2024年1月上海市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（解析版）

2024年1月上海市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03（考试时间：90分钟；满分：100分）一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共36分1．已知复数，则z的虚部为【答案】/-0.5【分析】由已知运用复数的四则运算化简，根据虚部的定义，即可求解.【详解】，故虚部为.故答案为：2．已知集合，，则【答案】/////【分析】求出集合，计算即可.【详解】由得，解得，所以，又，所以，故答案为：3．函数的最大值为【答案】/1.5【分析】先将原式化简，得到，进而可得其最大值．【详解】因为，，所以，当且仅当时，取得最大值．故答案为：．4．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共名学生中，采用分层抽更多免费优质滋元可家威杏MXSJ663样的方法抽取人进行调查．已知高一年级共有名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为【答案】【分析】利用分层抽样各层比例相同列出方程，从而得解.【详解】根据题意，设应抽取高一年级学生的人数为，则，解得，所以应抽取高一年级学生的人数为.故答案为：.5．函数的定义域是【答案】【分析】根据对数函数，真数大于零，即可求得答案．【详解】由题意得真数大于零，则．故答案为：6．一元二次不等式的解集为【答案】或【分析】先分解因式，然后求解即可.【详解】由，得，解得或，所以不等式的解集为或；故答案为：或7．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为【答案】/【分析】利用古典概型概率的求法求解即可.【详解】因为一共有10个球，所以从中任取一球的基本事件有10个，又因为有6个白球，所以取到白球的基本事件有6个，所以取到白球的概率为.故答案为：8．已知向量，．若，则.【答案】0【分析】根据平面向量坐标运算的线性运算求得，再根据向量平行的坐标关系，即可得的值.【详解】解：向量，，所以，若，则，解得.故答案为：0.9．一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为（cm2）【答案】/【分析】利用扇形弧长公式与面积公式即可得解.【详解】因为，，所以该扇形的弧长为（cm），故该扇形的面积（cm2）．故答案为：.10．x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是.【答案】【分析】求出的最小值，只需m大于最小值即可满足题意.【详解】利用三角不等式，有，当时等号成立因为有解，只需即可,所以实数m的取值范围是.故答案为：11．如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形.若，则该直三棱柱的体积为.【答案】24【分析】根据直三棱柱的体积公式直接求解即可.【详解】因为在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，则为直角，故可得：，故答案为：2412．已知，那么的值是.【答案】/【分析】直接通过诱导公式进行化简求值即可【详解】，.故答案为：二、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；13．幂函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.【详解】幂函数定义域为，且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，又当时单调递减，则在上单调递增，故符合题意的只有C.故选：C14．对任意，，，下列结论不成立的是（）A．当m，时，有B．当，时，若，则且C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且D．的必要不充分条件是【答案】B【分析】选项A运用复数乘法运算律即可得，选项B举反例即可说明；选项C共轭复数的模，利用必要不充分条件判断选项D即可.【详解】由复数乘法的运算律知，A正确；取，；，满足，但且，B错误；令则，C正确；由能推出，但推不出，例如,，但是因此的必要不充分条件是，D正确.故选：B.15．若不等式，对于均成立，那么实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由绝对值的几何意义知的最小值为5，或直接由三角不等式求出最小值，再结合题意可得实数a的取值范围.【详解】解：方法一：由绝对值的几何意义知表示的是x与数轴上的点及两点距离之和，A、B两点的距离为5，线段AB上任一点到A、B两点距离之和也是5，数轴上其它点到A、B两点距离之和都大于5，，要使，需，故选：A.方法二：由三角不等式，，要使，需，故选：A.16．已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（

）A．－10 B．10 C．5 D．－5【答案】A【分析】构造新函数，证明它是奇函数，然后利用奇函数的性质求值．【详解】设，则∴，是奇函数，因此，又，，∴，．故选：A．17．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用线线平行，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，在三角形中求解即可.【详解】如图，连接，，则,

，分别是，的中点，，是异面直线与所成的角，且是等边三角形，.故选：.18．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（

）A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.4【答案】D【分析】由题意可知一次射击中不够8环与射中10环或9环或8环是对立事件，利用对立事件的概率公式求解即可【详解】因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.所以在一次射击中不够8环的概率为，故选：D19．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解一元二次不等式求解集，再根据充分、必要性定义判断关系.【详解】由，可得，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A20．复数（数单位）在复平面上所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算先化简，进而由几何意义即可求解.【详解】复数​.在复平面上所对应的点为，故位于第四象限.故选：D​21．在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，则下形命题中真命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据空间中线面，面面位置关系逐项判断，即可求出结果.【详解】若，则或与相交或与是异面直线，故A错误；若，则，故B正确；若，则或与相交，故C错误；若，则或与相交，故D错误.故选：B.22．已知向量，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.【详解】.故选：B.23．已知a，b是实数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】由于，所以，A选项正确.，BD选项错误.，C选项错误.故选：A24．对于正整数n，记不超过n的正奇数的个数为，如，则（

）A．2022 B．2020 C．1011 D．1010【答案】C【分析】根据题意求出正奇数的个数即可.【详解】由题意，不超过2022的正奇数有个.故选：C.25．已知，且，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由基本不等式即可求得答案.【详解】因为，所以，当且仅当时取“=”.故选：B.26．已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是（

）A．2 B．C． D．4【答案】D【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，∴，当且仅当lgx＝lgy＝2，即x＝y＝100时等号成立．故选：D.三、解答题：本大题共2小题，共22分，解答时，应写成必要的文字说明、证明过程或验算步骤27．（本题满分10分）如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且．(1)求证：平面PAC(2)若M是PC的中点，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）先求得三棱锥的高，进而求得三棱锥的体积.【详解】（1）∵PA为圆柱母线，∴平面ACB，∵平面，∴，∵AB为底面圆直径，∴，∵平面APC，平面APC，，∴平面PAC.（2