固体物理学删chap3

3.1简谐振近似与简正坐标

晶格振动的研究——起源于对晶体的热学性质的研究。与固体的热学性质、光学性质、超导、磁性、结构相变关系密切固体热容量——热运动是晶体宏观性质的表现杜隆－珀替经验规律——一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度平均热能为kT总的内能摩尔热容量与温度无关杜隆－珀替定律在室温和较高的温度下对固体来说是适合的。但在较低的温度下，固体的热容随温度的下降而降低。第n个原子的平衡位置为以N个质量为m的原子组成的晶体为研究体系来说偏离平衡位置的位移矢量原子的位置宗量N个原子的位移矢量总有3N个分量体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开下标表示是平衡位置的值。取V0=0，平衡位置时不计高阶项，只取位置矢量的二次项，称为简谐振近似。系统的势能函数系统的动能函数系统的哈密顿量为了使问题简化，引入简正坐标简正坐标和原子的位移坐标正交变换联系引入简正坐标后，拉格朗日函数正则动量系统哈密顿量正则方程正则动量得到3N个相互无关的方程，解为简正振动——所有原子参与的振动，振动频率相同振动模——简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动模式考察某一个振动经典力学——量子力学对任意个简振模为谐振子方程，解为Hn为厄密多项式系统本征态3.2一维单原子链的振动一维单原子链，每个原子的质量为m，平衡间距为a第n个原子离开平衡位置第n+1个原子离开平衡位置第n个和第n+1个原子的相对位移和距离分别为如果只考虑最近邻原子的相互作用，势函数n-1个原子n+1个原子第n个原子的牛顿运动方程方程的试解色散关系格波方程晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。格波与机械波格波与机械波具有完全类似的形式一个格波表示的是所有原子同时做频率为

的振动

格波波形格波波长格波波矢格波相速度不同原子间的相位差相邻原子间的相位差波矢和布里渊区格波1的波矢相邻原子相位差格波2的波矢相邻原子相位差q1和q2相邻原子的振动一样。相邻原子相位差波矢的取值——第一布里渊区。决定了晶格振动性质，其他区域不能提供新的内容。波矢的色散关系格波相速度不同的格波传播速度不同频率是波数的偶函数频率极小值频率极大值频率在此范围中的格波才能在晶体中传播，其他频率的格波被强烈衰减。格波长波极限当格的色散关系和连续介质波的一致。格波短波极限格的色散关系和连续介质波的不一致。长波极限下相邻原子振动相位差晶体可以看成连续介质短波极限下相邻原子振动相反3.3一维双原子链

两种原子，M和m(M>m)M原子位于2n-1,2n+1,…m原子位于2n,2n+2,…晶格常数2a第2n个原子的方程第2n+1个原子的方程方程的解为方程与n无关，表明所有格波的解都可以表示为上述一对方程组，其有解的条件是一维双原子链中存在两种不同的格波，两种不同的色散关系——声学波——光学波振幅比——声学波——光学波M和m原子相邻原子相位差波矢q第一布里渊区短波极限无格波3.5晶体热容的量子理论固体的定容热容固体的平均内能实验上，低温下金属的热容电子对比热的贡献，温度不是很低，可忽略晶格振动对比热的贡献杜隆-珀替定律与温度无关实验表明——在低温时热容量随温度迅速趋于零!

热容的量子理论频率为的振动模的能量一个振子的统计平均能量一个振子对热容的贡献与晶格振动频率与温度有关高温极限——与杜隆－

珀替定律相符——忽略不计低温极限——与实验结果相符晶体中有3N个振动模，总的能量晶体总的热容

爱因斯坦模型

—N个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率

0振动

热容

总能量

爱因斯坦温度选取合适的

E值，在较大温度变化的范围内，理论计算的结果和实验结果相当好地符合。大多数固体

——爱因斯坦热容函数

金刚石

T理论计算和实验结果比较

温度较高时

——与杜隆

—珀替定律相符晶体热容

温度非常低时——按温度的指数形式降低——实验结果——爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别晶体热容

德拜模型

1912年,德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质

二个近似：不同的振动模，能量不同。不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模

2.球形等频面近似1.线性色散关系其中是晶格振动频率的一个函数模式密度三维晶格，波矢空间中的态密度——V:晶体体积振动模式密度满足系数A又归一化条件确定为频率上限，称为德拜频率