复变函数与积分变换-第3章

第三章复变函数的积分§3.1复变函数的积分§3.2Cauchy积分定理§3.3Cauchy积分公式§3.4解析函数的高阶导数主要内容

本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质.重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导数公式。§3.1复变函数积分的概念一复变函数积分的定义二复变函数积分的性质三复变函数积分的计算abxyC定义如图设

C

为简单光滑的有向(1)将曲线

C

任意划分：一、复积分的定义函数在

C

上有定义，令zkz0zkznzk-1(2)在每个弧段上任取一点若

存在(不依赖

C

的划分和的选取)，则称之为沿曲线

C

的积分，记为曲线，其方向是从a

到b，abxyC一、复积分的定义表示沿曲线

C

的注(1)znzk-1z0zkzkC-负方向积分；表示沿闭曲线

G(2)(的逆时针方向)积分；第一类曲线积分二、复积分的性质(1)(4)(2)(3)其中，其中，L为曲线C的弧长。估计例的模的一个上界，其中

C

如图所示。xyCi1-1解定理3.1

设C是分段光滑(或可求长)的有向曲线，在C上连续，则存在，并且积分存在定理从形式上可以看成三、复积分的计算方法一

化为第二类曲线积分

三、复积分的计算方法二

直接化为定积分

设曲线则其中，附其它方法(后面的章节介绍)

利用原函数计算，即

利用柯西积分公式、高阶导公式计算。

利用留数计算。解(1)曲线

C1的方程为曲线

C2的方程为xyC1C2C3i1C4计算例其中

C

为(如图)：(1)(2)(3)解(2)曲线

C3的方程为xyC1C2C3i1C4计算例其中

C

为(如图)：(1)(2)(3)解(3)曲线

C4的方程为xyC1C2C3i1C4计算例其中

C

为(如图)：(1)(2)(3)解(1)曲线

C1的方程为曲线

C2的方程为xyC1C2C3i1计算例其中

C

为：(1)(2)解(2)曲线

C3的方程为xyC1C2C3i1计算例其中

C

为：(1)(2)都是从相同的起点到相同的终点,沿着两条不注意1

从例题看到,积分和相同的路径进行时,积分值不同,积分值相同.是否可以讨论积分与积分路径的关系?注意2

一般不能将函数f(z)在以a为起点,以b为终点的曲线C上的积分记成因为积分值可能与积分路径有关,所以记解积分路径的参数方程为例计算积分(n是整数),其中C是圆周:的正向.重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.注

此例的结果很重要！

§3.2柯西积分定理一、柯西基本定理二、闭路变形原理三、复合闭路定理四、路径无关性五、原函数(?)证明Green公式C

-

R方程D(?)Green公式C

-

R方程证明一、柯西基本定理定理设函数

f(z)

在单连通域

D

内解析，G

为D

内的任意一条简单闭曲线，

上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。

则有GG注(1)

定理中的曲线

G

可以不是简单闭曲线。(2)

定理中的条件还可以进一步减弱。定理设单连域

D

的边界为

C，函数

f(z)在

D

内解析，则有CD在

上连续，D一、柯西基本定理定理设函数

f(z)

在单连通域

D

内解析，G

为D

内的任意一条简单闭曲线，则有GG二、闭路变形原理

将柯西积分定理推广到二连域定理设二连域

D

的边界为

(如图)，或Dab证明如图，作线段

a

b，则二连域D

变为单连域，由或函数在

D

内解析，在

D+C

上连续，则从而有D

在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。二、闭路变形原理

闭路变形原理如图，设在

D

内解析，在边界上连续，G为

D

内的一条“闭曲线”，则DrCG解如图以

为圆心

r

为半径作圆，则函数在因此有当时，当时。上解析，▲重要

三、复合闭路定理

将柯西积分定理推广到多连域函数在

D

内解析，或设多连域

D

的边界为

(如图)，定理DC1C2C0C3Cn…在D+C

上连续，则证明(略)解显然函数

例

计算积分其中G为包含圆周在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.在复平面有两个奇点0和1,并且G包含了这两个奇点.打洞!根据,Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式（挖“奇点”法）令解则奇点为(1)当

C

为时，C(1)(2)

其中

C

为：例计算C3210令解C1C2则奇点为(2)当

C

为时，令

C1：

C2：则C(1)(2)

其中

C

为：例计算C3210的简单曲线，四、路径无关性定理设函数

f(z)

在单连通域

D

内解析，C1,

C2

为

D

内的任意两条从到证明由

可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，则有计算例其中

C

为如图所示的一个半圆。xyCi2G解设

G

如图所示，处处解析，问是否可以直接计算？因此有即由于在复平面上五、原函数设在单连域

D

内，函数

恒满足条件定义则称为在

D

内的一个原函数。1.基本概念及性质函数的任何两个原函数相差一个常数。性质设和是的两个原函数，则证明其中，c

为任意常数。函数的原函数称为

的不定积分，定义记作补

D五、原函数2.由变上限积分构成的原函数定理若

在单连域

D

内处处解析，则在

D

内解析，且

令3.Newton-Leibniz公式定理若

在单连域

D

内处处解析，

为

的原函数，

复积分的换元积分公式复积分的分部积分公式例求解例求解例求解练习解使用“凑微分”解利用分部积分法可得练习§3.3Cauchy积分公式

3.3.1问题的提出3.3.2Cauchy积分公式实际问题：

如果测得地球表面各点的温度，能否测得地心的温度？如何测？寻求：由D边界上的函数值导出D内点的函数值的表达式.数学模型3.3.1问题的提出DC一、柯西积分公式Gd定理如果函数在区域D

内解析，在D+

C

上连续，证明(思路)如图，以为圆心，d

为半径作圆

G，则左边右边|

右边

-

左边

|则在D+

C

上连续，

则一、柯西积分公式定理如果函数在区域D

内解析，DdGC证明(思路)(当充分小时)|

右边

-

左边

|即只要

d足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，由于左边与右边均为常数，与

d无关，故等式成立。在边界

C

上连续，

则一、柯西积分公式定理如果函数在区域D

内解析，DdGC意义将换成，积分变量换成，

解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。

换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来。则上式变为是多连域。一、柯西积分公式注意柯西积分公式中的区域D

可以应用

推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。比如对于二连域

D

,其边界为，DC1

反过来计算积分则在上解析

其中

C

为：例计算(1)(2)C1C2210(1)解(柯西积分公式)(2)(柯西积分定理)(函数

在

上解析)C1C2令解则令

C1：

C2：

其中

C

如图所示。例计算C201则(复合闭路定理)(柯西积分公式)C203-

3解

试考虑积分路径为的情况。二、平均值公式如果函数在内解析，定理(平均值公式)在上连续，qxRyC证明由柯西积分公式有则有§3.4解析函数的高阶导数一、高阶导数定理二、柯西不等式三、刘维尔定理一、高阶导数定理分析则由柯西积分公式有又……如果函数在区域D

内解析，在上连续，一、高阶导数定理定理如果函数在区域D

内解析，在上连续，则的各阶导数均在

D

上解析，证明(略)意义解析函数的导数仍解析。应用

推出一些理论结果。

反过来计算积分且解例计算解(1)令解

例计算则(复合闭路定理)C2C1C2

i-

i如图，作

C1

,C2两个小圆，记为解

例计算C2C2-

iC1

i(2)(高阶导数公式)同样可求得(3)二、柯西不等式定理设函数在内解析，且则(柯西不等式)证明函数在上解析，令即得三、刘维尔定理定理设函数在全平面上解析且有界，则为