中考数学二轮复习一题多解综合训练

一题多解专题1.在△ABC中，AB＝6cm，点P在AB上，且∠ACP＝∠B，若点P是AB的三等分点，则AC的长是.2.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M是对角线BD上的动点，过点M作ME⊥BC于点E，连接AM，当△ADM是等腰三角形时，ME的长为.3.已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，若点P是菱形内一点，且PB＝PD＝2eq\r(3)，则AP的长为.4.已知四边形ABCD是边长为4的正方形，AC为对角线，将△ACD绕点A旋转45°得到△AC′D′，其中点D的对应点是D′，则CD′的长为.5.在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4eq\r(3)，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于.6.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3，点M是直线BC上一动点，且∠CAM＋∠CBA＝45°，则BM的长为.第6题图7.菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为.

一题多解专题答案1.2eq\r(3)cm或2eq\r(6)cm【解析】由∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△ACP∽△ABC，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(AP,AC)，即AC2＝AP·AB.分两种情况：①AP＝eq\f(1,3)AB＝2cm，AC2＝2×6＝12，AC＝eq\r(12)＝2eq\r(3)cm；②AP＝eq\f(2,3)AB＝4cm，AC2＝4×6＝24，AC＝eq\r(24)＝2eq\r(6)cm.综上所述，AC的长是2eq\r(3)cm或2eq\r(6)cm.2.eq\f(3,2)或eq\f(3,5)【解析】如解图，①当AM＝DM时，则M1为BD的中点．∵M1E1⊥BC，∴M1E1为△BCD的中位线．∴M1E1＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(3,2)；②当AD＝DM时，则有M2D＝AD＝BC＝4，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝5，∴BM2＝BD－M2D＝5－4＝1.又∵M2E2⊥BC，∴△BE2M2∽△BCD.∴eq\f(M2E2,DC)＝eq\f(BM2,BD).即eq\f(M2E2,3)＝eq\f(1,5).∴M2E2＝eq\f(3,5).综上所述，ME的长为eq\f(3,2)或eq\f(3,5).第2题解图3.4eq\r(3)或2eq\r(3)【解析】①当点P与点A在BD的异侧时，设AP交BD于点M，如解图①，∵AD＝AB，DP＝BP，∴AP⊥BD.在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，∴AM＝AB·cos30°＝3eq\r(3)，BM＝AB·sin30°＝3.∴PM＝eq\r(PB2－BM2)＝eq\r(3).∴AP＝AM＋PM＝4eq\r(3)；②当点P与点A在BD的同侧时，如解图②，延长AP交BD于点M，由①知，AM＝3eq\r(3)，PM＝eq\r(3)，∴AP＝AM－PM＝2eq\r(3)；当P与M重合时，PD＝PB＝3，与PB＝PD＝2eq\r(3)矛盾，舍去．综上所述，AP的长为4eq\r(3)或2eq\r(3).图①图②第3题解图4.4eq\r(2)－4或4eq\r(3)【解析】由题意可得AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝4eq\r(2)，分两种情况：①如解图①，将△ACD绕点A顺时针旋转45°得到△AC′D′，可得到点D′落在AC上，且AD′＝AD＝4，所以CD′＝AC－AD′＝4eq\r(2)－4；②如解图②，将△ACD绕点A逆时针旋转45°得到△AC′D′，连接CD′，可得∠CAD′＝90°，AD′＝AD＝4，CD′＝eq\r(AD′2＋AC2)＝4eq\r(3).综上所述，CD′的长为4eq\r(2)－4或4eq\r(3).图①图②第4题解图5.16eq\r(3)或8eq\r(3)【解析】①如解图①，当∠ABD是锐角时，过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝∠DEB＝90°，在Rt△AED中，∵∠A＝30°，AD＝4eq\r(3)，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝2eq\r(3)，AE＝AD·cos30°＝6.在Rt△DEB中，∵DB＝4，DE＝2eq\r(3)，∴EB＝eq\r(DB2－DE2)＝2.∴AB＝AE＋BE＝6＋2＝8.∴S▱ABCD＝AB×DE＝8×2eq\r(3)＝16eq\r(3)；②如解图②，当∠ABD是钝角时，过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°，在Rt△AED中，∵∠A＝30°，AD＝4eq\r(3)，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝2eq\r(3)，AE＝AD·cos30°＝6.在Rt△DEB中，∵DB＝4，DE＝2eq\r(3)，∴EB＝eq\r(DB2－DE2)＝2.∴AB＝AE－EB＝6－2＝4.∴S▱ABCD＝AB×DE＝4×2eq\r(3)＝8eq\r(3).综上所述，平行四边形ABCD的面积为16eq\r(3)或8eq\r(3).图①图②第5题解图6.eq\f(13,5)或eq\f(17,5)【解析】①当M在线段BC上时，如解图，作MH⊥AB于点H，∵∠CAM＋∠CBA＝45°，∠ACB＝90°，∴∠BAM＝45°.∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝eq\r(13).∵Rt△BHM∽Rt△BCA，∴eq\f(MH,AC)＝eq\f(BH,BC)＝eq\f(BM,BA).在Rt△BHM中，设MH＝2x，易知BH＝3x，在Rt△AHM中，AH＝MH＝2x，∴5x＝eq\r(13)，x＝eq\f(\r(13),5)，BM＝eq\r(13)x＝eq\f(13,5)；②当M在BC延长线上时，如解图，则∠CAM′＋∠CBA＝45°，又∵∠CAM＋∠CBA＝45°，∴∠CAM＝∠CAM′.又∵AC⊥BM′，∴CM＝CM′.由①得CM＝BC－BM＝eq\f(2,5)，∴BM′＝eq\f(17,5)；③当M在CB的延长线上时，不存在∠CAM＋∠CBA＝45°.综上所述，BM的长为eq\f(13,5)或eq\f(17,5).第6题解图7.5cm或eq\r(73)cm【解析】∵AC＝6cm，BD＝4cm，∴AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×6＝3cm，BO＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×4＝2cm.如解图①，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于点G，连接BF，可知BG＝AO＝3cm，AG＝BO＝2cm，FG＝AF＋AG＝6＋2＝8cm.在Rt△BFG中，BF＝eq\r(BG2＋FG2)＝eq\r(32＋82)＝eq\r(73)cm；如解图②，正方