专题18导数大题专练（非压轴）

专题18导数大题专练（非压轴）导语：导数大题历来是高考三大难点之一，也是去年的压轴题，令众多考生“谈导色变”。而今年新高考1卷的导数大题破天荒的放在了第三个位置，并且所考查的函数结构很常见，第一问所需讨论很单一，第二问的证明，用到的构造函数及思路也很常规。这道高考导数大题的改变，遏制住了之前为了做导数要学大量高等数学和二级结论的不良风气，也让水平一般的小朋友有学导数的动力了，不再是只有尖子生才能碰的东西！你永远猜不到命题人会如何出题，你的依据永远是上年的高考卷，在讲导数的时候，生怕同学们不认真听，生怕同学们一直都在放弃导数大题，我们都反复强调导数大题不一定放最后一题，不要天然放弃它，而且以前考地方卷的时候，很多地方导数并不是压轴大题目录TOC\o"13"\h\z\u高考真题回顾·2023年新高考1卷T19 4题型一分类讨论含参函数的单调区间 52024届·河南顶级名校联盟10月月考·T18 52024届·佛山市一中学10月月考·T18 62024届·河北保定市10月摸底检测·T20 72024届·长沙市南雅中学高三开学考·T20 8题型二不等式证明 102024届·佛山市顺德区教学质量检测（一）·T18 102024届·河南省六市联考·T19 112024届·深圳市宝安区10月调研·T19 132024届·广州越秀区月考·T19 132024届·宁波一模·T20 142023届·山东省烟台市二模·T20 152024届·苏州市高三上期中·T20 162024届·长沙市一中学月考(二)·T20 162024届·长沙市长郡中学月考(一)·T20 182024届·广州市天河区毕业班综合测试（一）·T20 19题型三求参数范围 192024届·广东省江门市10月调研·T18 192024届·山东省德州市适应性联考（一）·T19 212024届·深圳市红岭中学第二次统考·T19 222024届·广州市花都区10月调研·T19 232024届·湖南省郴州市一模·T20 23题型四双变量问题 252024届·重庆南开中学第一次质量检测·T19 252024届·湖北宜荆荆随10月联考·T19 262024届·常州市高三上期中·T19 272024届·苏州市常熟中学阶段性抽测（一）·T20 272024届·江苏徐州联考·T20 282024届·广东省七校第一次联考·T19 292024届·河南湘豫名校联考（二）·T20 30题型五能成立问题 312024届·山西省吕梁市11月测试·T19 312024届·福州格致中学10月质检·T19 312024届·浙江省金华一中学10月月考·T20 322024届·海南省海南中学第2次检测 33高考真题回顾·2023年新高考1卷T19已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.重点题型·归类精重点题型·归类精练题型一分类讨论含参函数的单调区间2024届·河南顶级名校联盟10月月考·T18已知函数，讨论函数单调性.【详解】，时，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增.当时，当或时，在和上单调递增；当时，在上为减函数.当时，上，在上为增函数.当时，当或时，在和为增函数；当时，在上为减函数.综上，时，在上单调递减，在上单调递增；时，在和上单调递增，在上为减函数；时，在上为增函数；时，在和为增函数，在上为减函数.2024届·佛山市一中学10月月考·T18给定函数．(1)判断函数的单调性，并求出的极值；(2)求出方程的解的个数．【答案】(1)函数在单调递增，在单调递减，的极小值为：，无极大值.(2)当时，方程无解；当或时，方程有个解；当时，方程有个解.【详解】（1）因为，所以，令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，函数在单调递减，所以为函数的极小值点，所以的极小值为：，无极大值.综上所述：函数在单调递增，在单调递减，的极小值为：，无极大值.（2）易知当时，，当时，，当时，，再根据（1）中函数的单调性和极值可以大致作出函数图像如下所示：由（1）知，的极小值即为函数最小值，方程的解的个数等价于函数的图像与直线交点的个数，由下图可知：当时，函数的图像与直线没有交点，故方程无解；当时，函数的图像与直线有个交点，故方程有个解；当或时，函数的图像与直线有个交点，故方程有个解；综上所述：当时，方程无解；当或时，方程有个解；当时，方程有个解.2024届·河北保定市10月摸底检测·T20已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性．【详解】（1）函数的定义域为，当时，，则，则，所以曲线在处的切线方程为，即；（2），当时，因为，所以，所以函数在上单调递增，当时，令，则，当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.2024届·长沙市南雅中学高三开学考·T20已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为．解不等式．【分析】（1）对函数求导，然后对参数分类讨论，注意讨论正负以及与的关系。然后根据导数判断函数的单调性；（2）由（1）知，的范围是且，，题目转化为求解，构造函数，然后结合函数的单调性以及特殊值，从而解得不等式的解集；【详解】（1）定义域：，1°时，令，解得；令，解得；所以在上单调递增，在上单调递减；2°时当时，即时，令，解得或；令，解得；所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增；当时，即时，恒成立，所以在上单调递增；当时，即时，令，解得或；令，解得；所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增．综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增．（2）由（1）知：且，且即：解不等式；（且）等价于解不等式：令，，所以在单调递增，且，所以，即不等式的解集为．题型二不等式证明2024届·佛山市顺德区教学质量检测（一）·T18已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【详解】（1）对函数求导可得．当时，恒成立，可得函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，可得，可得函数的单调递减区间为；令，可得，可得函数的单调递增区间为；综上所述：时，的单调递增区间为，无单调递减区间；时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）法一：当时，恒成立等价于，令，则，令，可得，即有在上单调递减；令，可得，即有在上单调递增．从而可得函数的最小值为，综上即可得的取值范围是．法二：由（1）知，当时，函数在上单调递增，所以满足题意；当时，，所以函数的在上单调递增，所以满足题意；当时，，函数的在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，即，解得：，综上，实数的取值范围是．2024届·河南省六市联考·T19设函数，．(1)讨论的单调性；(2)当时，记的最小值为，证明：．【分析】（1）由题意可得的定义域为,求出的导函数,通过判断导函数的符号即可判断的单调性；（2）先结合（1）得到，解法一：先求导，，再根据导数的性质求得，进而即可证明；解法二：根据题意可得要证，即证，从而构造函数，求导，再根据导数的性质求得，进而即可证明．【详解】（1）依题意可得的定义域为，由，则，当时，，则在上单调递增；当时，若，，此时单调递减；若，，此时单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知，，即．解法一：则，则，所以单调递减，又，，所以存在，使得，则当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；所以，又，即，即，所以，显然在上单调递增，又，所以，即．解法二：要证，即证，即证，即证，令，则，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；所以，所以，即．2024届·江苏省苏州市高三上期中·T20已知函数满足．(1)求的单调区间；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间;(2)【详解】（1）因为，所以，

令，则，当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以，即恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间．（2）由题意在区间上恒成立，即恒成立，即在区间上恒成立，令，，只需，因为，令，，有，所以函数在上单调递减，所以，即，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，所以实数的取值范围为．2024届·深圳市宝安区10月调研·T19已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.【分析】（1）求导，根据的符号分类讨论研究函数的单调性；（2）原不等式等价于，等价于证明，构造函数，求导研究函数单调性，求解最大值即可证明.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以的单调减区间是，当时，.令得，令得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）由（1）可得，当时，取得极大值，也是最大值，所以.设，则，令得，令得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是，所以，即.因为，所以，所以，所以，所以命题得证.2024届·广州越秀区月考·T19已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.【详解】（1）由且，当，即，则，此时在上递减；当，即，则上，上，此时在上递增，上递减；综上，时在上递减；时在上递增，在上递减；（2）由（1）知：时，要证，即证，只需证在上恒成立，令且，则，当时，递减；当时，递增；所以，即在上恒成立，故时，得证.2024届·宁波一模·T20已知函数（e为自然对数的底数，）.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，【分析】（1）分类讨论，分别判断的符号，得出函数的单调区间；（2）利用函数最值转化为求证，构造函数利用导数求最值即可得解.【详解】（1），当时，，在上单调递减；当时，由可得，故时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，，只需证，即证，设，则，故时，，时，，所以在上递减，在上递增，所以，又，故，即成立，所以原不等式成立.2023届·山东省烟台市二模·T20已知函数．(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：，．【答案】(1)；(2)证明见解析【详解】（1）解：由函数，可得，因为在上单调递增，可得在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极大值，即为最大值，所以，即实数a的取值范围为.（2）解：当时，，可得当时，可得，要使得，只需使得，令，可得，所以单调递增，又由，所以，所以单调递增，所以；当时，可得且，所以，满足；当时，可得，因为且，所以，所以，综上可得，对于，都有.2024届·苏州市高三上期中·T20已知函数满足．(1)求的单调区间；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间；(2)【详解】（1）因为，所以，

令，则，当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以，即恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间．（2）由题意在区间上恒成立，即恒成立，即在区间上恒成立，令，，只需，因为，令，，有，所以函数在上单调递减，所以，即，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，所以实数的取值范围为．2024届·长沙市一中学月考(二)·T20已知函数.（1）若在上是减函数，求实数的最大值；（2）若，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据函数单调性可将问题转化为在上恒成立问题，通过分离变量的方式将问题转化为，利用导数求得的最大值，进而得到结果；（2）将问题转化为的证明；利用单调递增和零点存在定理可确定存在，使得，从而得到；根据导函数正负可确定单调性，进而得到，化简后，结合基本不等式可证得结论.【详解】由函数解析式可知，定义域为.（1），在上是减函数，在上恒成立，即恒成立令，则，在上单调递增，，，解得：，的最大值为.（2）由（1）知：，则，在上单调递增.，当时，，，此时，由零点存在定理可知，存在，使得，即，.当时，；当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，（当且仅当，即时取等号）.当时，.2024届·长沙市长郡中学月考(一)·T20已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【分析】（1）求出函数导数，分类讨论求出函数单调区间；（2）先证明引理：，恒有且，构造函数，，利用导数求证即可，再由引理原命题得证.【详解】（1）因为，定义域为，所以．当时，由于，所以恒成立，此时在上单调递减；当时，，令，得，则当时，，有在上单调递增；当时，，有在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）我们先证明引理：，恒有且．引理的证明：设，．故只需证明，恒有，．由于，知当时，；当时，；则在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，恒有．由于，知当，均有，所以恒有，故在上单调递增，则．所以，恒有．综上，引理得证．回到原题：由（1）得，故只需证明：对，恒有，即．由引理得．命题得证．2024届·广州市天河区毕业班综合测试（一）·T20已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若函数有最小值，证明：．【详解】（1）当时，，其定义域为，则，由于，故令，解得，令，解得，故在上单调递减，在单调递增；（2）由于，故，当时，，在上单调递增，无最小值；当时，令，解得，即在上单调递减，令，解得，即在上单调递增，故在是取极小值也是最小值，即，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，即，所以，即.题型三求参数范围2024届·广东省江门市10月调研·T18已知函数.(1)求的极值：(2)若有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)极小值为，无极大值；(2)【详解】（1）函数的定义域为，令，解得，当时，则，当时，则，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以当时，有极小值，无极大值.（2）因为函数有两个零点，所以直线与函数有两个交点，，令，解得，当时，则，当时，则，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.因为，，当时，，当时，当时，，当时，，，所以函数的大致图象如图所示，结合图象可知，当时，有两个零点，故a的取值范围为.2024届·山东省德州市适应性联考（一）·T19已知函数．(1)求的极值；(2)若在区间有2个零点，求的取值范围．【答案】(1)当时，在处取极大值；(2)【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则恒成立，所以在上单调递增，无极值，当时，令，解得，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减：所以当时，在处取极大值，无极小值；（2），令，得，令，在区间有2个零点，即与在区间有2个交点，，，，当，，在上单增，当，，在上单减，，的最大值为，，与在区间有2个交点，则．2024届·深圳市红岭中学第二次统考·T19若函数在处有极小值．(1)求c的值；(2)函数恰有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)3；(2)【详解】（1）因为，所以，又因为函数在处有极小值，所以，解得或，当时，，则时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，可得函数在处取得极小值；当时，，则时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，可得函数在处取得极大值，不合题意，舍去．所以c的值为3.（2），函数定义域为R，，当时，恒成立，在R上单调递增，时，有一个零点1；时，，，恰有一个零点.当时，解得或，解得，在和上单调递增，在上单调递减，时，有极大值，时，有极小值，恰有一个零点，或解得，综上可知，函数恰有一个零点，实数a的取值范围为.2024届·广州市花都区10月调研·T19已知函数，e为自然对数的底数.(1)证明：；(2)若恒成立，求实数b的取值范围.【详解】（1）由题可知，当时，，，故恒成立，所以函数在上为增函数，则当时，，得证；（2）在上恒成立，即在上恒成立，设，则，，由（1）得，（ⅰ）当时，，此时在上单调递增，故，符合题意；（ⅱ）当时，由（1）知，在上为增函数，则必存在，使得，且当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，不符合题意，综上，实数b的取值范围为.2024届·湖南省郴州市一模·T20已知函数.(1)若曲线在处切线与轴平行，求；(2)若在处取得极大值，求的取值范围.【答案】(1)1；(2)【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义即可得解；（2）分类讨论的取值情况，利用导数分析的单调情况，从而得到其极值情况，由此得解.【详解】（1）因为，所以，因为曲线在处切线与轴平行，所以，解得，又，所以.（2）的定义域为，，①当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值，满足题意；②当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值，满足题意；③当时，（i）当时，所以在上单调递增，无极值，不满足题意；（ii）当时，，令，得，令，得或.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.在处取得极小值，不满足题意；（iii）当时，，令，得，令，得或.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.在处取得极大值，满足题意；综上所述，的取值范围为.题型四双变量问题2024届·重庆南开中学第一次质量检测·T19已知函数在处的切线和直线垂直.(1)求实数的值；(2)若对任意的，，都有成立（其中为自然对数的底数），求实数m的取值范围.【答案】(1);(2)【详解】（1）解：由函数，可得，可得因为函数在处的切线l和直线垂直，所以，即，解得.（2）解：不妨设，则，因为对任意的，，都有成立，可得，即，设，则，故在单调递增，从而有，即在上恒成立，设，则，因为，令，即，解得，令，即，解得，所以在单调递减，在单调递增，又因为，故在上最小值，所以，实数的取值范围是.2024届·湖北宜荆荆随10月联考·T19已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1），①当时，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增；②当时，令，得，由，即在上单调递增，由，即在上单调递减，综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）时，，，令，由，在上单调递增，由，即在上单调递减，，，对成立，只要，即对恒成立，，对恒成立，令，则，且在上单调递增，上单调递减，，，.2024届·常州市高三上期中·T19已知函数．(1)讨论的单调性；(2)对于，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【详解】（1）由题设且，当时在上递减；当时，令，当时在区间上递减；当时在上递增．所以当时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间为，减区间为.（2）由题设知对恒成立．当时，此时，不合题设，舍去．当时，在上递增，只需符合．综上：．2024届·苏州市常熟中学阶段性抽测（一）·T20已知函数，，其中是自然对数的底数．(1)求函数的极值；(2)对，总存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，则令，得或，列表如下：x单调递减极小值单调递增极大值单调递减，.（2）解：由题意可得，由（1）可知在单调递减，∴，∴在有解，，令，，令，单调递增极大值单调递减所以，.2024届·江苏徐州联考·T20设为实数，函数，．(1)求的极值；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．【答案】(1)极小值为，无极大值.;(2)【详解】（1），当时，；当时，；即函数在上单调递减，在上单调递增；函数的极小值为，无极大值.（2）由（1）可知，函数在上单调递增，则.，，当时，；当时，；即函数在上单调递减，在上单调递增；因为，所以，.即.因为，，都有，所以的值域是的值域的子集.即，解得.即实数的取值范围为.2024届·广东省七校第一次联考·T19设为实数，函数，．(1)求的极值；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．【答案】(1)极大值为，极小值为；(2)【详解】（1）解：函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增故函数的极大值为，极小值为.（2）解：对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.2024届·河南湘豫名校联考（二）·T20已知函数，，.(1)讨论函数的单调性；(2)若，，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)【详解】（1）的定义域为，因为，所以.由可得，，①当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；②当时，，在上恒成立，所以在上单调递减；③当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.综上所述：