高考高中物理必考：圆周运动-知识点+例题详解

【下载后获高清完整版】高考高中物理必考：圆周运动-知识点+例题详解1.圆周运动的物理量⑴线速度：通过的弧长与所用时间的比值方向为圆周上该点的切线方向，线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周运动；⑵角速度：连接质点与圆心的半径转过的弧度与所用时间的比值方向用右手定则判断，四指表示运动方向，大拇指指向角速度的方向；对于圆周来讲，弧长与圆心角存在几何关系∆s=R·∆θ，所以有=·R;⑶周期T：完成一周运动所用的时间；⑷频率和转速：1s时间内完成的周数为频率，频率和转速的含义相同，显然有[例1]如图所示，一个圆台上底半径为，下底半径为，其母线AB长为L，侧放在水平地面上。推动它之后，它自身以角速度ω旋转，整体绕O点做匀速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转半径OA及旋转一周所需的时间。解析：由几何关系，可得解得OA=求出A点的线速度有设旋转一周所需的时间为T，则T==2.同心轮与皮带轮同心轮各轮的角速度ω相同，线速度与轮半径成正比；用皮带连接的两个轮的线速度相同，角速度ω与轮半径成反比。3.向心加速度由于做圆周运动的物体其速度方向时刻沿圆周的切线，即速度方向时刻都在变化，所以一定存在加速度，而力是产生加速度的原因，因此做圆周运动的物体一定受到合外力的作用。如图，运用相似三角形的知识，容易得到对上式进行变形，两边同除以∆t，可得当∆t

0时，上式可改写为

，即为向心加速度的表达式方向指向圆心。注：不要误认为向心加速度与成正比，与R成反比，实际上加速度只由受力决定，受力确定了，加速度也就确定了，在确定的前提下，才可以讨论与R的关系。4.曲率圆的概念任意一段曲线都可以分成很多小段，每小段都可以看成圆弧的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧代替，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点做一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。通过向心加速度的表达式，告诉了我们求曲率半径的方法。[例2]将一物体沿与水平面成α角的方向以速度抛出，则在其轨迹最高点处的曲率半径是多少？解析：在最高点处，物体的速度为·cosα，根据受力分析，物体仅受重力，向心加速度为g，所以有g=

，即此时的曲率半径5.向心力可以理解为产生向心加速度的力，它是一个效果力，不是性质力，在做受力分析时不能多加向心力，而只是各个性质力的一个合力。由牛顿第二定律可知，，为向心加速度。[例3]如图，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向上放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块，A离轴心=20cm，B离轴心=30cm，物块与盘面间的最大静摩擦力为其重力的0.4倍，g取10.(1)当圆盘转动的角速度多大时，细线上开始出现张力?(2)欲使A、B与盘面不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大?(3)当圆盘转速达到A、B即将滑动时，烧断细线，A、B将怎样运动?解析：(1)假设没有细线，A、B均由静摩擦力提供向心力，当达到最大静摩擦力时，物体即将滑动，有==mr，显然r越大，角速度ω越小，所以B先达到临界状态，即=0.4mg=解得rad/s⑵当ω>时，B做匀速圆周运动所需的向心力=+=，A做匀速圆周运动所需的向心力=-=，当A、B均达到最大静摩擦力时，处于临界状态，此时解得=4rad/s⑶烧断细线后，对A有=

=3.2m<，A做匀速圆周运动，对B有=

=4.8m>，B做离心运动。6.离心力当我们选择某一做匀速圆周运动的物体作为参考系时，通过引入离心力（非惯性参考系中引入的假想力）来简化分析。比如，考察一个以向心加速度a匀速转动的水平圆盘上静止的一个小物块，对其做受力分析，水平方向上其受到盘面的静摩擦力，处于非平衡状态。当我们以圆盘为参考系时，物块实际上是相对圆盘静止的，处于平衡状态，这时需要引入离心力，=，与静摩擦力平衡，从而保持平衡状态。[例4]如图，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向上放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块，A离轴心=R，B离轴心=2R，物块与盘面间的最大静摩擦力为，两物块随着圆盘转动，始终与圆盘保持相对静止，则圆盘转动的角速度从零逐渐缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（）A.A受到的摩擦力一直指向圆心B.A受到的摩擦力一直背向圆心C.A、B两物块与圆盘保持相对静止时，绳上的最大拉力为3D.A、B两物块与圆盘保持相对静止时，圆盘转动的最大角速度为解析：以圆盘为参照系，物块A、B在水平方向上受到的离心力分别为=，方向从O指向A，=，方向从O指向B圆盘刚开始转动时，A、B的摩擦力都需要和离心力平衡，所以指向圆心，B错误；当物块即将滑动时，对A、B整体，有=

+2即静摩擦力从B指向A，所以A受到的摩擦力背离圆心，A错误；由上式可解得，D错误；隔离A，设绳上拉力为T，则有=

+

=

，C正确。7.常见模型及二级结论⑴交通工具倾斜转弯模型：火车、飞机转弯等，如图=mg·tanθ=m所以，对于火车转弯，满足上式的时候，车轮对轨道侧壁无压力；对于飞机，倾斜角越大，向心力越大，同等速度下，转弯半径越小。[例5]如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（）A.A球的角速度等于B球的角速度B.A球的线速度大于B球的线速度C.A球的运动周期小于B球的运动周期D.A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力解析：倾斜角一样，所以向心力大小一样，显然半径大的线速度大，半径小的角速度大，所以选B。⑵圆锥摆模型：如图，而所以，说明圆锥摆的角速度和周期仅与锥高有关。⑶竖直圆周运动模型：①绳球模型：包括水流星、圆形轨道内侧最高点的最小速度满足mg=m

=

；（重力提供向心力）最低点的最小速度满足mg·2R=

m（）=

；最低点与最高点绳子的拉力差ΔF=6mg（可自行推导）[例6]“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端拴着小球在竖直平面内的圆周运动模型，已知绳长为L，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A.小球运动到最低点时，处于失重状态B.小球初速度ν越大，则在最高点和最低点绳子的拉力差越大C.当最低点速度ν>

时，小球一定能通过最高点D.当最低点速度ν<

时，细绳始终处于绷紧状态解析：只要小球处于下半圆，都是超重状态，因为存在向上方的加速度，A错误；如果小球可以做完整的圆周运动，按照二级结论，拉力差为定值6mg，B错误；按照二级结论，最低点的临界速度是，C正确；此时小球处于往复摆动状态，细绳绷紧，D正确。②杆球模型：轨道外侧、拱桥最高点的最小速度可以等于0最低点的最小速度满足mg·2R=

③光滑半圆槽模型：由静止滚下光滑半圆槽的小球，在底部的压力等于3mg，与半径无关（可自行推导）。[例7]如图，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，将摆球拉至水平位置后释放，摆球运动过程中支架始终不动，以下说法正确的（）A.在释放瞬间，支架对地面压力为（m+M）gB.在释放瞬间，支架对地面压力为MgC.摆球到达最低点时，支架对地面压力为（m+M）gD.摆球到达最低点时，支架对地面压力为（3m+M）g解析：释放瞬间，小球完全失重，对地面的压力为Mg，A错误，B正确；参照光滑半圆轨道模型的二级结论，半圆轨道底端压力3mg，C错误，D正确。[例1]如图所示，缠在线轴上的绳子的一头绕过墙上固定且光滑的钉子A，以竖直向下的恒定速度拉绳。当绳子与竖直方向成角α时，求线轴中心运动速度。已知线轴的外半径为R、内半径为r，线轴沿水平面做无滑动的滚动。解析：线轴在水平面上以C点为接触点滚动，当作用点B位于AC连线的上方时，线轴将向右做顺时针转动，设角速度为ω，则线轴的质心运动速度满足：绳上的B点围绕线轴中心转动，其相对轴心转动的线速度同时轴心也在以平动，所以B点对地的速度是两个速度的复合速度，且必定等于，即有解得注意当B点处于AC连线的下方时，的表达式依然成立，但当Rsinα=r时，表达式无意义。[例2]将一小球以=10m/s的初速度从楼顶平抛出去，如果小球做曲线运动的法向加速度为5，问小球这时下降的高度及所在处轨迹的曲率半径各为多少？解析：由小球的受力可知，小球此时的加速度为g=，法向加速度为5，易知法向加速度与竖直方向的夹角α=，如图α同时也是小球此时的速偏角，可得此时竖直方向的速度=·tanα=

m/s设此时下降的高度为h，则有=2gh，得h=15m，此时小球的速度==20m/s，曲率半径R==80m。[例3]以速度与水平方向成α角抛出一石块，石块沿某一轨道飞行，若蚊子以大小恒定的速度沿同一轨道飞行，问蚊子飞到最大高度一半处具有多大的加速度？解析：蚊子飞行的速率恒定，加速度只能是向心加速度，已知速度求加速度，必须知道曲率半径，所以实质上是求曲率半径。而蚊子的轨迹与石块的轨迹相同，自然曲率半径也是处处相同。求解石块轨迹在最大高度一半处的曲率半径，需要求得此时的瞬时速度和此时的向心加速度a。抛出点的水平速度：抛出点的竖直速度：目标点的水平速度​：目标点的竖直速度：（中位速公式）所以设此时速度与水平方向的夹角为θ，则tanθ=

tanα对加速度g进行分解，找出此时的法向加速度aa=g·cosθ求得此时的曲率半径R==所以可得蚊子此时的加速度a'=[例4]如图，一个半径为R的光滑半球固定在桌面上，圆球顶端放置一个可视为质点的质量为m的小球，现小球受到一微小扰动而沿圆球滑下，则小球在什么位置离开圆球？解析：小球脱离半球的临界条件是支持力为0，此时，重力的分量充当向心力，设此时小球的速度为，分离点所在的半径与竖直方向夹角为，如图则有联立解得[例5]甲、乙两名溜冰运动员，=80kg，=40kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动，两人相距0.9m，弹簧秤的示数为96N，不计摩擦力，下列判断中正确的是（）A.两人对弹簧的拉力都是49NB.两人的角速度相同，为2rad/sC.两人的运动半径相同，都是0.45mD.两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m解析：弹簧的示数等于拉力，都为96N，A错；两人的角速度相同，向心力相同，可推出运动半径与质量成反比，=0.3m，=0.6m，ω=2rad/s，B正确，C错误，D正确。[例6]竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平面上，半径r=0.4m，最低点处有一小球，现给小球一水平的初速度，要使小球不脱离圆轨道运动，应当满足什么条件？（g取10）解析：情形1.小球可做完整圆周运动，由二级结论有；情况2.小球只在下半圆运动，.[例7]如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上，若小滑块第一次由A滑到C，所用时间为，第二次由C滑到A，所用时间为，小滑块两次的初速度大小相同，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则（）A.B.C.D.无法比较解析：滑块经过A-B段和B-A段都存在向下的加速度，所以处于失重状态，且速度越快，向心加速度越大，失重越厉害，摩擦力越小，能量损耗小，显然滑块在A-B段的速度大于在B-A段的速度，同理，B-C段和C-B段都超重，且速度越大，超重越厉害，摩擦力越大，能量损耗大，而滑块在B-C段的速度小于在C-B段的速度，综合以上，A正确。[例8]如图，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球的速度大小为，与图像如图，则下列说法正确的是（）A.小球的质量为B.重力加速度大小为C.=c时，在最高点杆对小球弹力方向向上D.若=2b，则在最高点杆对小球弹力大小为2a解析：当=0时，应该有=mg，由图可得此时=a，所以有m=

，当=b时，由图可知=0，即有g=，所以g=，所以B错误，将g代入可得m=

，所以A正确；当=c时，由于c>b，此时向心加速度大于g，所以杆对小球的作用力向下，C错误；当=2b时，向心力加倍为2mg，杆的作用力是=mg=a，所以D错误。[例9]如图所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块，电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动，重力加速度为g，求：⑴当ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力；⑵电机对地面的最大压力和最小压力之差为多少；⑶若电机的质量为M，则ω多大时，电机可以跳起来，此情况下对地面的最大压力是多少？解析：⑴重力完全充当向心力时，有mg=mr

=

；⑵铁块在最低点时，设电机对铁块的作用力为，则有=mr+mg，方向竖直向上，由牛顿第三定律可知，此时铁块对电机的作用力大小也为，方向竖直向下，所以电机对地面的压力为最大值=Mg+mg+mr铁块在最高点时，设电机对铁块的作用力为，假如向上，则有=mg-mr，铁块对电机的作用力则竖直向下,此时电机对地面的压力为最小值=Mg+mg-mr压力差∆N=

=2mr；假如在最高点时向下，易知结果依然不变。⑶显然，在最高点才有可能跳起来，此时临界值为=0，mr=mg+Mg解得ω=由第⑵问，可得=2mr=2（m+M）g。[例10]一半径为R的半圆柱体沿水平方向做加速度为的匀加速运动，在圆柱面上搁置一竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示，当半圆柱体的速度为时，杆与半圆柱体接触点P