1990年全国高中数学联赛试题及详细解析

(10月14日上午8∶00—10∶00)一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(eq\f(,4)，eq\f(,2)),则(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是A．(cos)cos<(sin)cos<(cos)sinB．(cos)cos<(cos)sin<(sin)cosC．(sin)cos<(cos)cos<(cos)sinD．(cos)sin<(cos)cos<(sin)cos5．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式eq\b\bc\((\f(x,x+y))\s\up6(1990)+eq\b\bc\((\f(y,x+y))\s\up6(1990)的值是()A．2－1989B．－1C．1D．以上答案都不对6．已知椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|>1的点的集合用阴影表示是下面图中的()二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则eq\f(1,1+an)+eq\f(1,1+bn)的最小值是．2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是．3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是．4．对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+…+f(1990)．5．设n=1990，则eq\f(1,2n)(1－3Ceq\a(2,n)+32Ceq\a(4,n)－33Ceq\a(6,n)+…+3994Ceq\a(1998,n)－3995Ceq\a(1990,n)=．6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．三．(本题满分20分)已知a，b均为正整数，且a>b，sinθ=eq\f(2ab,a2+b2)，(其中0<θ<eq\f(π,2))，An=(a2+b2)nsinnθ．求证：对于一切自然数n，An均为整数．

第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．OOOABCDP1OOO234F二．(本题满分35分)设E={1，2，3，……，200}，G={a1，a2，……，a100}eq\o(\s\up4(),\s\do3())E．且G具有下列两条性质：⑴对任何1≤i<j≤100，恒有ai+aj≠201；⑵eq\s\do4(\o(\s\up15(100),Σ,\s\do6(i=1)))ai=10080．试证明：G中的奇数的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数．三．(本题满分35分)某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1≤Ci≤39，1≤i≤n)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为eq\s\do4(\o(\s\up15(n),Σ,\s\do6(i=1)))Ci=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．

1990年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(eq\f(,4)，eq\f(,2)),则(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是A．(cos)cos<(sin)cos<(cos)sinB．(cos)cos<(cos)sin<(sin)cosC．(sin)cos<(cos)cos<(cos)sinD．(cos)sin<(cos)cos<(sin)cos【答案】D【解析】α∈(eq\f(,4)，eq\f(,2))0<cosα<sinα<1，∴(cos)cos<(sin)cos；(cos)sin<(cos)cos；选D．2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式是()A．f(x)=x+4B．f(x)=2-xC．f(x)=3－|x+1|D．f(x)=2+|x+1|3．设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是()A．在线段MN内部B．在线段F1M内部或在线段NF2内部C．点M或点ND．不能确定的【答案】C【解析】设内切圆在三边上切点分别为D、E、F，当P在右支上时，PF1－PF2=2a．但PF1－PF2=F1D－F2D=2a，即D与N重合，当P在左支上时，D与M重合．故选C．4．点集{(x，y)|lg(x3+eq\f(1,3)eq\f(1,3)y3+eq\f(1,9))=lgx+lgy}中元素个数为()A．0B．1C．2D．多于2【答案】B【解析】x3+eq\f(1,3)y3+eq\f(1,9)=xy>0．但x3+eq\f(1,3)y3+eq\f(1,9)≥3eq\r(3,x3·eq\f(1,3)y3·eq\f(1,9))=xyeq\r(,x3·)，等号当且仅当x3=eq\f(1,3)y3=eq\f(1,9)时，即x=eq\f(eq\r(3,3),3)，y=eq\f(eq\r(3,9),3)时成立．故选B．6．已知椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|>1的点的集合用阴影表示是下面图中的()【答案】C【解析】eq\f(4,a2)+eq\f(1,b2)=1，由a2>b2，故得eq\f(1,b2)<1<eq\f(4,b2)+eq\f(1,b2)=eq\f(5,b2)，1<b<eq\r(5)．eq\f(4,a2)+eq\f(1,b2)=1eq\f(5,a2)<1，a2>5．故选C．二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则eq\f(1,1+an)+eq\f(1,1+bn)的最小值是．【答案】1【解析】ab≤(eq\f(a+b,2))2=1，从而anbn≤1，故eq\f(1,1+an)+eq\f(1,1+bn)=eq\f(1+an+1+bn,1+an+bn+anbn)≥1．等号当且仅当a=b=1时成立．即所求最小值=1．2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是．【答案】【解析】点P在单位圆上，sin(2t－60°)=cos(150°－2t)，cos(2t－60°)=sin(150°－2t).当t由15°变到45°时，点P沿单位圆从(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))运动到(eq\f(1,2),eq\f(\r(3),2))．线段AP扫过的面积=扇形面积=eq\f(1,6)π．3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是．【答案】3【解析】(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2≤x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)．等号当且仅当x=y=z时成立．故n=3．5．设n=1990，则eq\f(1,2n)(1－3Ceq\a(2,n)+32Ceq\a(4,n)－33Ceq\a(6,n)+…+3994Ceq\a(1998,n)－3995Ceq\a(1990,n)=．【答案】【解析】取(－eq\f(1,2)+eq\f(\r(3),2)i)1990展开的实部即为此式．而(－eq\f(1,2)+eq\f(\r(3),2)i)1990=－eq\f(1,2)+eq\f(\r(3),2)i．故原式=－eq\f(1,2)．三．(本题满分20分)已知a，b均为正整数，且a>b，sinθ=eq\f(2ab,a2+b2)，(其中0<θ<eq\f(π,2))，An=(a2+b2)nsinnθ．求证：对于一切自然数n，An均为整数．四．n2个正数排成n行n列aa11a12a13a14……a1na21a22a23a24……a2na31a32a33a34……a3na41a42a43a44……a4n……an1an2an3an4……ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=eq\f(1,8)，a43=eq\f(3,16)，求a11+a22+……+ann．(1990年全国高中数学联赛)分析由a42、a43或求a44，由a24，a44可求公比．【解析】设第一行等差数列的公差为d，各列的公比为q．∴a44=2a43－a42=eq\f(1,4)．由a44=a24∙q2，得，q=eq\f(1,2).∴a12=a42∙q－3=1．∴d=eq\f(a14－a12,4－2)=eq\f(1,2)，∴a1k=a12+(k－2)d=eq\f(1,2)k(k=1，2，3，…，n)∴akk=a1kqk－1=eq\f(1,2)k·(eq\f(1,2))k－1=(eq\f(1,2))k·k．令Sn=a11+a22+…+ann．则S－eq\f(1,2)S=eq\o(\s\up15(n),Σ,\s\do6(k=1))eq\f(k,2k)－eq\o(\s\up15(n+1),Σ,\s\do6(k=2))eq\f(k－1,2k)=eq\f(1,2)+eq\o(\s\up15(n),Σ,\s\do6(k=2))eq\f(1,2k)－eq\f(n,2n+1)=eq\f(1,2)+eq\f(1,2)－eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n+1)=1－eq\f(n+2,2n+1).∴S=2－eq\f(n+2,2n)．五．设棱锥M—ABCD的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．

第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．【解析】证明∵O为⊿ABC的外心，∴OA=OB．∵O1为⊿PAB的外心，∴O1A=O1B．∴OO1⊥AB．作⊿PCD的外接圆⊙O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB交于点F，连DE，则1=2=3，EPD=BPF，∴PFB=EDP=90．∴PO3⊥AB，即OO1∥PO3．同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四边形．∴O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点．同理，O2O4过PO中点．∴OP、O1O3、O2O4三直线共点．二．(本题满分35分)设E={1，2，3，……，200}，G={a1，a2，……，a100}eq\o(\s\up4(),\s\do3())E．且G具有下列两条性质：⑴对任何1≤i<j≤100，恒有