2022年“广东一模”数学答案

*启用前注意保密

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）

数学参考答案

评分标准：

1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应

得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

题号I2345678

答案DBCDADBB

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

题号9I0II12

答案BDACDADBC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.60

14.AE和CF(AE和DC,AE和DF,AG和DF)(写出其中一对即可)

15.(45,2幻

,,工

16.-12

2n

四、解答题：本题共6小题，共70分。.〜”T八

@2血-t?acI...........................1分

17解：论断0中，由余弦定理得cosB=,=.=

2ac2ac2

由BE(O,切,得B”............................................................................................2分

3

论断@中，因为c=2bcosB,由正弦定理得，sinC=2sinBcosB=sin2B,…..3分

因为角B,C是L.ABC的内角，所以C=2B或C+2B=g............................5分

论断@中，由正弦定理得，sinAcosC+$sinAsinC=sinB+sinC,

即sinAcosC+/fsinAsinC=sin(A+C)+sinC,.....................................6分

即sinAcosC+/fsinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

数学模拟测试（一）参考答案第1页（共6页）

即雇nAsinC=cosAsinC+sinC,又因为sinC点0,所以3sinA=cosA+1,..7分

TT\Ic八

得sin价一为)=26又因为tlE(O,IT),所以A—卫=晋，得A=刍……8分

以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，所有可能的真命题有：

心@©和心<2>@.................................................10分

18.(1)证明：如右图，连接AE,由题意知AB为)0的直径，所以F

是圆柱的母线，所以AD〃EF且AD=EF所以四边形AEFD仁

是平行四边形―一：

所以AE11DF.

2分/

所以BE.1DF............................r

u

因为EF是圆柱的母线，所以EF.1平面ABE.Ap

又因为B氏平面ABE,

3分

所以EF.lBE.•…….......................

又因为DFnEF=F,DF,EFC平面DEF,

所以BE.1平面DEF.....................................4分

(2)解：由(I)知BE是三棱锥B-DEF底面DEF上的高，

由(I)知EF.l11E,AE1/DF,所以EF.lDF,即底面角形DEF是直角角形

设DF=AE=x,BE=y,贝!H寸=4.

BE=上X!

所以VB-DEF=XSI：..OF：F-

32xx2)xr=hxyB.立U二主

3人3323,

>._____

当且仅日凯=y=§时等号成立，即点E,F分别是AB,<±>的中点时，三棱锥B-DEF

的体积最大.............・・・・•・・■...........................—8分

(下求二面角B-DF-E的余弦值)

方法一：由(1)得BE.1平面DEF,因为DFc平面DEF,所以BE.1DF.…9分

又因为EF.1DF,EFnBE=E,所以DF.1平面BEF.因为BFc平面BEF,所以

BF.1DF所以LBFE是二面角B-DF-E的平面角…...........：......10分

由(I)知t:,BEF为直角二角形,则BF=/®+2=/6.............11分

痂EF2屈

fixcosLBFE=______

BF屈3'

屈

所以二面角B-DF-E的余弦值为石....................................12分

方法二：由(1)知EA,EB,EF两两相互垂直，如右图,

以点E为原点，EA,EB,EF所在直线为X,)',Z轴建立空

间直角坐标系E.XJ'Z,

则B(0,If_,0),0,2),E(O,0,O),F(0,0,2).

........................................9分

易知平面DEF的法向诚为瓦仁(0,J,O).

设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),由DF=(一互，

0,0),歼=(0,—Jl,2),

数学模拟测试(一)参考答案第2页(共6页)

叫‘；：：：叫：："-0,叫：：[得n=(0,/i,I)……10分

设二面角B-DF-E的平面角为0,

则Icosol=Icos<n,瓦｝>|=IrvEBl=Jix/i_J6....................11,分・・・.

Ini•启一5心了3

由图可知0为锐角，所以二面角B-DF-E的余弦值为愿一•・.............•.12分

3

19.(I)证明：由题意可得，a：当,1>2时，a,=S,1-S,

$以(S-)[2S--(S-S,_,)]=1......................................................................2分

得S;,-S;,==l.............................................................................3分

又S=a=I,

所以s)是以1为首项，I为公差的等差数列..........................4分..

所以S：=n.......................................................................................................................5分

因为;a」是正项数列，所以＞0.故守丘..............................6分

(2)解：不存在

理由如下：

当n2时，《：S,S,I=E-丁...................................7分

因为a：「留:千正N*,都有a,=丘,一J亡T............................................8分

1=汇，-Q分

假设存在满足要求的连续三项8,akI,ak+2,使得一，」，」构成等差数列，

akak+lak+2

则2(八了丁十几)=屈+』二丁十八二了+八万丁

al八十几=八二丁+J[75........................................................................io分.

两边同时平方，得k+I+k+2/f+丁Jk=k-1+k+2+2Jk=T/f+互

旦(k+l)k=(k-l)(k+2)

因为k2+k=炉+k-2显然不成立，与假设矛盾............................1.1.分.

所以数列：G')中不存在满足要求的连续：项.....................：12分

20.解：(I)用A,B,C分别表示篮球，羽毛球，游泳二种运动项目，用P(A),

P,,8),P„(C)(nEN)分别表示第,i天小王进行A,B,C.种运动项目的概

率......................................................................1分.

因为小王第一天打羽毛球，

所以第2天小王做•:项运动的概率分别为几(A)=0.3,几＜B)=0.1,R(C)=

0.6......................................................................................................2分

第3天小王做三项运动的概率分别为R|A)=凡(人)x0.5+P2(B)x0.3+凡C)x

0.3=0.36,

R(B)=P2(A)XO.2+R(B)xO.I+R(C)xO.6=0.43,

R(C)=R(A)X0.3+RiB)x0.6+R(C)xO.I=0.21,................................4夕｝

所以小王第=天打羽毛球的可能性最大.................................5分.

数学模拟测试(一)参考答案第3页(共6页)

(2)小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA,BAB,BAC,

BBA,BBB,BBC,BCA,BCB,BCC共9种，

运动能量消耗总数用X表示，有1200,1300,1400,1500,1600共5种可能,…6分

P(X=1200)=P(BBB)=0.1x0.1=0.01,

P(X=1300)=P(BAB)+P(BBA)=0.3x0.2+0.1x0.3=0.09,

P(X=1400)=P(BAA)+P(BBC)+P(BCB)=0.3xO.5+O.Ix0.6+O.6xO.6=

0.57,

P(X=1500)=P(BAC)+P(BCA)=0.3xO.3+0.6xO.3=0.27,

P(X=1600)=P(BCC)=0.6xO.1=0.06,.....................9夕｝

所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的分布列为

X12001300140015001600

P0.010.090.570.270.06

能量消耗总数X的期望

E（X）=1200xO.Ol+1300xO.W+1400xO.57+1500xO.27+1600x0.06=1428（卡）.

所以小王从第天打羽毛球开始，前天参加体育运动能扯消耗总数X的期望为

1428卡............................................................12分・

21.（1）解：因为f（x）='+a=ax+l（无＞o）,............................1分

XX

所以，当咋＞0时,J（I）=a+1＞0不符合题意.......................2分.

当（i,v0时，令f，（x）＜0,得x＞—匚；令j、'（兀）〉0,得0〈工〈—

aa'

1

所以瓜）在区湫一了）上单调递增在区间（一卜，+oo）上单调递减3分

由题得一!；「）=ln（-）0,解得a-1.............................4分

所以吓三一1.

综上所述a-1............；...........................5分

⑵证明：段g（X）=f（x）J"）,问题转化为g（x）在区间oX）上有

xl一气

唯的零点，..................................................6,分..

f亿)-rf伍)IInxl+ax,-Inx2-ax2

易知g（x）在区间

由g(X)=f(X)-,v=—+a-

（xi1Xz）上单调递减，故函卷（兀）在区间（x'J）上至多有1个零点,….7分

f丘）一f伉）1InX+lllxIni-（12

由g（m）=f；（m）—_=一+a-

巧一屯

IIn:1:-1n电1/i巧也_<

XXI；(U产由)，

同理，得g(X2)二1I+In),......

i-.朽朽一

由（1）知，当a=-1时，InX-+10,当且仅当X=1时取等号，—..9分

X2

因为0＜理＜1,所以一＞1'

数学模拟测试（一）参考答案第4页（共6页）

X2中

所以1户一"—+K0,

尤IXI

又因为无-.<0,即_J_<0,所以g(x|>0,........................10分

欧-无2

因为0〈文〈巧,所以0<…

X2

.飞।Xii

所以------+1<0,即ln——+——-1>0,

立巧XIX2

又因为XX<0,即一<0,所以g(/)<0,..........................11分

;1飞一电

由函数零点存在定理知踝於)许雪忸点X)上有1-的零点，即存在唯一的％E

(xl,朝，使得f'伍)成立................................12•分.

XI-2

22解：(I)由题可知c=ff,.....................................I分

当点M在％轴上时，1PQI=ff,不妨设p(b,引.........................2分

a2-b2=3,

笈2.+贺=1，

解彳乳=2所以椭圆C的标准方程为三十户=1.....................................................4分

b=L4

(2)设P(x,,Yl),Q(>,Y2),

y

则IPF1=妇忑2+(y.01=J花忑)+1-/()1-2)=2

同理IQF=I2-52*...................................................5分

摩乂1=顶二亡二Ji一己=互月1

42

同理IQM!V51_|XT

2

所以6.FPQ的周长为

数学模拟测试(一)参考答案第5页(共6页)

2ItJ77I?压I=4+5h|x;|-X1道...........6分

心当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为x=l或x=-1.

PQ的方程为x=1时，不妨设P,Q的坐标分别为（I,勺，止匕时

b.FPQ的周长为4.

PQ的方程为x=-I时，不妨设P,Q的坐标分别为（T]）,（-『弓此

时!::iFPQ的周长为4+2/3.