2022届四川资阳高考数学三模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f（x）=ax?+bx是定义在［a-1,2a］上的偶函数，那么a+b的值是

11

A.—B.—

33

11

C.——D.-

22

22

2.已知双曲线0-多=1（4>0力>0）的离心率为e,抛物线y2=2pMp>0）的焦点坐标为（1,0）,若e=〃，则双曲

ab~

线C的渐近线方程为（）

A.y=±\/3xB.y-±2y/2x

C・y=±——xD・y=±-----x

22

4

3.已知命题〃："机=1”是"直线工一〃2y=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件；命题外函数/（幻二1+一的

x

最小值为4.给出下列命题：①…;②〃V"；③〃八（F7）；④（「〃）A（［4）,其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

（兀、「乃）

4.已知函数/（x）=2cos的一§3>0）在一§，5上单调递增，则①的取值范围（）

A.—,2B.^0,—C.［］1］D.（0,2］

5.已知函数/（刈=/一℃-1,以下结论正确的个数为（）

①当a=0时，函数/（X）的图象的对称中心为（0,-1）；

②当a23时，函数/（x）在上为单调递减函数；

③若函数/（x）在（一1,1）上不单调，则0<”3；

④当a=12时，f（幻在［4,5］上的最大值为1.

B.2C.3D.4

7

6.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且A=60。，b=3,AD为BC边上的中线，若AD=一,

2

则AABC的面积为（）

•25月„15A/3015n356

A.-------B.--------C.—D.---------

4444

7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）

正（主做R1障左）觇图

8

C.8+20D.8+4及

3

已知集合人={|言<o}，8={-1,0,1},则AflB等于

8.()

A.{x|-l<x<l}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{0,1}

9.已知向量坂夹角为30。，4=（1,0），忖=2,贝142"-q=（）

A.2B.4C.273D.2不

10.已知纯虚数z满足（l-2i）z=2+ai,其中i为虚数单位，则实数”等于（）

A.-1B.1C.-2D.2

11.设集合A={2=2'-1,xWR},B={x\-2Sr<3,xGZ},贝！|（）

A.（-1,3]B.[-1,3]C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

12.两圆（x+a）-+V=4和/+0一。）2=1相外切，且a。0。，则若庐的最大值为（）

91

A.-B.9C.-D.1

43

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线/是圆G：（x+l>+y2=l与圆G：。+4）2+尸=4的公切线，并且/分别与x轴正半轴，）'轴正半轴相交

于A,B两点，则AAO3的面积为

14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是.

/

h—i—H

健视图

15.已知c分别为AAgC内角A,3,C的对边，a=7^,sinA=Y^"=〃，则△A6C1的面积为.

3

1

16.已知数列｛”“｝的前〃项和为S”向量2=(4,-〃)，方=(S,„〃+3).若万_15，则数列｛——｝前2020项和为

叫

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会沟通的一个平台.校

团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：

愿意不愿意

男生6020

女士4040

(1)根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；

(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人.若从这10人中

随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X,写出X的分布列，并求E(X).

n(ad-bc)2

其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2"o)0.050.010.001

3.8416.63510.828

18.(12分)设函数/(x)=—x+l+|x—1|(XGR)的最小值为

(1)求加的值;

111GCl

(2)若b9c为正实数，且----1-------H--------——,证明：—I------1—21.

ma2mb3mc3993

,八、「匕、lnx+ax+1

19.(12分)已知函数f(x)=-----------------

x

(1)若对任意x〉0,/(x)<0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若函数/(*)有两个不同的零点xi,X2(xi<x2),证明：工+工->2.

x2Xj

x=2-t

20.(12分)已知在平面直角坐标系宜万中，直线C,的参数方程为。为参数)，以坐标原点为极点，工轴

的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=cos。(夕cos。+2).

(1)求曲线G与直线G的直角坐标方程；

⑵若曲线G与直线C?交于A8两点，求的值.

21.(12分)已知AABC的面积为无，且福•芯=—1.

2

(1)求角A的大小及BC长的最小值；

(2)设M为8c的中点，且NBAC的平分线交8c于点N,求线段M/V的长.

2

22.(10分)已知a>0,b>0,a+b=2.

(I)求,+丁工的最小值；

ab+1

jo

(II)证明：

baah

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称，a-1=-2a,即可得解.

【详解】

根据偶函数的定义域关于原点对称，且f(x)是定义在［a-L2a］上的偶函数，

得a-l=-2a,解得a=—,又f(-x)=f(x),

3

b=0,a+b=—.故选B.

3

【点睛】

本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-x)=f(x)；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定

义域区间两个端点互为相反数.

2.A

【解析】

求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解“，6关系，即可得到双曲线的渐近线方程.

【详解】

抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=2,

又e=p,所以e=£=2,可得,2=4必=42+力2,可得：b=yfja,所以双曲线的渐近线方程为：y=±^x.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用.

3.A

【解析】

先由两直线垂直的条件判断出命题P的真假，由基本不等式判断命题g的真假，从而得出p,g的非命题的真假，继而

判断复合命题的真假，可得出选项.

【详解】

已知对于命题，，由1x1—根2=0得加=±],所以命题P为假命题；

4

关于命题4,函数/(幻=尤+—，

x

4I~44

当x〉0时，f(x)=x+->2.x--=4,当％=—即x=2时，取等号，

X、XX

4

当x<0时，函数/(x)=x+—没有最小值，

X

所以命题夕为假命题.

所以和/是真命题，

A

所以2q为假命题，为假命题，pArg为假命题，》A飞为真命题，所以真命题的个数为1个.

故选：A.

【点睛】

本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的

条件，属于基础题.

4.B

【解析】

JIJiTTTTTTTTTT

由一一WXW—,可得一—0)一一<cox一一<-co——，结合y=COSX在［一兀,0］上单调递增，易得

3233323

兀7C71兀

一3°-0一3"［一兀，°］，即可求出”的范围.

【详解】

,兀//兀一3兀兀/兀,兀兀

由——<X<一,可得——CD——<CDX——<—CD——

3233323

，兀、「兀兀

工=0时J(0)=2cos-可，而。£*，

TT

又y=cosx在［一无,0］上单调递增，且一一e［一兀,0］,

3

7171

---CD---->—71

33a)<2

71717171兀兀22

所以—co—,—Ct)—c[-n,0]，则<—co——<0，即啰4],故

3223

口〉069>0

故选:B.

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.

5.C

【解析】

逐一分析选项，①根据函数y=丁的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件,

则极值点必在区间(T，I)；④利用导数求函数在给定区间的最值.

【详解】

①y=/为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数/(x)的图象的对称中心为(0,-1),正确.

②由题意知/'(x)=3/-即因为当—1<X<1时，3/<3，

又a23,所以尸(幻<0在(-1,1)上恒成立，所以函数f(x)在(-1/)上为单调递减函数，正确.

③由题意知/'(x)=3x2—a,当。4()时，/z(x)>0,此时f(x)在(-8,+8)上为增函数，不合题意，故a>0.

令/''(x)=0,解得x=±叵.因为f(x)在(一1,1)上不单调，所以/'(x)=0在(-U)上有解，

3

需0〈且<1，解得0<a<3,正确.

3

④令广(外=3/—12=0,得％=±2.根据函数的单调性，/(x)在［Y,5］上的最大值只可能为了(—2)或/(5).

因为/(-2)=15,/(5)=64,所以最大值为64,结论错误.

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.

6.B

【解析】

延长AO到E,使AD=DE,连接则四边形ABEC为平行四边形，根据余弦定理可求出AB=5,进而可

得AAZ?。的面积.

【详解】

解：延长AO到£,使AD=DE,连接BE,CE,则四边形ABEC为平行四边形，

则3E=AC=3,ZABE=180-60=120°,A£=2AD=7,

在AABE中，AE2=AB2+BE2-2AB-BEcosZABE

贝！I72=AB2+32-2XABX3XCOS120。，得AB=5,

O_1g•0。1-G_15G

=

SADZ-—AB,AC,sin60=-x5x3x—=----«

“ABC2224

故选：B.

A

JC

【点睛】

本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.

7.D

【解析】

根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积.

【详解】

由三视图知几何体是四棱锥，如图，

且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2,

所以S=2x2+2x—x2x2+2x—x2x2\/2=8+,

22

故选：D

【点睛】

本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题.

8.C

【解析】

先化简集合A,再与集合5求交集.

【详解】

因为A==B={-1,0,1},

所以Ac3={-l,0}.

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.

9.A

【解析】

根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.

【详解】

由于2a-b==J4a—4ab+b={4x3—4x+x2x+4=2,

故选：A.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.

10.B

【解析】

先根据复数的除法表示出z,然后根据二是纯虚数求解出对应的«的值即可.

【详解】

2+ai_(2+5)(1+2。_2-2«+(4+a)z

因为(l-2i)z=2+ai,所以z=

l-2z(l-2z)(l+2z)5

又因为z是纯虚数，所以2-2a=0,所以。=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z=a+〃i为纯虚数，则有“=02工0.

11.C

【解析】

先求集合A,再用列举法表示出集合8,再根据交集的定义求解即可.

【详解】

解:•.•集合A=U|y=2*-1,xe/?!={j|y>-1},

B={x|-2£r<3,xGZ}={-2,-1,0,1,2,3},

.•.ari8={o,i,2,3},

故选：c.

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.

12.A

【解析】

由两圆相外切，得出/+〃=9,结合二次函数的性质，即可得出答案.

【详解】

因为两圆（x+a[+y2=4和V+Q—=1相外切

所以=3,即片+/=9

(29丫81

a泞〃(9-叫

a2+b2~9—9

,9a2b2加息一话811_9

当。2=一时,—取最大值—X-=—

2a2+b2494

故选：A

【点睛】

本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

iq也

lo•---

2

【解析】

根据题意画出图形，设。4=",。3=人，利用三角形相似求得。力的值，代入三角形的面积公式，即可求解.

【详解】

如图所示，设OA=a,OB=b,

由AABC,与AADC,相似，可得"L=L,解得。=2,

a+42

再由A4OB与A4EG相似，可得2=史包,解得/,=也，

132

由三角形的面积公式，可得MOB的面积为S=-ab=-x2x—=—.

2222

故答案为：叵.

2

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能

力，属于基础题.

14.6兀

【解析】

先由三视图在长方体中将其还原成直观图，再利用球的直径是长方体体对角线即可解决.

【详解】

由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示

长方体对角线长为J2?+f+12=娓,所以三棱锥外接球半径，•为半，故所求外接球的

表面积S=4万/=6兀.

故答案为：6兀.

【点睛】

本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积，考查学生空间想象能力以及基本计算能力，是一道基础题.

15.72

【解析】

根据题意，利用余弦定理求得c=2,再运用三角形的面积公式即可求得结果.

【详解】

解：由于Q=sinA=—,b=瓜,

3

,:a<b,A<B>cosA=,

3

由余弦定理得X5=,解得。=2,

32hc

]A

•*•^ABC的面积S=—x2xy/6x—=>/2.

23

故答案为：0.

【点睛】

本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.

4040

16.----

2021

【解析】

〃（〃+3）

由已知可得万=4S,-〃（，i+3）=0,可得S“=—..—,"=1时，QI=SI=1.当"N2时，a,,=S"-S,-i.可得:

4

1211

一「二=2（-——-）.利用裂项求和方法即可得出.

呵〃（〃+1）nn+\

【详解】

a-Lh,••a*b=4S„-n（n+3）=0,

〃（"+3）Q

,,.S=------>〃=1时，ai=Si=l.

n4

当心时，a"=S,』『^L（〃T）（〃+2）=3.

442

…〃+1

〃=1,满足上式，a----・

2

1_2_I1

/.-----=1----77=2（-------）.

%+nn+\

1

.,.数列｛—｝前2020项和为

叫

,1111114040

2(1——+———+T----------)----=--2----(1-----)------

2232020202120212021

4040

故答案为:

2021

【点睛】

本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；(2)详见解析.

【解析】

(1)计算得到攵＞6.635,由此可得结论;

(2)根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X的所有可能取值所对应的概率，由此

得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.

【详解】

(1)...•.・片的观测值左=竺艺画竺二竺闻=

10.667>6.635-

80x80x100x603

,有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关.

32

(2)根据分层抽样方法得：男生有10xy=6人，女生有10xg=4人,

选取的10人中，男生有6人，女生有4人.

则X的可能取值有0,1,2,3,

・小=。)=等稳小尸"=】)=等喂专

WX—2、—C：C：_36_3“X—3)-穹玛一4-1

尸(X-2)一菖一百一方「(X—9-讨-商-方

X的分布列为:

X0123

j_]_31

P

621030

.•.£(%)=0x1+lxl+2x—+3x-=-

''6210305

【点睛】

本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分

布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.

3

18.(1)m=—(2)证明见解析

2

【解析】

(1)分类讨论，去绝对值求出函数/(X)的解析式，根据一次函数的性质，得出f(x)的单调性，得出/(幻取最小值,

即可求，"的值;

(2)由(1)得出工+」-+-!-=1,利用“乘1法”，^^+2^+3c=(«+2/?+3c)|-+化简后利用基本

a2b3c(a2b3cJ

不等式求出a+2〃+3c。9的最小值，即可证出q+吆+$21.

993

【详解】

一彳1,x《-2,

(1)解：/(x)=gx+1+|x—l|=<1CCI

—x+2,-2<尤<1,

2

—x,x>1,

2

当XG(-8/)时，/(X)单调递减；当Xe[l,+8)时，/(X)单调递增.

3

所以当X=1时，f(x)取最小值/〃=一.

2

(2)证明：由(1)可知，+」-+-5-=i.

a2b3c

w口a2bc,a2b3ca+2h+3c

要证明：一+—+->1,即证一+—+—=----------

9939999

因为a,b,c为正实数，

所以a+2b+3c=(a+2b+3c)|—i---1---|

\a2b3cJ

3

当且仅当a=»=3c,即a=3,b=-,c=l时取等号，

2

a2bc,

所以—I---1—21.

993

【点睛】

本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.

19.(1)«<-1；(2)证明见解析.

【解析】

（1）求出,r（x）,判断函数“X）的单调性，求出函数/（X）的最大值，即求。的范围；

（2）由⑴可知，玉«0,1）,工2€（1，+°°）.对巧分W€（1,2）和/w[2,+co）两种情况讨论，构造函数，利用放缩法

和基本不等式证明结论.

【详解】

/、〜\lnx+ox+1Inx13\Inx

（1）由〃x）=-----；----=一+—+。，得/（%）=.

XXXX

令/'（X）=。，,x=1.

当0<x<l时，f（x）>0；当x>l时，f（x）<0；

.•J（x）在（0,1）上单调递增，在（1,讨）上单调递减，

：J（x）a=Ml）=a+L

对任意x>0,/（x）<0恒成立，,a+1<0,.,.a<-\.

（2）证明：由（1）可知，/（x）在（0,1）上单调递增，在（1,物）上单调递减，

：.x1e（0,l）,%2G（1,+OO）.

若与e（l,2）,则2-%«0,1）,

令g(x)=〃x)_/(2_x)=^+」_ln：x)一^^,0<x<]

1XXr/"/

■,xInxln(2-x)Inxln(2-x)In-(x-1)'+1

-------->

g=-21>0

(2-4---炉Xx2

；.g（x）在（0,1）上单调递增，，g（x）<g⑴=0,."（力<〃2-月,

."(2-玉)>>/■(%)="%)•

•.•王e(O,l),:.2-玉>1,又马>1,“X)在(1,y)上单调递减,

/.2-X,<x2,.\x}+x2>2.

若/e[2,+oo),贝!)xt+x2>2显然成立.

综上，xt+X2>2.

Ex%=2々

X^-+X2>2.

—xx2=2x},+x]>2

X2x2xlx\

以上两式左右两端分别相加，得

222„2

差一+%>2(X1+x),即5-+差一,

---F々+2

X2%x2X,

22

所以W2.

Z玉

【点睛】

本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题.

20.(1)曲线G的直角坐标方程为丁=2x；直线G的直角坐标方程为x+y-4=0(2)6&

【解析】

x=0cos6

(1)由公式,八可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方程为普通方程；

y=psin夕

(2)联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离.

【详解】

解：(1),.•/?cos0(pcos+2)

p=/7COS2。+2cOS。

p1=p1cos?e+2pcos6

x2+y2=x2+2x

・••曲线G的直角坐标方程为＞2=2x

直线c2的直角坐标方程为x+y-4=0

y=-x+4-x=2(x=8

(2)据<解,得或<

y2=