云南省2022年中考数学总复习训练-体验集训第二十四讲圆的有关计算

1．(2021·衢州中考)已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是(D)A．eq\f(3,2)πB．3πC．5πD．15π【解析】扇形面积＝eq\f(150π×62,360)＝15π.2．(2021·仙桃中考)用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(B)A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm【解析】设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得2πr＝eq\f(120π×30,180)，解得r＝10.3.(2021·包头中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝eq\r(5)，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为(D)A．8－πB．4－πC．2－eq\f(π,4)D．1－eq\f(π,4)【解析】根据题意可知AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(（\r(5)）2－22)＝1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，设∠B＝n°，∠A＝m°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，即n＋m＝90，∴S阴影部分＝S△ABC－(S扇形EBF＋S扇形DAC)＝eq\f(1,2)×2×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nπ×12,360)＋\f(mπ×12,360)))＝1－eq\f(（n＋m）π,360)＝1－eq\f(π,4).4．(2021·青海中考)如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是(B)A．eq\f(17,12)πm2B．eq\f(77,12)πm2C．eq\f(25,4)πm2D．eq\f(17,6)πm2【解析】大扇形的圆心角是90度，半径是5m，所以面积＝eq\f(90π×52,360)＝eq\f(25,4)π(m2)；小扇形的圆心角是180°－120°＝60°，半径是1m，则面积＝eq\f(60π×12,360)＝eq\f(π,6)(m2)，则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝eq\f(25,4)π＋eq\f(π,6)＝eq\f(77,12)π(m2).5．(2021·山西中考)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为(A)A．2πB．4πC．eq\f(\r(3),3)πD．eq\f(2\r(3),3)π【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝eq\f(（6－2）×180°,6)＝120°，∵∠ABC＋∠BAC＋∠BCA＝180°，∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC＝eq\f(1,2)(180°－∠ABC)＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°，过B点作BH⊥AC于H点，∴AH＝CH，BH＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2＝1，在Rt△ABH中，AH＝eq\r(AB2－BH2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，∴AC＝2eq\r(3)，同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF－∠BAC－∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，∴S扇形CAE＝eq\f(60π·（2\r(3)）2,360)＝2π，∴图中阴影部分的面积为2π.6．(2021·聊城中考)用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面(接缝忽略不计)，那么这个扇形铁片的面积为80πcm2.【解析】∵扇形铁片的弧长16πcm，∴圆锥的底面周长为16πcm，∴圆锥的底面半径＝eq\f(16π,2π)＝8(cm)，由勾股定理得：圆锥的母线长＝eq\r(62＋82)＝10(cm)，∴扇形铁片的面积＝eq\f(1,2)×16π×10＝80π(cm2).7．(2021·绥化中考)边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是eq\f(2\r(3),3)．【解析】如图，连接OA，OB，作OG⊥AB于点G，∵正六边形的边长为4cm，∴正六边形的半径是4cm，则外接圆的半径4cm，内切圆的半径是正六边形的边心距，GO＝eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为eq\f(4,2\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).8．(2021·河南中考)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为eq\f(5π,4)．【解析】如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD.∵OA＝OB＝OD＝5，∠BOC＝2∠BAC＝45°，∴的长＝eq\f(45π×5,180)＝eq\f(5π,4).9．(2021·北部湾中考)如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上(阴影部分)，且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是eq\f(\r(3),3)．【解析】连接AC，AE，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC＝eq\f(1,2)∠BAD＝eq\f(1,2)×120°＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形，∵圆弧与BC相切于E，∴AE⊥BC，∴BE＝CE＝1，∴AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，设圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr＝eq\f(120×π×\r(3),180)，解得r＝eq\f(\r(3),3)，即圆锥的底面圆半径为eq\f(\r(3),3).10．(2021·凉山州中考)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A′B′C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形(阴影部分)的面积为eq\f(5π,3)．【解析】∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°.∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′＋S△ABC－S扇形BCB′－S△A′B′C，∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′－S扇形BCB′，∴AB扫过的图形的面积＝eq\f(120π·32,360)－eq\f(120·π·22,360)＝eq\f(5π,3).11．(2021·邵阳中考)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1∶2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC.将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【解析】(1)设∠BAC＝n°.由题意得π·ED＝eq\f(nπ·AD,180)，AD＝2ED，∴n＝90，∴∠BAC＝90°.(2)∵△ABC为等腰三角形，由(1)知∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵AD⊥BC，AD＝2ED＝10cm，∴BD＝AD＝10cm，∴BC＝2BD＝20cm，∴S阴＝eq\f(1,2)·BC·AD－S扇形EAF＝eq\f(1,2)×20×10－eq\f(90π·102,360)＝(100－25π)cm2.12．(2021·达州中考)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点(C不与点A，B重合)，连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D.将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．【解析】(1)连接OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AE，∴∠AEC＋∠ECO＝180°，∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；(2)连接OF，过点O作OG⊥AE于点G，∵∠BAC＝15°，∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COF＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°，∵OA＝2，∴OG＝eq\f(1,2)OA＝1，AG＝eq\r(3)，∵OA＝OF，∴AF＝2AG＝2eq\r(3)，∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，∴CD＝eq\f(1,2)OC＝1，OD＝eq\r(3)，∴AE＝AD＝AO＋OD＝2＋eq\r(3)，∴EF＝AE－AF＝2－eq\r(3)，CE＝CD＝1，∴S阴影＝S梯形OCEF－S扇形OCF＝eq\f(1,2)×(2－eq\r(3)＋2)×1－eq\f(30,360)×π×22＝2－eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,3)π.【素养提升题】(2021·黄石中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E.(1)求证：BC∥OP；(2)若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16eq\r(3)，求阴影部分的面积；(3)若sin∠BAC＝eq\f(1,3)，且AD＝2eq\r(3)，求切线PA的长．【解析】(1)∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵OA＝OB，∴OP⊥AB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴BC∥OP.(2)∵OE＝DE，AB⊥OD，∴OA＝AD，∵OA＝OD，∴AD＝OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，设OE＝m，则AE＝BE＝eq\r(3)m，OA＝2m，OP＝4m，∵四边形OAPB的面积是16eq\r(3)，∴eq\f(1,2)·OP·AB＝16eq\r(3)，∴eq\f(1,2)×4m×2eq\r(3)m＝16eq\r(3)，∴m＝2或－2(舍弃)，∴OE＝2，AB＝4eq\r(3)，OA＝2m＝4，∵OD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，∴S阴＝S扇形AOB－S△AOB＝eq\f(120π·42,360)－eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2＝eq\f(16π,3)－4eq\r(3).(3)在Rt△AOE中，sin∠BAC＝eq\f(OE,OA)＝eq\f(1,3)，∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝eq\r(OA2－OE2)＝eq\r(（3x）2－x2)＝2eq\r