考点21 平行四边形【有答案】

考点21平行四边形平行四边形的性质与判定是初中数学中四边形知识的开端和基础，正是在平行四边形的基础之上才能逐渐延伸特殊平行四边形的知识和规律。中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，但题型较为广泛，选择、填空、解答题都有可能；但是，该考点的学习隐含了比较多的思想方法，需要学生在整体复习该考点的过程中注重反证法、转化、类比归纳等思想方法的提升。多边形平行四边形的性质平行四边形的判定平行四边形的存在性考向一：多边形多边形与正多边形正多边形定义各边都相等，各角都相等的多边形为正多边形多边形与正多边形的性质n边形的内角和为任意多边形的外角和为360°任意多边形的内角中，最多有3个锐角n边形共有条对角线正多边形都是轴对称图形，变数为偶数的正多边形还是中心对称图形1．若一个n边形从一个顶点最多能引出6条对角线，则n是（）A．5 B．8 C．9 D．10【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，列方程求解．【解答】解：∵多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，∴n﹣3＝6，解得n＝9．故选：C．2．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（）A．54 B．44 C．35 D．27【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为（n≥3，且n为整数）可得答案．【解答】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……一个十边形共有＝35条对角线．故选：C．3．一个多边形的内角和为1080°，它为（）边形．A．10 B．6 C．8 D．12【分析】根据多边形的内角和公式，可得方程，解方程，可得答案．【解答】解：设多边形是n边形，由内角和公式，得（n﹣2）×180°＝1080°．解得n＝8，故选：C．4．如果一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，那么这个多边形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【分析】根据多边形的内角和的计算公式与外角和是360°列出方程，解方程即可．【解答】解：设这个多边形边数是n，根据题意得：（n﹣2）×180°＝2×360°，解得：n＝6，即这个多边形是六边形，故D正确．故选：D．考向二：平行四边形的性质平行四边形的性质定理∶平行四边形的对边平行且相等.平行四边形的对角相等，邻角互补.平行四边形的对角线互相平分.利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.平行四边形的问题经常转化为三角形全等的判定与性质类问题应用。1．关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（）A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形的对角相等 C．平行四边形的对角线互相平分 D．平行四边形的对边平行且相等【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可．【解答】解：∵平行四边形的性质是：对边相等且平行；对角相等，邻角互补；对角线互相平分．∴B、C、D正确，A错误，故选：A．2．如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（）A．130° B．115° C．65° D．50°【分析】利用平行四边形的邻角互补和已知∠A﹣∠B＝50°，就可建立方程求出未知角．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，又有∠A﹣∠B＝50°，把这两个式子相加即可求出∠A＝115°，故选：B．3．在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（）A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝5，EC＝4，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9；二是EB＝4，EC＝5时，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．4．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB＝6，AD＝8，则EF的长度为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先证明AB＝AE＝6，DC＝DF，再根据EF＝AF+DE﹣AD即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD，AD∥BC，∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，∴AB＝AF＝6，DC＝DE＝6，∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣AD＝4．故选：A．5．如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】首先根据平行四边形的性质和面积公式，平行四边形和△ADE的高相等，即可得出平行四边形的面积．【解答】解：设E点到AD的距离为h，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，A点到BE的距离为h．∵△ADE的面积为2，∴AD×h＝2，即AD×h＝4．∴▱ABCD面积＝AD×h＝4．故选：B．6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①S▱ABCD＝AB•AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE＝．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC＝30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【解答】解：∵点E为BC的中点，∴BC＝2BE＝2CE，又∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AB⊥AC，故①正确；在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≅△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，∴AE＝CE，∴平行四边形AECF是菱形；∴AC⊥EF，故③正确，在Rt△COE中，∠ACE＝30°，∴，故②正确；在平行四边形ABCD中，OA＝OC，又∵点E为BC的中点，∴，故④正确；综上所述：正确的结论有4个，故选：A．考向三：平行四边形的判定平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形。两组对角分别相等的四边形是平行四边形。将平行四边形问题化为三角形问题来解决，这是问题化为三角形问题来解决，这是解决平行四边形问题的常用方法。3.在解决平行四边形的判定问题时，要结合题判定问题时，要结合题目条件选择恰当的方法进行证明。证明过程中的推理步骤要严谨，几何证明过程中的推理步骤要严谨，几何语言书写要规范。1．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（）A．两个等腰三角形 B．两个全等三角形 C．两个锐角三角形 D．两个直角三角形【分析】因在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．据此解答．【解答】解：∵平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，∴只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．故选：B．2．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，﹣1），B（4，2），C（0，3），下列坐标不能与A、B、C构成平行四边形的是（）A．（﹣3，0） B．（5，﹣2） C．（3，6） D．（﹣3，﹣2）【分析】根据平行四边形的判定分别求出第四个顶点的坐标即可．【解答】解：若A、B、C、D四点可以构成平行四边形，分以下三种情况分别求出D点的坐标：①如图1，当AC∥DB，AD∥CB时，D点的坐标为（5，﹣2）；②如图2，当AB∥CD，AC∥BD时，D点的坐标为（3，6）；③如图3，当AB∥DC，AD∥BC时，D点的坐标为（﹣3，0）．故选：D．3．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝DC，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD∥BC【分析】利用平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意；B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；故选：A．4．在8×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，其中点A，B，C均在格点上，若点A的坐标为（0，0），请在给定的网格中找出格点E，使以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为（﹣1，﹣1）或（1，1）或（5，﹣1）．【分析】建立平面直角坐标系，画出以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，即可求解．【解答】解：如图，以点A为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立平面直角坐标系，∴点E（﹣1，﹣1）或（1，1）或（5，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）或（1，1）或（5，﹣1）．5．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．求证：四边形DBEC是平行四边形．【分析】先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，∵点F是BC的中点，∴BF＝CF，在△DCF和△EBF中，，∴△EBF≌△DCF（AAS），∴DC＝BE，∴四边形BECD是平行四边形．6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）AP＝t，BQ＝15﹣3t，（分别用含有t的式子表示）；（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．【分析】（1）由路程＝速度×时间，可求解；（2）由面积关系可求解；（3）分四种情况讨论，由平行四边形的性质列出方程可求解．【解答】解：（1）∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，∴AP＝tcm，CQ＝3tcm，∴BQ＝（15﹣3t）cm，故答案为：t，15﹣3t；（2）设点A到BC的距离为h，∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍，∴×（12﹣t+3t）×h＝2××（t+15﹣3t）×h，∴t＝3；（3）若四边形APQB是平行四边形，∴AP＝BQ，∴t＝15﹣3t，∴t＝；若四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，∴12﹣t＝3t，∴t＝3，若四边形APCQ是平行四边形，∴AP＝CQ，∴t＝3t，∴t＝0（不合题意舍去），若四边形PDQB是平行四边形，∴PD＝BQ，∴12﹣t＝15﹣3t，∴t＝，综上所述：当t＝或3或时，点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．考向四：平行四边形的存在性问题1.知识储备：①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式：2.方法策略：（1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。如，当A、B已知，点C在直线y=x上，点D在抛物线上，则设C（a,a）；分类还分别分如，当A、B已知，点C在直线y=x上，点D在抛物线上，则设C（a,a）；分类还分别分①以AB为对角线，②以AC为对角线，③以BC为对角线；依其性质分别表示出D点坐标；将点D坐标再分别带入抛物线解析式，即可求出a的值，C、D坐标就都能求出来了。1．已知O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）．【分析】分三种情况，根据题意画出图形，由平行四边形的判定与性质以及平移的性质来确定点M的坐标即可．【解答】解：分三种情况：①当四边形OABM为平行四边形时，如图1所示：则BM∥AO，BM＝AO，∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），∴把点O向左平移3﹣（﹣1）＝4（个）单位，再向上平移1个单位得M的坐标，∴M（﹣4，1）；②当四边形OAMB为平行四边形时，如图2所示：则BM∥AO，BM＝AO，∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），∴把点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得M的坐标，∴M（2，3）；③当四边形OBAMM为平行四边形时，如图3所示：则AB∥MO，AB＝MO，∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），∴把点A向右平移1个单位，再向下平移2个单位得M的坐标，∴M（4，﹣1）；综上所述，点M的坐标为（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）；故答案为：（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18cm，BC＝15cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为5或6秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形．【分析】由题意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设点P运动了t秒，∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm，①当BQ＝AP时，且AD∥BC，则四边形APQB是平行四边形，即15﹣t＝2t，∴t＝5；②当CQ＝PD时，且AD∥BC，则四边形CQPD是平行四边形，即t＝18﹣2t，∴t＝6，综上所述：当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，点P运动了5秒或6秒，故答案为：5或6．3．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，根据平行四边形的判定，当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若0＜t＜时，3﹣2t＝t；若＜t＜4时，2t﹣3＝t；若4＜t＜时，2t﹣3＝4﹣3（t﹣4）；若t＞时，2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，然后分别解方程可确定满足条件的t的值．【解答】解：∵A（4，0），B（﹣3，2），C（0，2），∴OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，∵PC∥AQ，∴当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，若0＜t＜时，BP＝2t，PC＝3﹣2t，AQ＝t，此时3﹣2t＝t，解得t＝1；若＜t＜4时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，AQ＝t，此时2t﹣3＝t，解得t＝3；若4＜t＜时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝4﹣3（t﹣4），此时2t﹣3＝4﹣3（t﹣4），解得t＝（舍去）；若t＞时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝3（t﹣4）﹣4，此时2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，解得t＝13；综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．故答案为1或3或13．4．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M，N同时出发，t秒时，N走过tcm，M走过2tcm；（2）若动点M，N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？（3）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M，N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A，E，M，N组成平行四边形？【分析】（1）根据路程＝时间×速度的等量关系，可直接写出N和M的路程（2）根据相遇问题的等量关系列出方程求解即可，M的路程+N的路程＝矩形的周长；（3）分点M在点E的左边和右边两种情况，根据平行四边形对边相等，利用AN＝ME列出方程求解即可．【解答】解：（1）路程＝时间×速度，时间为t，N的速度为1cm/s，所以其路程为t，M的速度2cm/s，所以其路程为2t；故答案为：t，2t；（2）设t秒时两点相遇，根据题意得t+2t＝2×（4+8）＝24，解得t＝8，即经过8秒钟两点第一次相遇；（3）①如图1，点M在BC上且在E点右侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，得8﹣t＝9﹣2t，解得t＝1，此时点M在DC，所以舍去；②如图2，点M在BC上且在E点左侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，得8﹣t＝2t﹣9，解得，符合题意，所以经过秒钟，点A，E，M，N组成平行四边形．1．（2022•湘西州）一个正六边形的内角和的度数为（）A．1080° B．720° C．540° D．360°【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．【解答】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，故选：B．2．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．无法比较α与β的大小【分析】利用多边形的外角和都等于360°，即可得出结论．【解答】解：∵任意多边形的外角和为360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．故选：A．3．（2022•西宁）若正n边形的一个外角是36°，则n＝10．【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．【解答】解：n＝360°÷36°＝10．故答案为：10．4．（2022•通辽）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（）A．4 B．6 C．7 D．5【分析】方法一：根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解；方法二：设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程求解即可．【解答】解：方法一：∵正多边形的每个内角等于108°，∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，∴边数＝360°÷72°＝5，方法二：设多边形的边数为n，由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，解得n＝5，所以，这个多边形的边数为5．故选：D．5．（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是4答案不唯一．（填一种即可）【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，∴正四边形可以，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，∴正六边形可以，正十二边形的每个内角是150°，∵1×60°+2×150°＝360°，∴正十二边形可以，故答案为：4答案不唯一．6．（2022•广东）如图，在▱ABCD中，一定正确的是（）A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC【分析】根据平行四边形的性质即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，故选：C．7．（2022•大庆）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（）A．108° B．109° C．110° D．111°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，再由三角形的外角性质得∠ABD＝∠CDB＝28°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，由折叠的性质得：∠EBD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，∵∠1＝∠CDB+∠EBD＝56°，∴∠ABD＝∠CDB＝28°，∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ABD＝180°﹣42°﹣28°＝110°，故选：C．8．（2022•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（）A． B． C． D．【分析】由等腰三角形的性质可求∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，由直角三角形的性质和勾股定理可求CD，DE的长，即可求解．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，设∠ADB＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB＝，∴x+＝105°，∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH＝BH，∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴∠AEB＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH，∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，∴＝，故选：D．9．（2022•达州）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC，DE＝AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，A、当∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；B、∵DE＝EF，∴DE＝DF，∴AC＝DF，∵AC∥DF，∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；C、根据AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；D、∵AD＝CF，AD＝BD，∴BD＝CF，由BD＝CF，∠BED＝∠CEF，BE＝CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B．10．（2022•毕节市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，证明△CAB∽△CP′O，利用相似三角形的性质得出，求出OP'，即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO＝2，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴则PQ的最小值为2OP′＝，故答案为：．11．（2022•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．【解答】解：在▱ABCD中，AB＝8，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∵AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5，∵CF∥DE，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF＝8，∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．故选：C．12．（2022•邵阳）如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，顶点B在▱ODEF的边DE上，已知∠1＝40°，则∠2＝110°．【分析】根据等腰三角形的性质和平行四边形的性质解答即可．【解答】解：∵等腰△ABC中，∠A＝120°，∴∠ABC＝30°，∵∠1＝40°，∴∠ABE＝∠1+∠ABC＝70°，∵四边形ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴∠2＝180°﹣∠ABE＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110°．13．（2022•常德）如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若▱BDFE的面积为2，BD＝BA，BE＝BC，则△ABC的面积是12．【分析】连接DE，CD，由平行四边形的性质可求S△BDE＝1，结合BE＝BC可求解S△BDC＝4，再利用BD＝BA可求解△ABC的面积．【解答】解：连接DE，CD，∵四边形BEFD为平行四边形，▱BDFE的面积为2，∴S△BDE＝S▱BDFE＝1，∵BE＝BC，∴S△BDC＝4S△BDE＝4，∵BD＝BA，∴S△ABC＝3S△BDC＝12，故答案为：12．14．（2022•广西）如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，再由BD＝BD，即可证明△ABD≌△CDB；（2）利用线段垂直平分线的作法进行作图即可；（3）由垂直平分线的性质得出EB＝ED，进而得出∠DBE＝∠BDE＝25°，再由三角形外角的性质即可求出∠AEB的度数．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CDB（SSS）；（2）如图所示，（3）解：如图3，∵EF垂直平分BD，∠DBE＝25°，∴EB＝ED，∴∠DBE＝∠BDE＝25°，∵∠AEB是△BED的外角，∴∠AEB＝∠DBE+∠BDE＝25°+25°＝50°．15．（2022•内蒙古）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．【分析】（1）证△ABO≌△DEO（AAS），得OB＝OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，再证AB＝BD，然后由菱形的判定即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABO＝∠DEO，∵点O是边AD的中点，∴AO＝DO，在△ABO和△DEO中，，∴△ABO≌△DEO（AAS），∴OB＝OE，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：四边形ABDE是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵BD＝CD，∴AB＝BD，∵四边形ABDE是平行四边形，∴平行四边形ABDE是菱形．16．（2022•扬州）如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G．（1）求证：BE∥DG，BE＝DG；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若▱ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠DGE＝∠BEG，进而可证明BE∥DG；利用ASA证明△ADG≌△CBE可得BE＝DG；（2）过E点作EH⊥BC于H，由角平分线的性质可求解EH＝EF＝6，根据平行四边形的性质可求解AB+BC＝28，再利用三角形的面积公式计算可求解．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，∴∠ADG＝∠CBE，∵∠DGE＝∠DAC+∠ADG，∠BEG＝∠BCA+∠CBE，∴∠DGE＝∠BEG，∴BE∥DG；在△ADG和△CBE中，，∴△ADG≌△CBE（ASA），∴BE＝DG；（2）解：过E点作EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，∴EH＝EF＝6，∵▱ABCD的周长为56，∴AB+BC＝28，∴S△ABC＝＝＝＝84．17．（2022•温州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．【分析】（1）由三角形中位线定理得EF∥BC，则∠EFO＝∠GDO，再证△OEF≌△OGD（ASA），得EF＝GD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线性质得DE＝AC＝CE，则∠C＝∠EDC，再由锐角三角函数定义得CD＝2，然后由勾股定理得AC＝，则DE＝AC＝，进而由平行四边形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠EFO＝∠GDO，∵O是DF的中点，∴OF＝OD，在△OEF和△OGD中，，∴△OEF≌△OGD（ASA），∴EF＝GD，∴四边形DEFG是平行四边形．（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝AC＝CE，∴∠C＝∠EDC，∴tanC＝＝tan∠EDC＝，即＝，∴CD＝2，∴AC＝＝＝，∴DE＝AC＝，由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形，∴FG＝DE＝．1．（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝900°，解得：n＝7．故选：A．2．（2022•烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（）A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．【解答】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，∴设这个外角是x°，则内角是3x°，根据题意得：x+3x＝180，解得：x＝45，360°÷45°＝8（边），故选：C．3．（2022•福建）四边形的外角和度数是360°．【分析】根据多边形的外角和都是360°即可得出答案．【解答】解：四边形的外角和度数是360°，故答案为：360°．4．（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝48度．【分析】根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，故答案为：48．5．（2022•遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为4．【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长．【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∵∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六边形ABCDEF的边长为4，故答案为：4．6．（2022•湘潭）在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°【分析】根据平行线的性质可求得∠ACD，即可求出∠BCD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝40°，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝40°，∵∠ACB＝80°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，故选：C．7．（2022•内江）如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由平行四边形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再证∠CBM＝∠CMB，则MC＝BC＝8，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，故选：B．8．（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（）A．100° B．80° C．70° D．60°【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠AEG＝∠EGC，∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∴∠GEF＝30°，∴∠GEA＝80°，∴∠EGC＝80°．故选：B．9．（2022•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为（）A．4 B．3 C． D．2【分析】根据平行四边形的性质可得S△ABC＝S平行四边形ABCD，结合三角形及平行四边形的面积公式计算可求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，S△ABC＝S平行四边形ABCD，∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴，∵AB＝6，AC＝8，DE＝4，∴8BF＝6×4，解得BF＝3，故选：B．10．（2022•广州）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为21．【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝22，∴OC+BO＝11，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝11+10＝21．故答案为：21．11．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为（﹣2，﹣1）．【分析】直接根据平移的性质可解答．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且A（﹣1，2），D（3，2），∴点A是点D向左平移4个单位所得，∵C（2，﹣1），∴B（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．12．（2022•河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）A．B． C．D．【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可．【解答】解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；故选：D．13．（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（）A．8 B．16 C．24 D．32【分析】由EF∥AC，GF∥AB，得四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再由AB＝AC＝8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长．【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，∴EB＝EF，FG＝GC，∵四边形AEFG的周长＝AE+EF+FG+AG，∴四边形AEFG的周长＝AE+EB+GC+AG＝AB+AC，∵AB＝AC＝8，∴四边形AEFG的周长＝AB+AC＝8+8＝16，故选：B．14．（2022•安徽）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝3．【分析】设出C点的坐标，根据C点的坐标得出B点的坐标，然后计算出k值即可．【解答】解：由题知，反比例函数y＝的图象经过点C，设C点坐标为（a，），作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，∴OH＝CG＝BG＝a，即B（3a，），∵y＝（k≠0）的图象经过点B，∴k＝3a•＝3，故答案为：3．15．（2022•临沂）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四边形AMDN是平行四边形的是①②④（填上所有符合要求的条件的序号）．【分析】①连接AD，交BE于点O，证出OM＝ON，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论；②证明△AON≌△DOM（ASA），由全等三角形的性质得出AN＝DM，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明△ABM与△DEN全等，则可得出结论；④证明△ABM≌△DEN（AAS），得出AM＝DN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论．【解答】解：①连接AD，交BE于点O，∵正六边形ABCDEF中，∠BAO＝∠ABO＝∠OED＝∠ODE＝60°，∴△AOB和△DOE是等边三角形，∴OA＝OD，OB＝OE，又∵BM＝EN，∴OM＝ON，∴四边形AMDN是平行四边形，故①符合题意；②∵∠FAN＝∠CDM，∠CDA＝∠DAF，∴∠OAN＝∠ODM，∴AN∥DM，又∵∠AON＝∠DOM，OA＝OD，∴△AON≌△DOM（ASA），∴AN＝DM，∴四边形AMDN是平行四边形，故②符合题意；③∵AM＝DN，AB＝DE，∠ABM＝∠DEN，∴△ABM与△DEN不一定全等，不能得出四边形AMDN是平行四边形，故③不符合题意；④∵∠AMB＝∠DNE，∠ABM＝∠DEN，AB＝DE，∴△ABM≌△DEN（AAS），∴AM＝DN，∵∠AMB+∠AMN＝180°，∠DNM+∠DNE＝180°，∴∠AMN＝∠DNM，∴AM∥DN，∴四边形AMDN是平行四边形，故④符合题意．故答案为：①②④．16．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（）A．4＜m＜3+ B．3﹣＜m＜4 C．2﹣＜m＜3 D．4＜m＜4+【分析】先求得点A，C，B三个点坐标，然后求得AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，根据不等式的性质求得结果．【解答】解：可得C（，），A（4，0），B（4+，），∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4，∴x＝y+4，直线AC的解析式为：y＝﹣，∴x＝4+y﹣2y，∴点F的横坐标为：y+4，点E的横坐标为：4+y﹣2y，∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2，∵EP＝3PF，∴PF＝EF＝y，∴点P的横坐标为：y+4﹣y，∵0＜y＜，∴4＜y+4﹣y＜3+，故答案为：A．17．（2022•烟台）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°，∵DF平分∠ADC，∴∠CDF＝ADC＝70°，∴∠AFD＝∠CDF＝70°，∵DF∥BE，∴∠ABE＝∠AFD＝70°．18．（2022•桂林）如图，在▱ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．（1）求证：BE＝DF；（2）求证：△ABE≌△CDF．【分析】（1）根据BF﹣EF＝DE﹣EF证得结论；（2）利用全等三角形的判定定理SAS证得结论．【解答】证明：（1）∵BF＝DE，BF﹣EF＝DE﹣EF，∴BE＝DF；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，且AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（SAS）．19．（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE与△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB＝CD．∴四边形ABCD是平行四边形．20．（2022•长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．（1）求证：AC⊥BD；（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．【分析】（1）由菱形的判定得▱ABCD是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；（2）由三角形中位线定理得OD＝2EF＝3，再由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，然后由勾股定理得AD＝，即可求出菱形ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD；（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OD＝2EF＝3，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4．21．（2022•大庆）如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．【分析】（1）根据等式的性质可得BC＝EF，从而利用SSS证明△ABC≌△DFE，然后利用全等三角形的性质可得∠ABC＝∠DFE，从而可得AB∥DF，即可解答；（2）连接AD交BF于点O，利用平行四边形的性质可得OB＝OF，从而可得OE＝OC，再利用等腰三角形的性质可得AO⊥EC，然后证明四边形ABDF是菱形，即可解答．【解答】证明：（1）∵EB＝CF，∴EB+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，∵AB＝DF，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形；（2）连接AD交BF于点O，∵四边形ABDF是平行四边形，∴OB＝OF，∵BE＝CF，∴OB﹣BE＝OF﹣CF，∴OE＝OC，∵AE＝AC，∴AO⊥EC，∴四边形ABDF是菱形，∴AB＝BD．22．（2022•毕节市）如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．【分析】（1）根据已知可得AD∥BC，然后再利用ASA证明△AOD≌△COB，从而利用全等三角形的性质可得AD＝BC，最后利用平行四边形的判定方法即可解答；（2）连接DF，利用平行四边形的性质可得AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，从而可得AB＝DO＝DC，再利用等腰三角形的性质可得DF⊥OC，从而在Rt△AFD中，利用勾股定理求出DF的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出FG的长，再根据三角形的中位线定理可得EF＝BC＝7.5，EF∥BC，从而可得四边形GEFD是平行四边形，进而可得EG＝DF＝9，最后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵∠BCA＝∠CAD，∴AD∥BC，在△AOD与△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：连接DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，∵BD＝2AB，∴AB＝OD，∴DO＝DC，∵点F是OC的中点，∴OF＝OC＝4，DF⊥OC，∴AF＝OA+OF＝12，在Rt△AFD中，DF＝＝＝9，∴点G是AD的中点，∠AFD＝90°，∴DG＝FG＝AD＝7.5，∵点E，点F分别是OB，OC的中点，∴EF是△OBC的中位线，∴EF＝BC＝7.5，EF∥BC，∴EF＝DG，EF∥AD，∴四边形GEFD是平行四边形，∴GE＝DF＝9，∴△EFG的周长＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，∴△EFG的周长为24．1．（2022•河南模拟）如图，▱OABC的顶点O（0，0），C（13，0），OA＝3，点B在第一象限，将▱OABC绕点O顺时针旋转得到▱OA'B'C'，当点A的对应点A'落在x轴正半轴上时，点B的对应点B'恰好落在BC的延长线上，则点B'的坐标是（）A．（5，﹣12） B．（8，﹣12） C．（8，﹣13） D．（12，﹣8）【分析】由旋转的性质得出∠AOC＝∠C'OA'，由平行四边形的性质得出∠AOC＝∠B，AB∥OC，A'B'∥OC'，证出B'A'＝B'C＝13，过点B'作B'E⊥A'C于点E，由等腰三角形的性质求出A'E＝A'C＝5，由勾股定理求出B'E＝12，则可求出答案．【解答】解：∵C（13，0），∴OC＝13，∵将▱OABC绕点O顺时针旋转得到▱OA'B'C'，∴∠AOC＝∠C'OA'，又∵四边形OABC和四边形OA'B'C'是平行四边形，∴∠AOC＝∠B，AB∥OC，A'B'∥OC'，∴∠B＝∠OCB'，∠C'OA'＝∠B'A'C，∴∠B'A'C＝∠OCB'，∴B'A'＝B'C＝13，过点B'作B'E⊥A'C于点E，∵A'C＝OC﹣OA'＝13﹣3＝10，∴A'E＝A'C＝5，∴OE＝8，B'E＝＝＝12，∴B'（8，﹣12）．故选：B．2．（2022•东营二模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，又∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，∴DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；C、∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥CB，∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．3．（2022•营口模拟）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线ON′交BC于点E，若AB＝8，则线段OE的长为（）A．4 B．5 C．3 D．3.5【分析】判定△COE∽△CAB，即可得到＝，再根据平行四边形的性质，即可得出线段OE的长．【解答】解：由题可得，∠COE＝∠CAB，∠OCE＝∠ACB，∴△COE∽△CAB，∴＝，又∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴＝，∴，即OE＝4，故选：A．4．（2022•威县校级模拟）如图，已知▱ABCD，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形DEBF为平行四边形．以下是排乱的证明过程：①∴四边形DEBF为平行四边形；②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC；③连接BD，交AC于点O；④∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，证明步骤正确的顺序是（）A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质可求得AO＝CO，再由条件则可求得OE＝OF，则可判定四边形DEBF为平行四边形．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∵BO＝DO，∴四边形DEBF为平行四边形．故选：C．5．（2022•永丰县模拟）如图，▱ABCD中，E，F分别在AD，BC上，DE＝BF＝3，EF⊥AD，若EF＝8，AE＝9，AB的长为（）A．6 B． C．9 D．10【分析】过点B作BH⊥AD于H，证明四边形BHEF为矩形，由矩形的性质得出HE＝BF＝3，EF＝BH＝8，由勾股定理可得出答案．【解答】解：过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵EF⊥AD，BH⊥AD，∴BH∥EF．∴四边形BHEF是平行四边形．∵∠BHE＝90°，∴四边形BHEF为矩形．∴HE＝BF＝3，EF＝BH＝8．∵AE＝9，∴AH＝AE﹣HE＝9﹣3＝6．∴AB＝＝＝10．故选：D．6．（2022•兰陵县一模）如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（）A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；方案乙，证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙，证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；方案乙中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；方案丙中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，故方案丙正确；故选：D．7．（2023•定远县校级一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四边形ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由BC＝AD＝2AB，可判断①，证明∠BAC＝90°，可判断②；由平行四边形的面积公式可判断③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④，由三角形中位线定理可求AB＝2OE，即可判断⑤，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵BC＝AD＝2AB，∴EC＝AE＝BE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，∴S△BEO：S△BCD＝1：4，∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．∵AO＝OC，BE＝EC，∴AB＝2OE，∵AD＝2AB，∴OE＝AD，故⑤正确，故选：D．8．（2023•槐荫区模拟）已知一个多边形的内角和比外角和多180°，则它的边数为5．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°＝360°+180°，解得n＝5．故答案为：5．9．（2022•碑林区校级模拟）一个正多边形的每个外角为45°，则这个正多边形的对角线共有20条．【分析】利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是45°，求出这个多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，即可算出有多少条对角线．【解答】解：∵正多边形的每个外角都等于45°，∴360÷45＝8，∴这个正多边形是正八边形，∴＝20（条），∴这个正多边形的对角线共有20条．故答案为：20．10．（2022•鹿城区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，BE＝2OB，DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C，且S△CDF＝4，则k的值为12．【分析】连接OC，BD，根据折叠的性质得到OA＝OE，得到OE＝3OB，求得OA＝3OB，设OB＝x，则OA＝3x，根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质，得到S△BDF＝2，S△CDB＝6，根据△COD的面积即可得到结论．【解答】解：如图，连接OC，BD，∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，∴OA＝OE，∵BE＝2OB，∴OE＝3OB，∴OA＝3OB，设OB＝x，则OA＝3x，AB＝4x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4x，∵CD∥AB，∴△CDF∽△BEF，∴＝＝＝，∵S△CDF＝4，∴S△BDF＝2，∴S△BCD＝4+2＝6，∵CD∥AE，∴S△CDO＝S△BDC＝6，即|k|＝6，而k＞0，∴k＝12．故答案为：12．11．（2022秋•绥中县校级期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°；然后根据角平分线的性质推知∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°，即∠AGD＝90°．证得∠BAF＝∠AFB，由等腰三角形的判定可得出AB＝BF，同理可得CD＝CE，则可得出结论；（2）过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，证明四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，得出AF＝CK＝8，由勾股定理求出DI，则可得出答案．【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC＝180°．∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．∴∠AGD＝90°．∴AE⊥DF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，