概率论与数理统计1.5

一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结§1.5

条件概率1.引例

现有300个灯泡,甲厂生产的为200个,其中次品40个；乙厂生产的为100个,其中次品10个,随机抽取一个灯泡进行检测,求事件A={抽到甲厂生产的灯泡},B={抽到次品},C={抽到甲厂生产的灯泡且为次品}的概率。一、条件概率

如果已经获得信息抽到的是甲厂生产的灯泡，在这个条件下,考虑抽到次品的概率。

也就是考虑事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为同理若P(B)>0,则称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.2.定义可以验证此定义符合概率公理化定义的三个条件：非负性；2.规范性；3.可列可加性。例1

一盒子装有4只产品,其中有3只一等品、1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率P(B|A).解:解法(一)

给产品编号,设1,2,3号为一等品,4号为二等品,用(i,j)表示第一,二次分别取到第i,j号产品,则样本空间为由条件概率的公式得【注】条件概率P(B|A)是在A发生的条件下，在一个新的样本空间中讨论事件B发生的概率。条件概率计算的两种思路：1.在缩小的样本空间考虑;2.在原样本空间考虑.解法(二)

在第一次取得一等品后,还剩下3只产品,其中一等品2个,故第二次再取得一等品的概率为2/3.3.性质(3)若随机事件则(2)设是两两互斥事件,则有条件概率的加法公式例2

市场上灯泡70％产自于甲厂,30％产自于乙厂。已知甲厂产品合格率为95％,乙厂产品合格率为80％,随机抽取一个灯泡，记事件

A={抽到甲厂生产的灯泡}，

B={抽到合格的灯泡}，(1)分析下列事件的概率：(2)求P(AB).解:(1)二、乘法定理设则有设A,B,C为事件,且则有推广设为n个事件,且则有例3

已知袋中有5个红球，4个白球。(1)不放回取三次，一次一个，试求前两次取到红球，后一次取到白球的概率。(2)取三次，一次一个，如果取到红球就拿出并放回两个白球，否则不放回，求前两次取到红球，后一次取到白球的概率。解：(1)设A={前两次取到红球，后一次取到白球},(一)古典概型方法(二)乘法定理设Ai={第i

次取得红球},i=1,2,3,因为例4

袋中有5个球，3个新的，2个旧的，每次取一个，用后放回。设

A={第一次取到新球}，

B={第二次取到新球}。求P(A),P(AB),P(B).解：三、全概率公式与贝叶斯公式

例5

有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一球，求取得红球的概率.解:记

Ai={取到i号箱},

i=1,2,3;

B={取得红球}且A1B、A2B、A3B两两互斥B发生总是伴随着A1,A2,A3之一同时发生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)123即将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法定理得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/151.样本空间的划分2.全概率公式全概率公式图示证明化整为零各个击破在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:

某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是

每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.可以从另一个角度去理解例6

有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%

，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%

有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率

.1231红4白?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式由已知,称此为贝叶斯公式.3.贝叶斯公式证明

贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.

例7

某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:元件制造厂次品率提供元件的份额

10.020.1520.010.8030.030.05

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,为分析此产品出自何厂,需求出此产品由三家工厂生产的概率分别是多少,试求这些概率.解:(1)由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得解：设事件A为“生产的是合格品”,例8对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为98％,而当机器发生某种故障时,其合格品率为55％.每天早晨机器开动时,机器调整良好的概率为95％.

若已知某日早晨第一件产品是合格品,此时机器调整良好的概率是多少？

由贝叶斯公式得所求概率为上题中概率0.95是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后验概率.定义先验概率与后验概率贝叶斯公式P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。

当有了新的信息(知道B发生),人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.例9

根据以往的临床记录,CAT(计算机辅助层次扫描)

作为诊断精神分裂症的试验具有如下的效果:若以

A表示事件“扫描显示被诊断者为脑萎缩”,以C表示

事件“被诊断者患有精神分裂症”,则有P(A|C)=0.30,

现在已知在美国精神分裂症的发病率