中考数学二轮复习二次函数压轴题(角度问题)

类型七角度问题1.如图，抛物线y＝－eq\f(3,4)x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝eq\f(3,4)x＋3经过点A、C.(1)求抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交直线AC于点M，设点P的横坐标为t.①若以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；②当直线MP、MC、MO中一条直线平分另外两条直线的夹角时，直接写出t的值．第1题图备用图

2.如图，直线y＝eq\f(3,4)x＋c与x轴交于点B(4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝eq\f(3,4)x2＋bx＋c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；(3)若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝eq\f(1,2)∠ABC的点M的坐标．第2题图备用图类型七角度问题1.解：(1)在y＝eq\f(3,4)x＋3中，令x＝0，y＝3；令y＝0，x＝－4，得A(－4，0)，C(0，3)，将A、C两点坐标代入抛物线y＝－eq\f(3,4)x2＋bx＋c，解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(9,4),c＝3))，∴抛物线的解析式y＝－eq\f(3,4)x2－eq\f(9,4)x＋3；(2)①设P(t，－eq\f(3,4)t2－eq\f(9,4)t＋3)，∵PM∥DC，∴要使以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形，则PM＝OC＝3.∵M点的坐标可表示为(t，eq\f(3,4)t＋3)，∴PM＝|－eq\f(3,4)t2－eq\f(9,4)t＋3－(eq\f(3,4)t＋3)|＝|－eq\f(3,4)t2－3t|，∴|－eq\f(3,4)t2－3t|＝3，当－eq\f(3,4)t2－3t＝3，解得t1＝－2，当－eq\f(3,4)t2－3t＝－3，解得t2＝－2＋2eq\r(2)，t3＝－2－2eq\r(2)，综上所述，满足条件的t的值为－2或－2＋2eq\r(2)或－2－2eq\r(2)；②当直线MP、MC、MO中一条直线平分另外两条直线的夹角时，t的值为－2或－eq\f(72,25)或－eq\f(12,5).【解法提示】如解图①，若当直线MP平分直线MC、MO的夹角，第1题解图①则∠AMN＝∠OMN，∵PN⊥OA，∴AN＝ON，∴t的值为－2；如解图②，若MC平分MP、MO的夹角，过点C作CH⊥OM于点H，CG⊥MP于点G，第1题解图②则CG＝CH，∵S△CMO＝eq\f(1,2)OM·CH＝eq\f(1,2)OC·CG，∴OM＝OC＝3，∵点M在直线AC上，∴M(t，eq\f(3,4)t＋3)，∴MN2＋ON2＝OM2，可得，t2＋(eq\f(3,4)t＋3)2＝9，解得t1＝0(舍)，t2＝－eq\f(72,25)；如解图③，若MO平分MC、MP的夹角，则可得∠NMO＝∠OMC，过点O作OK⊥AC，垂足为K，第1题解图③∴OK＝ON，∵∠AKO＝∠AOC＝90°，∠OAK＝∠CAO，∴△AOK∽△ACO，∴eq\f(OK,AO)＝eq\f(CO,AC)，∴eq\f(OK,4)＝eq\f(3,5)，∴OK＝eq\f(12,5)，∴t＝－eq\f(12,5)，综合以上可得t的值为－2或－eq\f(72,25)或－eq\f(12,5).2.解：(1)∵直线y＝eq\f(3,4)x＋c经过点B(4，0)，∴eq\f(3,4)×4＋c＝0，解得c＝－3.∴抛物线的解析式为y＝eq\f(3,4)x2＋bx－3.又∵抛物线经过点B(4，0)，∴12＋4b－3＝0，解得b＝－eq\f(9,4)，∴抛物线的解析式为y＝eq\f(3,4)x2－eq\f(9,4)x－3；(2)如解图①，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，交直线BC于点E.由(1)可知直线BC的解析式为y＝eq\f(3,4)x－3，设点P(m，eq\f(3,4)m2－eq\f(9,4)m－3)，则点E(m，eq\f(3,4)m－3)，∴PE＝eq\f(3,4)m－3－(eq\f(3,4)m2－eq\f(9,4)m－3)＝－eq\f(3,4)m2＋3m.对于y＝eq\f(3,4)x2－eq\f(9,4)x－3，令y＝0，得eq\f(3,4)x2－eq\f(9,4)x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴点A(－1，0)，∴AB＝5.∴S四边形ACPB＝S△ABC＋S△BCP＝eq\f(1,2)AB·OC＋eq\f(1,2)PE·OB＝eq\f(1,2)×5×3＋eq\f(1,2)×(－eq\f(3,4)m2＋3m)×4＝－eq\f(3,2)m2＋6m＋eq\f(15,2)＝－eq\f(3,2)(m－2)2＋eq\f(27,2).∵－eq\f(3,2)<0，0<m<4.∴当m＝2时，S四边形ACPB最大，此时点P的坐标为(2，－eq\f(9,2))；第2题解图①(3)满足题意的点M的坐标为(－eq\f(5,9)，－eq\f(41,27))或(eq\f(25,27)，－eq\f(1079,243))．【解法提示】如解图②，作∠ABC的平分线交y轴于点F，交抛物线于点M1，过点F作FN⊥BC，垂足为点N，作∠CBG＝∠CBF，其中一边交y轴于点G，交抛物线于点M2，过点F作FH⊥BG，垂足为点H.①由角平分线的性质，可得FN＝OF，由eq\f(FN,FC)＝eq\f(OB,BC)＝eq\f(4,5)，FN＋FC＝OF＋FC＝3，可得OF＝FN＝eq\f(4,3)，∴点F(0，－eq\f(4,3))．由点F(0，－eq\f(4,3))，B(4，0)，可得直线BF的解析式为y＝eq\f(1,3)x－eq\f(4,3)，与抛物线解析式联立方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,3)x－\f(4,3),y＝\f(3,4)x2－\f(9,4)x－3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(5,9),y1＝－\f(41,27)))，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4,y2＝0))(舍去)，∴点M1(－eq\f(5,9)，－eq\f(41,27))，②在Rt△OBF中，OF＝eq\f(4,3)，OB＝4，由勾股定理，可得BF＝eq\f(4,3)eq\r(10)，∵∠FBH＝∠CBO，∠FHB＝∠COB，∴△BFH∽△BCO.∴eq\f(FH,OC)＝eq\f(BF,BC)，即eq\f(FH,3)＝eq\f(\f(4,3)\r(10),5)，∴FH＝eq\f(4\r(10),5)，设点G(0，n)，则FG＝－n－eq\f(4,3)，∵∠FGH＝∠BGO，∠FHG＝∠BOG，∴△GFH∽△GBO，∴eq\f(FG,BG)＝eq\f(FH,BO)，即eq\f(－n－\f(4,3),\r(n2＋42))＝eq\f(\f(4\r(10),5),4)，∴n＝－eq\f(52,9)，∴点G(0，－eq\f(52,9))，由点B(4，0)，点G(0，－eq\f(52,9))，可得直线BG的解式为y＝eq\f(13,9)x－eq\f(52,9)，与抛物线解析式联立方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(13,9)x－\f(52,9),y＝\f(3,4)x2－\f(9,4)x－3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＝\f(25,27),y3＝－\f