椭圆和双曲线练习题及答案解析

4/8第二章圆锥曲线与方程一、选择题1．设P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8 D．10解析：选D根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2eq\r(3)B．6C．4eq\r(3) D．12解析：选C由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2eq\r(3)，|CA|＋|CF|＝2eq\r(3)，便可求得△ABC的周长为4eq\r(3).3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)；命题乙：PA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选B利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)，故反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a＞|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a＜|AB|时，P综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：选D由a2＞a＋6＞0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－6＞0，,a＋6＞0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜－2或a＞3，,a＞－6，))，所以a＞3或－6＜a＜－2.5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2eq\r(3)，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1D.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,45)＝1或eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,48)＝1解析：选B由已知2c＝|F1F2|＝2eq\r(3)，得c＝eq\r(3).由2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4eq\r(3)，得a＝2eq\r(3).∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.6．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0) B．(0，±10)C．(0，±13) D．(0，±eq\r(69))解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦点坐标为(0，±eq\r(69))．7．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1解析：选A由椭圆的性质知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2又∵△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3).又e＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.8．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1与椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的短轴长与椭圆eq\f(y2,21)＋eq\f(x2,9)＝1的短轴长相等，则()A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9解析：选D因为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆eq\f(y2,21)＋eq\f(x2,9)＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.9．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若eq\o(AP,\s\up7(→))＝2eq\o(PB,\s\up7(→))，则椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析：选D∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝2eq\o(PB,\s\up7(→))，∴|eq\o(AP,\s\up7(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up7(→))|.又∵PO∥BF，∴eq\f(|PA|,|AB|)＝eq\f(|AO|,|AF|)＝eq\f(2,3)，即eq\f(a,a＋c)＝eq\f(2,3)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).10．过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)解析：选B法一：将x＝－c代入椭圆方程可解得点P－c，±eq\f(b2,a)，故|PF1|＝eq\f(b2,a)，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝eq\f(2b2,a)，根据椭圆定义得eq\f(3b2,a)＝2a，从而可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).法二：设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|＝eq\f(2\r(3),3)c，|PF2|＝eq\f(4\r(3),3)c.所以|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3)c＝2a，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).11．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1B.eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1C.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1D.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝0或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝0解析：选C由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a＝5，c＝7，∴b2＝72－52＝24.25．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m＝________.解析：当焦点在x轴上时，eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)⇒m＝3；当焦点在y轴上时，eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)⇒m＝eq\f(16,3).综上，m＝3或m＝eq\f(16,3).答案：3或eq\f(16,3)26．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(5),5)，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为__________．解析：∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,5)，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(5y2,4a2)＝1(a＞0)，∵椭圆过点P(－5,4)，∴eq\f(25,a2)＋eq\f(5×16,4a2)＝1.解得a2＝45.∴椭圆的方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.答案：eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝127．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线eq\f(y2,m)－eq\f(x2,9)＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由点F(0,5)可知该双曲线eq\f(y2,m)－eq\f(x2,9)＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：1628．经过点P(－3,2eq\r(7))和Q(－6eq\r(2)，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是______________．设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25)，))故双曲线的标准方程为eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.答案：eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝129．已知双曲线的两个焦点F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，P是双曲线上一点，且eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：解析：由题意可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，所以双曲线方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.答案：eq\f(x2,4)－y2＝130．若双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),2)x，则双曲线的焦点坐标是________．解析：由渐近线方程为y＝±eq\f(\r(m),2)x＝±eq\f(\r(3),2)x，得m＝3，所以c＝eq\r(7)，又焦点在x轴上，则焦点坐标为(±eq\r(7)，0)．答案：(±eq\r(7)，0)31．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a＋c＝eq\f(b2,a)，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：232．双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x.不妨设直线FB的方程为y＝eq\f(4,3)(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝eq\f(17,5)，y＝－eq\f(32,15)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15))).所以S△AFB＝eq\f(1,2)|AF||yB|＝eq\f(1,2)(c－a)|yB|＝eq\f(1,2)×(5－3)×eq\f(32,15)＝eq\f(32,15).答案：eq\f(32,15).三、解答题33．设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．解：由点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))在椭圆上，得eq\f(\r(3)2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2,b2)＝1，又2a＝4，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．34．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)).(1)求此椭圆的方程；(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2解：(1)由已知得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝4＝2a，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)在△PF1F2中，由余弦定理得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))2－2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))cos120°，即4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))))2－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))，∴4＝(2a)2－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝16－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝12，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))sin120°＝eq\f(1,2)×12×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).35．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2)，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．解：设椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由e＝eq\f(\r(2),2)知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，从而eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.36．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2，所以y2＝ax－x2.①又P点在椭圆上，故eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.②把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，∴x＝eq\f(ab2,a2－b2)，又0＜x＜a，∴0＜eq\f(ab2,a2－b2)＜a，即2b2＜a2.由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，所以e＞eq\f(\r(2),2).又∵0＜e＜1，∴eq\f(\r(2),2)＜e＜1.即椭圆离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).37．已知与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1共焦点的双曲线过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.据c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，∴c＝5.设所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，故双曲线方程可写为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,25－a2)＝1.∵点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))在双曲线上，∴eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)))2,a2)－eq\f(－\r(6)2,25－a2)＝1.化简，得4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝eq\f(125,4).又当a2＝eq\f(125,4)时，b2＝25－a2＝25－eq\f(125,4)＝－eq\f(25,4)＜0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24.∴所求双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,24)＝1.38．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝eq\f(1,2)sinC.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为eq\f(x2,