函数，所以设(1)=&+云+c(qwO),则

f(2x+l)—6Z(2X4-1)2+/?(2X+1)+C=46LX2+(4^+2/?)X+6?+/?+C.

因为/(2升1)=4/一61+5,

4。=4a=1

所以v4。+28=—6,解彳导vZ?=—5

〃+0+c=5[C=9

所以=x2—5AH~9(XGR).

法二：换元法

号

令2x+l=f«eR),则」=号,所以/«)=42—6•+5=f2-5f+9(teR),

所以f(x)=x2—5JH-9(XeR).

法三：配凑法

因为/(2^1)=4X2-6X+5=(2^+-1)2-10X+4=(2^H)2-5(2X+1)+9,所以/(6=》2—5+(%€/?).

★☆☆练习1.已知/(尤)是二次函数，且"0)=0,/(叶l)=/(x)+Hl,则/(x)=.

1,21

【答案】lx+ix(xe/?)

22

【解析】设(同二⑪之+匕叶”./。),由/(0)=0,知c=0,f(x)=ax2+bx.

又由/(JH-1)=/(X)+X+1,得a(x+l)2+6(x+l尸G^+W+X+I,

即or2+Qa+ZOx+a+Z^a^+s+Dx+l,

、2a+b-b+i1

所以《,，解得。=8=不

a+b=l2

1,1

/(x)^-x+-x(xeR).

★☆☆练习2.已知/［：+l］=lgx,贝(l/(x)=.

2

【答案】1g——(x>l)

x-l

222

【解析】令一+1=，，得x=1，则/⑺=lg］，又x>0,所以，>1,故/(x)的解析式是

尤t-\t-\

2

f(x)=1g--(x>l).

x-l

★★☆例题2.已知函数/(x)满足/(—x)+2/(x)=2,,求,f(x).

ox+l_0-与

【答案】:(一火)

【解析】解方程组法：

由/(—x)+2/(x)=2*①

得/(力+2/(一幻=2-”②

①x2-②，得3/(%)=2'+1一2-、，即/(幻=2'?'

,r+l_Q-X

故f{x}的解析式是/(x)=一=—(xeR).

★★☆练习1.已知函数/(x)的定义域为(0,M),且/(x)=2/d)•五—1,则f(x)=.

X

【答案】—>/x+—

33

【解析】解方程组法

在/5)=2/(，>五一1①中，将x换成上,则！换成工，

XXX

得/(—)=2/(%)•、，-1②，解得/(%)=：4g.

xVx33

四、分段函数

【知识点】

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个

部分组成，但它表示的是一个函数.

【例题讲解】★☆☆例题1.(2019•石家庄模拟)已知f(x)=(0<a<1),且

a+b,x<0

/(-2)=5,/(-1)=3，则/(〃3))=()

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】选B

【解析】由题意得，f(-2)=。-2+修5,①

f(-l)=a~'+b=3,②

联立①②,结合0<。<1,得。=g,b=1,

、…log,>0

所以由/(%)=,(o<«<i)

a+Z?,x<0n

<iY3

得/(-3)=-+1=9,/(/(—3))=/(9)=log39=2,古嬷B.

12/

☆练习1.(2018•江苏卷)函数/(x)满足/(x+4)=/(x)(xeR),且在区间(一2,2］上,

cos——,0<x<2

2，则/"(15)]的值为

/(.X)=<

|x+-|,-2<x<0

2

【答*

【解析】因为/。+4)=/(》)。6/?),所以函数/(工)的最小正周期是4.因为在区间(-2,2］上，

兀X

cos——,0<x<2,

/(%)=2，所以,f(15)=/(—1)=5

|x+-|,-2<x<02

2

因此/[/(15)]=/g)=cos?=孝.

2Xr<1

★☆☆练习2.已知函数/(%)='一，则/(/(3))=

/(%-1),%>1

【答案】2

【解析】由题意，得/(3)=/(2)=/(I)=2,.-./(/(3))=/(2)=2.

★★☆例题2.设，(幻=[«'0<”<1,若.f(a)=,f(a+l),则/(')=()

2(x—l),x>1a

A.2B.4C.6D.8

【答案】选C

【解析】当OVaVl时，a+l>l,f(a)=&,/3+1)=25+1—1)=2。,

,.•/(a)=/(4z+l),.-.Va=2a,解得或a=0(舍去).

4

乂』=/(4)=2义(4-1)=6.

3

当QNI时，。+1之2,f(a)=2(a-l),/(。+1)=2(。+1—1)=2^,

f(«)=/(«+1)»2(a—l)=2a,无解.综上，/=

★★☆练习1.(2018•福建期末)已知函数/0)=[吗：+。，">°,若〃。)=3,则/(。-2)=()

4-l,x<0

A.---B.3C.---或3D.----或3

166416

【答案】选A

【解析】当a>()时，若/(a)=3，则/%。+。=3，解得°=2(满足a>0)；当aMO时，若〃。)=3,

则4"-2—1=3,解得，不满足aWO，所以舍去.于是，可得《=2.故/(。-2)=/(0)=4-2-1=-3

16

题型知识点总结：

【求分段函数的函数值的策略】

⑴求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；

(2)当出现/(/(a))的形式时,应从内到外依次求值；

(3)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验

所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围；

(4)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点.

(l-2a)x+3a,x<l

★☆☆例题3.已知函数f(x)=<的值域为R，则实数。的取值范围是.

2x-',x>l

【答案】o^<l

【解析】当时，f(x)=2x-'>l,

—[(l-2a)x+3a,x<l

:函数f(x)=〈2的值域为R,

2A-I,x>l

1—2a>01

.•.当x<l时，(l-2a)x+3a必须取遍(F,1)内的所有实数，则°.，解得04。<二

l-2a+3a>l2

★★☆练习1.设函数“X)=['二"'，若/(/(=))=4,则。=()

2,x>16

A.1

【答案】选D

［解析】由题可得/(55)=5：一人，若5:一人<1,即3，则3(5=_。)_力=1?5_48=4,解得人7=/<3三,

62222282

53--b51

不符合题意；若7-621,即/空大，则22=4=22，即力=2，解得〃=故选D.

2222

★★★练习2.设函数/(x)=■，：：；；，则满足/(/⑷)=2/⑷的a的取值范围是()

A.『］C.>)D.…)

【答案】选C

【解析】当时，/3)=2">1,所以/(/(a))=2"G,即符合题意；当时，/(a)=3a-l,

222

若/(/(a))=2"。)，则/(a)21,即3a—12L所以所以1.综上，a的取值范围是|］+划.

★★☆例题4.设函数/3=［；?弋。,则满足/(x)+/jx-的x的取值范围是_______.

【答案】(-"7,+°°)

4

【解析】由题意知，可对不等式分xWO,O<xW=,x>!讨论.