复变函数第2讲

§1.3复数的乘幂与方根运算1、乘积与商因此注意多值性1xyO判断下列说法是否正确？几何解释(T)(F)2除法运算或者集合等式3例：已知正三角形的两个顶点为求三角形的另一个顶点。xyO42、幂与根(2.1)定义z的n次幂：则有—---棣莫弗公式.(2.2)定义z的n次根：若有wn=z,则称w为z的n次根，记为定义5如何求z的n次根呢？6当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：7xyo注8例2.例1.910§1.4区域，单连通，多连通1、几个基本概念以下设D为一平面点集.11D-区域内点外点(7)边界D的所有边界点组成D的边界.P(5)开集若D内的每一点都是内点，则称D是开集.(6)闭集开集的余集空集和整个复平面既是开集，又是闭集。D中任意两点可用一条全在D中的曲线连

接起来。(8)连通12(9)区域非空的连通开集.(10)有界区域如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有则称D为有界区域,否则称为无界区域。例如13点集称为z平面上的一条有向曲线。2、

简单曲线（或Jordan曲线)若x(t),y(t)是定义在区间上的实值连续函数，则称此曲线为连续曲线。14

有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.简单曲线：简单闭曲线：光滑曲线：自身闭合的简单曲线。简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线153.单连通域与多连通域

简单闭曲线的性质(Jordan定理)

任一条简单闭曲线

C：z=z(t)，t∈[a，b]，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部外部边界定义

复平面上的一个区域D

，如果D内的任何简单闭曲线的内部总在D内，就称

D为单连通域；非单连通域称为多连通域.16

例|z|<1是单连通区域；而|z|>1是多连通区域。1.多连通区域的一个显著特点：内部含有洞或裂缝.2.任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分，内部单连通，外部多连通.3.属于单连通区域D内的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点.单连通区域多连通区域注17§1.5复变函数的极限与连续性1、

复变函数的定义单值函数

f(z):对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。多值函数

f(z):对于D中的每个z，有两个或两个以上w与之对应。18定义集合函数值集合我们考虑单值函数例如：192、

映射：

ABab。。f(z)是双射f(z)既是单射，又是满射。f(z)是满射f(z)是单射对于任意20Goxy(z)Douv(w)w=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：定义域函数值集合zw=f(z)w213、两个特殊的映射:22且是全同图形.2324考察的映射性质.记原象点，则象点

因此，象点与原象点相比，模是原来的平方，辐角是原来的二倍.所以在该映射下,又令则25图示oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=42627W将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.28例1.函数把z平面上的曲线映成w平面解：原曲线的方程为：记则消去参数，得于是象曲线方程为：思考:曲线在映射的像是何图形?这就是象曲线的实参数方程.这是一个圆周什么曲线?29

3、

复变函数的反函数定义设w=f(z)的定义集合为D,函数值集合为G,G中的每一个点w必将对应着D中的点.按照函数的定义，在G上就确定了一个单值（或多值）函数，它称为w=f

(z)

的反函数，也称为映射w=f(z)逆映射.当它们都是单射时,称为一一对应.304、

函数的极限定义uv(w)oAxy(z)o几何意义:

当变点z一旦进入z0

的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中.31由于这种苛刻的要求给复变函数论带来了许多美妙的结果，而这些结果是数学分析所不具备的。32不仅如此，这一苛刻要求也给我们带来了某些现在就可以感觉到的好处。1.如果极限确实存在，则可以选择一个方向来确定

极限的值。

2.如果方向不同，变化趋势也不一样，则极限一定

不存在。例如：当时33相关性质定理的重要意义在于将复变函数的极限问题转化为两个二元实函数的极限问题，这是在高等数学中已经讨论过的问题。34证明：35反过来36定理与实变函数的极限性质类似.惟一性复合运算等37例2证(一)38根据定理一可知,证(二)39405、函数的连续性连续的定义:

连续的三要素:（1）

f(z)在z0处有定义

（2）f(z)在z0处有极限

（3）f(z)在z0处的极限值等于函数值41由此，复函数的连续性问题也转化为相应的实问题.本定理的证明可根据定理1立即得到.相关性质42根据定理2和定理3还可推得:定理4.1)连续函数的和、差、积、商(分母不为零)

仍是连续函数.2)连续函数的复合函数还是连续函数.2.在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数在曲线上是有界的.

3.因一般复数不能比较大小，故实连续函数的最大、最小值定理，介值定理不再成立.注1.函数在曲线上点处连续的意义是指43特殊的:(1)有理整函数(多项式)(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.44

小结与思考

2.通过本课的学习,熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质.

注意:复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同,但在实质上有很大的差异,它较之后者的要求苛刻得多.

1.复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了.45思考题“函数