2022年2月四省八校高三数学（文）下学期期初考试卷附答案解析

2022年2月四省八校高三数学(文)下学期期初考试卷

一、单选题

1.若集合A={x€R/>21,B={x|log2(x+l)<l},则A「8=()

A•卜局B./C.词D.朋

2.已知aeR,复数z=*(i为虚部单位)为纯虚数，则z的共施复数的虚部为()

1+41

A.1B.-1C.iD.-i

3.己知a,BwR,则“cosa=cos夕”是“存在kwZ使得々=%乃+(-1)'夕”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

1_1_y-

4.设函数f(x)=|x|ln产，则函数的图象可能为()

1-X

5.函数f(x)=4sin(3x+(J+cos[3x-?]的最大值为()

A.2B.3C.4D.5

6.已知logslog,(log,z)=log3log,(log3y)=log2log,(log2x)=0,则下列关系中成立的是

,5JL3JL2_

A.xvyvzB.yvzv%C.z<x<yD.z<y<x

7.函数/(x)=2sin®x+p)3>0，M49对于VxeR都有=等-x)=-〃x)恒成立,

在区间「今总上无最值.将横坐标变为原来的6倍，图像左移亨个单位，上移3个单位得

到g(x),则下列选项正确的是()

A.g(x)在当，手上单调递增

B.当/=-彳时g(x)取得最小值为T

1

C.g（x）的对称中心为［一丁+2女肛Oj（攵6Z）

D.g（x）右移机个单位得到/z（x）,当，〃=时，妆可为偶函数

8.己知正方体48CO-A8CA的棱长为2,M为。。的中点，N为正方形ABCZ）内一动点，则下列命

题正确的个数是（）

①若MN=逐,则点N的轨迹长度为兀

②若N到平面8与CC与直线AA的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分.

③若N在线段AC上运动，则

④若N在线段AC上运动，则MN〃BR.

A.1B.2C.3D.4

9.若曲线〃x）=/-x+lnx存在垂直于y轴的切线，则”的取值范围是（）

C.8,11

A.产D.-00.—

I88

10.设函数/'（X）是偶函数f（x）（xeR）的导函数,{1）=0,当x＜0时，靖（x）—〃x）＜0,则使

得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）

A.(-co,-1)7(0,1)B.(—1,0)L>(l,+oo)C.(-oo,-l)U(-l,0)D.(-00,-1)51，+°°)

11.已知抛物线＞2=4x过焦点厂的直线与抛物线交于A、B两点，则2b日+忸用最小值为（）

A.2B.26+3C.4D.3+2正

12.在x轴上方作圆与x轴相切，切点为。（夜,0）,分别从点A（-2,0）、B（2,0）,作该圆的切线AM和

BM,两切线相交于点M,则点用的横坐标的取值范围（）

A.^—00,—5/2B.(TO,-V2]U[2,-KX>)

c.（f,-⑹U（6,+°°）D.(-°o,_石卜[6,+00)

二、填空题

2

x+y>l

13.已知实数x,y满足，贝l」z=x+2y的最小值为.

”1

14.若一几何体三视图如图所示，则几何体的表面积为.

则M晨M的取值范围为

15.在AABC中，已知2cos°8-cosA=l,

\BC\

16.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且

重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线/与y轴与双曲线

2，

讶=1（4>0,。>0）的两条渐近线的三个不同交点构成集合M,且M恰为某三角形的外心、重心、

垂心所成集合，若/的斜率为T,则该双曲线的离心率可是以是①四，②应，③好，④6,⑤加.

52

以上结论正确的是.

三、解答题

n+，

17.已知数列｛%｝中，4=1,4=3,all+2+2a,-2'=3all+i（neN）.

⑴设2=美半,求证色｝是等差数列；⑵求｛4｝的通项.

18.云南某小区抽取年龄在2-22岁100人做核酸检测由于工作人员不小心画出直方图后把原始数据丢失

（1）估算抽取人群的平均年龄.

（2）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有0％的数据小于或等于这

个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.试估计此样本数据的第50百分位数.

（3）用分层抽样的方式从第一组（年龄在2-6岁）和第五组（年龄在18-22岁）中一共抽取5人再从5人

中任选2人求两人的年龄差不超过4岁的概率.

3

19.如图，在四棱锥P-MCQ中，底面ABC。为矩形，24,底面ABC。，PA=AB,E为线段尸8上的

一点，且PE=4PB,F为线段BC上的动点.

(1)当4为何值时，平面平面PBC,并说明理由;

(2)若PA=2,BC=3,平面AEFL平面PBC,VE_48F:Vp_4flCD=1:6,求出点B到平面AEF的距离.

20.己知函数/(x)=lnx-or.

⑴求函数/(》)的单调区间；

⑵当x21时，函数Nx)=(x+l)[.f(x)+“]-lnxWO恒成立，求实数。取值范围.

21.如图，已知椭圆C：3+y2=i,曲线—与，轴的交点为M，过坐标原点。的直线/与相

交于A、B,直线M4、MB分别与G交于点£＞、E.

⑴证明：以DE为直径的圆经过点〃；

(2)记AMDE的面积分别为'、邑，若。=彳邑，求4的取值范围.

\xr=3xfx=1+cosa

22.在平面直角坐标系中，曲线G经过伸缩变换,。得到曲线G，曲线的方程为.(a

[y=2y[y=sina

为参数)，以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线G是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形

1T

AOB,其中NAO8=-.

2

4

»

X

（1）请写出曲线C1的普通方程和曲线G的极坐标方程.

⑵已知点P在曲线G上，|OP|=G,延长AO、8。分别与曲线c?交于点M、N,求APMN的面积.

23.已知函数〃x）=|x+l|—|2x—3|

⑴求不等式的解集；

4

⑵若/（X）的最大值为〃?，且1咆/=-1相，求4+4b的最小值.

2022年2月四省八校高一数学（文）下学期期初考试卷

一、单选题

1.若集合4={乂€11^^>2},B=|x|log,（x+l）<l|,则人八8=（）

A.1司B.[-11）C.（。4D.

【答案】C

【分析】根据分式不等式解法解出集合A,根据对数的运算法则计算出集合8,再根据集合交集运算得

结果.

[详解]A={x|（l_3x>x>0}={x0<x<：},

8={Hlog2（x+l）<l}={x[0<x+l<2}={H-l<x<l},二4故选：C.

2.己知aeR,复数z="（i为虚部单位）为纯虚数，则z的共规复数的虚部为（）

1+Q1

5

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【分析】根据复数的出发运算结合纯虚数的定义求出“，从而可求出复数z,即可得出答案.

3+i(3+i)(l-ai)3+〃-(3a-l)i

【详解】解:

1+ai+\+cr

因为复数］=言(i为虚部单位)为纯虚数，所以3+a=0

3"lxO'解得

所以z=i,所以三=_i，所以Z的共轨复数的虚部为T.故选：B.

3.已知a,/3eR,则“cosa=cos/?”是“存在氏eZ使得a=&乃+(-1)"”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断.

【详解】⑴当存在&eZ使得。=氏+(-1)”时，

则cosa=cos+(-1/⑶=｛二篇eZ'即不能推出a=cos?.

(2)当cosa=cos/时，a=0+2k兀或a=2k九一。,keZ、

所以对第二种情况，不存在keZ时，使得。=旖+(-1)”成立,

故"cosa=cosp”是“存在ZeZ使得。=氏+(-1)"”的既不充分不必要条件.故选：D

【分析】判断段)的奇偶性和单调性即可判断图像.

【详解】产>0n(x+D(x-l)<0=xe(-l,l),

1-X

/(x)=|x|ln|i^=|x|[ln(l+x)-ln(l-x)],

1—X

/(-x)=|^|[ln(l-x)-ln(l+x)]=-|x|[ln(l+x)-ln(l-^)]=-/(3;),

6

，府)是定义在(T，1)上的奇函数，图像关于原点对称，据此排除BD：

又/(；)=gln3>0,.♦.选C.故选：C.

5.函数/(x)=4sin(3x+()+cos(3x-?)的最大值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换公式化简/U)解析式，再根据正弦函数性质即可求解.

【详解】/(X)=4sin^3x+y^+cos^3jc-^=4gsin3x+^<os3x卜等cos3x+；sin3x

=2sin3x+2>ACOS3X+-cos3x+—sin3x=—sin3x+cos3x=5sin(3x+g]

2222I

最大值为5,故选：D.

6.已知logslog)(log5z)=log3log,(log3y)=log2log।(log2x)=0,则下列关系中成立的是

-5JL5JL2.

A.X<y<zB.y<z<xc.z<x<yD.z<y<x

【答案】C

【分析】利用对数式特殊值，解对数方程，再比较x,y,z的大小关系.

【详解】由题意知，1幅log.(log,%)=0,•'•l°gF°gR=L.•.log2X=；解得x=23=夜.

同理可解得尸3：酒，z=5；为

比较x和y：取*6=(0)6=8,y6=(")6=9

x6<y6,:.x<y

比较x和z：取储°=32,z'°=25,x10>z10,.'.x>z

比较y和z：取y"=243,z”=125,；.y">z%：.y>z综上所述：z<x<y,故选C.

【点睛】对数式特殊值有log3=0,log,,。=1,结合对数式指数式互化，解决一些特殊的对数方程.再构

造同指数塞比较大小.

7.函数/(x)=2sin3+夕)3>0，M|4,对于VxeR都有/仁-丫卜/⑴，/(g-x)=-/(x)恒成立,

在区间「森卷上“X)无最值.将/(x)横坐标变为原来的6倍，图像左移整个单位，上移3个单位得

到g(x)，则下列选项正确的是()

A.g(x)在号.手上单调递增

7

B.当x=-9时g(x)取得最小值为t

C.g(x)的对称中心为(-号+2^,0)(ZeZ)

1

D.g(x)右移m个单位得到〃(x),当加=-手7r时,h(x)为偶函数

【答案】D

【分析】根据三角函数的对称性求出对称中心与对称轴可得函数周期求。，再利用特殊值求出夕求出函

数/(X)解析式，根据图象变换得出g(x)的解析式，利用单调性，对称性判断ABC,再根据平移g(x)后

得〃(x)为偶函数求机，判断D即可.

【详解】因为==尤)恒成立可知仁,0)为函数的一个对称中心，x七为

函数的一条对称轴，

T7T7t7t_,242/Z*ZETJzn\cicll/兀

所以:二彳一工=二，T=丁=—，解得0=3.・・/—=2sin—+(p=2cos(p=±2,|^|<—,

43663coJ<2J2

.'.<p=O,keZ,：.〃x)=2sin3x,满足题意则g(x)=2sin(gx+g)+3,

TT]7TTTSTT7t

令2%乃<—XH——42%乃+—,攵wZ,解得《女乃一2—<x<4k/r+—,keZ、

223233

77r1344乃11/r

当女=1时，g(x)的增区间为y,~,故g(x)在y,—上不是增函数，故A错误；

当x=*时，g]-F)=2sin(-;r)+3=3不为最小值，故B错误；

令gx+(=k%,A;eZ,解得x=2k;r-券，keZ,所以g(x)的对称中心为，葛+20,3)/eZ),故C

错误；

g(x)右移朋个单位后可得〃(x)=2sin(Jx+?-T)+3,当力(力为偶函数时，三-卜k兀吟，

TT77r

m=---2k7t,k&Z,故％=1时，m=--,故D正确.故选：D

33

8.己知正方体ABC。-ASGR的棱长为2,M为。。的中点，N为正方形A8CD内一动点，则下列命

题正确的个数是()

①若MN=G，则点N的轨迹长度为7t.

8

②若N到平面BBC©与直线A4的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分.

③若N在线段AC上运动，则RN，力片.

④若N在线段AC上运动，则MN〃BR.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】①连接ON、MN,求出根据圆的定义可求N的轨迹，根据圆的周长可求轨迹长度；

②根据几何关系可知N到平面B8CC的距离即为N到直线8c的距离，N到直线AA的距离即为NA,根

据抛物线的定义即可判断N的轨迹：

③连接AQ、CD,,证明平面AC"即可；

④连接连接AC和8。交于。，连接MO,则由此即可判断.

,.,。知_1平面480),:.DMLDN,：.DN=-j5^i=2,

.•.点N的轨迹是以。为圆心，2为半径的圆的!，

4

...点N轨迹长度为圆的周长的!，为!X2"x2=",故①正确;

44

②如图，过N作NELBC与E,连接AM

•.•平面48CC平面BBCC且两平面交于8C,平面即为N到平面BBgC的距离;

：AA_L平面ABCD,：.4a_LAN,；.AN就是N到直线4A的距离；

若N到平面BBXC{C与直线AA的距离相等，即NE=NA,根据抛物线的定义可知N的轨迹是以4为焦点,

9

BC为准线的抛物线的一部分，故②正确:

③连接AR、C%DCI：

CDD.C,是正方形，二DC,±CD,,

WG±平面CDD£,:.B©1CD,,-.-DC,cB,C,=£,:.CD,_L平面DB.Cp/.CD,1DB,,

同理可证AR±DBUcCD、=Dt,:.DB、，平面ACR,:.DB,±RM，③正确；

④连接AC和8力交于。，连接M0,

时正方形，.••OBu。。，又M是的中点，，在三角形中，BD,//MO,

若N在线段AC上运动，只有当N为AC中点O才满足“N〃BR,故④错误.

...正确的命题是：①②③，正确的个数为：3.

故选：C.

9.若曲线/(x)=G?-x+lnx存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是()

A.]'+")B.[ol]c.D.

【答案】C

【分析】问题等价于_/(x)的导数在x>0时有零点，再参变分离转化为函数交点问题.

【详解】依题意，7U)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率女=0的切线，

又2=/'(x)=2以H-----1,x>0,

10

2依+，-1=0有正根，即-2a=仕］-工有正根，

XyXJX

即函数y=-2“与函数y=HY」,x>0的图像有交点，

\XJX

令，=f>o,则g⑺-L,；,g⑺有；.—2a2-9，即%故选：C.

x(2142448

10.设函数r(x)是偶函数〃x)(xeR)的导函数，/(—1)=0,当x<0时,xf'(x)-f(x)<0,则使

得f(x)<0成立的x的取值范围是()

A.(―oo,—l)B.(—1,0)<J(1,+OO)C.(―oo,—1)U(—1,0)D.1)^(1,+°°)

【答案】D

【分析】根据不等式的形式构造函数，利用导数的性质，结合函数的奇偶性和单调性进行求解即可.

【详解】令g(x)=乎，则g，(x)W；5x),

,.W(x)-f(x)<0,g'(x)<0,二g(x)在(y,0)上为减函数,

又•••g(-x)=-g(x),.•.函数g(x)为定义域上的奇函数，g(x)在(0,”)上为减函数.

又•.“(-1)=0,，g(l)=0,.•.不等式/■(x)<0=x.g(x)<0,

x>0,g(x)<0或x<0,g(x)>0,x>\,或x<-l,

：/(x)<0成立的x的取值范围是故选：D

II.已知抛物线丁=4x过焦点下的直线与抛物线交于A、8两点，则2卜日+忸耳最小值为()

A.2B.2瓜+3C.4D.3+20

【答案】D

【分析】推导出国+西=1,然后在代数式2|AF|+忸可上乘以西+南，展开后利用基本不等式可

求得21M+|M|的最小值.

【详解】抛物线V=4x的焦点F的坐标为(1,0),若直线A3与％轴重合，则该直线与抛物线只有一个交

点，不合乎题意，

设点A(%,yJ、8(4,必)，设直线的方程为》=冲+1,

y2=4x

联立,可得了2-4/2一4=0,A=16/n2+16>0,

x=my+1

由韦达定理可得%+%=4加，,必=-4,

而I”1,1111141a(凶+必)+44疗+4,

'|AF||BF|玉+1x2+l的1+2my2+2机+2加(y+%)+4一一4加？+8加？+4—'

11

所以2|四+|四=（2|叫+|叫）［卷+曲）=3+鬻+粤23+2^^=3+20，

当且仅当忸尸卜夜时,等号成立，因此，2|AF|+|M|的最小值为3+2等.故选:D.

12.在x轴上方作圆与x轴相切，切点为。（夜,0）,分别从点A（-2,0）、8（2,0）,作该圆的切线AM和

BM,两切线相交于点M,则点M的横坐标的取值范围（）

A.（―℃,—•V^）U（'/5,+oo）B.°o,—\/2J

C.白）1］（后,+°°）D.（-00,-百］=［百,+8）

【答案】A

【分析】根据题意作出图像，根据几何关系研究动点M的轨迹即可.

【详解】当M在第一象限时，如图，设直线AM,与圆分别相切于点E,F,

由题可知=|他|=|明，忸尸|=|叫,

又••1AW|=|AE|+|ME|,忸叫=忸尸|+四尸|

：.\AM\-\BM\=\AE\+\ME\-（\BF\+\MF\）=\AD\-\BD\^242<\AB\

・••根据双曲线的可知，M在以A、8为焦点的双曲线的右支上（不能取顶点），...此时M恒坐标%>公；

当M在第三象限时，如图，

同理可得|M4|TMB|=（pWE|TAE|）一（|MF|TBF|）=\M^-\MF\+\BF\-\AE\=\BD\-\AD\=-2yf2,

根据双曲线的定义可知，此时M是以A、B为焦点的双曲线的左支上的点（不能为顶点），，此时M恒

坐标xM<-血；

12

综上，M点的横坐标的取值范围(9,-收)1](0,+8).故选：A.

二、填空题

x+y>I

13.已知实数x,y满足x-y41贝Uz=x+2y的最小值为.

,yzi

【答案】2

【分析】先求出可行域，然后根据直线截距求出最小值.

x+y>l

【详解】解：由题意得：,对应的平面区域如图所示：

y>l

1717

设z=x+2y,则尸4x+1,平移此直线，由图象可知直线y=-3+],经过(0,1)时，直线V的截距

最小，得到z最小，所以-=0+以2=2.

故答案为：2

【答案】(石+1)》

【分析】根据三视图可知该几何体为圆锥，根据圆锥表面积计算方法计算即可.

【详解】根据三视图可知该几何体为圆锥，如图所示：

13

圆锥表面积为乃产+7rH=兀+旧兀.故答案为：（6+1）万.

IABI.

15.在△ABC中，已知2cos23-cosA=1,则历百的取值范围为.

【答案】（0，（）

【分析】利用二倍角公式分析得出A=28,利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出

L-L=2cos/?-^—令cosB=f,则〃。=2一七，利用函数的单调性可求得胡的

取值范围.

【详解】因为2cos28—cos4=l,所以cosA=2cos28-l=cos28,

因为A、86（0,万），故28e（O,2乃），所以A=2B或A+2B=2".

因为3<4+3<T，故A+2B<2］，故A=2B.

|AB|（）

则由正弦定理得扃sinC_sinA+B_sin3B_sin2BcosB+cos2BsinB

sinAsinAsin2B2sin8cos8

2sin8cos-8+（2cos~B-l）sinB4cos?B-\\

------------------------------』-------=--------------=2cosB------------，

2sinBcosB2cos82cosB

因为C=i—3Be（O㈤，所以研O'?,所以cos8e（；,l}

（

设cosB”则可则\,\则蜀\A=B之\一五1,

设/⑺=2-：,则〃f）在即上单调递增,则#⑴，即0＜凿v|.

所以黑的取值范围为（o1）.故答案为：（o，|）.

16.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且

重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线/与y轴与双曲线

14

的两条渐近线的三个不同交点构成集合且M恰为某三角形的外心、重心、

垂心所成集合，若/的斜率为T,则该双曲线的离心率可是以是①半，②丘,③手，④6,⑤布.

以上结论正确的是.

【答案】①③⑤

【分析】设直线/的方程为y=-x+f(f>0),求出/与y轴的交点A、直线/与双曲线的两渐近线的交点8、

C的坐标，对该三角形的外心、重心、垂心的坐标进行分类讨论，结合已知条件求出双曲线的离心率，

即可得解.

【详解】设直线/的方程为y=—x+/(/>0),

令X=O,可得y=r,设直线/与y轴的交点A(OJ),

双曲线的渐近线方程为丫=±2》，与直线y=-x+r联立，可得也

aa+bJ\a-ba-b)

由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,

当A、8、C依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上,

可得而《而,即为言

化为a=2b,

当A、C、8依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上,

可得祕=:函，即为4=-上口化为4=—»不成立;

2a-b2\a+ba-bJ

当8、A、C依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上,

可得丽=(近，即为=化为b=3a,e=-=./lZ4=V10;

当C、A、8依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上,

可得以(=]而，即为=化为8=—3a不成立；

2a-b2\a^b)

当C、8、A依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上,

可得丽丽，即为卫———j_at

=1化为a=5b

2a+ba-b2a+b9

当3、C、A依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上,

可得金道，即为六-盘=4长化为。=支不成立.

故选：①③⑤.

三、解答题

17.已知数列卜(｝中，4=1,%=3,%+2+2%-2"“=3%+]

15

⑴设2=矢口,求证他,｝是等差数列；⑵求｛叫的通项.

【答案】⑴证明见解析⑵%=("-2>2"+3

【分析】(1)式子变形后写学1-巧冬之，可知｛〃｝是首项〃=号、1,公差为1的等差数

列.

(2)利用累加法和错位相减法即可得出结论.

【详解】(1)解：由已知可得：。,,+2-4+1=2(4用一%)+2向即%苗阳-巴净％=1即6向一2=1,

所以｛2｝是首项4=生/=1，公差为1的等差数列.

⑵由(1)知也,=^^=1+("—1>1=〃贝1]q”一。“=止2"

121

(a2-al)+(a,-a2)+---+(a„-a„-1)=1-2+2-2+---+(/i-l)-2^

23,,

得到a,-q=12l+2・22+…+(w-l).2"T①,2(«„-«1)=1-2+2-2+...+(??-1)-2(2)

①-②，得q=(〃-2>2"+3.

18.云南某小区抽取年龄在2-22岁100人做核酸检测由于工作人员不小心画出直方图后把原始数据丢失

(2)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有〃％的数据小于或等于这

个值，且至少有(100-力％的数据大于或等于这个值.试估计此样本数据的第50百分位数.

(3)用分层抽样的方式从第一组(年龄在2-6岁)和第五组(年龄在18-22岁)中一共抽取5人再从5人

中任选2人求两人的年龄差不超过4岁的概率.

【答案】(1)11.52(岁)(2)llg(3)0.4

【分析】(1)根据频率分布直方图计算平均数的方法进行计算；

(2)先确定第50百分位数来自于哪一组，然后利用的第50百分位数计算公式进行计算；

(3)根据可能事件概率的计算公式进行求解.

【详解】(1)解：由题意得

16

平均年龄=4x4x0.02+8x4x0.08+12x4x0.09+16x4x0.03+20x4x0.03=11.52（岁）

⑵第50百分位数位于区间［10,14）,由io+=%x4=l*,所以第50个百分位为

（3）根据分层抽样原理第一组抽2人，第五组抽3人再从5人中任取2人共有10种基本结果（两个人来

自2-6岁组有C；=l种；两人来自18-22岁组由C；=3种；一人来自2-6岁组，一人来自18-22岁有

C；C；=6种）.要使年龄差小于4岁等价于两人来自同组（6+《=1+3=4）有4种结果所以概率

4

P=—=QA.

10

19.如图，在四棱锥P-43co中，底面为矩形，24,底面ABC。，PA=AB,E为线段尸8上的

一点，且=F为线段BC上的动点.

（1）当久为何值时，平面A£F_L平面P8C,并说明理由；

（2）若尸A=2,BC=3,平面产1.平面PBC,VE_ARF:VP.MCD=1:6,求出点8到平面AE尸的距离.

【答案】（1）力=:，理由见解析（2）亚

23

【分析】（1）取％=；,即点E为心的中点，证明出平面PBC,结合面面垂直判定定理可得出结

论；

（2）由题意可知E为朋的中点，利用已知条件求得8尸以及三棱锥E-/W尸的体积，计算出的面

积，利用等体积法可求得点B到平面AE尸的距离.

【详解】（1）解：当时，平面4步，平面P8C,理由如下：

因为小，底面ABC。，3Cu平面ABC。，所以以_L8C,因为ABC。为矩形，所以AB_L8C,

又24nA8=A,所以BC_L平面F4B.因为A£u平面所以AEJ.BC.

因为PE=JPB,所以E为线段总的中点，又因为PA=A8,所以

又PBcBC=B,所以，平面PBC,

因为AEu平面AEF,所以平面A£F_L平面P8C.

（2）解：因为平面A£F_L平面PBC,由（1）可知E为心的中点.

因为PA_L底面ABCD，所以点E到底面"CO的距离为gPA=1,所以匕一般2x1=1，

17

BF

因为％一的：匕.6=1：6,所以在为=萼=:，所以BF=2,V£_^=lx4=|,

NxJxn12663

3

平面ABC。，ABI平面ABC。，则F4_LAB,同理可知BFLBE,

-.-PA=AB=2,E为尸8的中点，贝！]AE=8E=WPA=0,EF=7BE2+BF2=76>

所以,5^=^72x76=73,

设点B到平面AEF的距离为d,由％.AEF=%T肝得2d・退=]，解得"=述.

20.已知函数〃x)=lnx-or.(l)求函数〃x)的单调区间；

(2)当xNl时,函数&(x)=(x+l)[/(x)+<|-lnxW0恒成立,求实数。取值范围.

【答案】(1)答案见解析(2)；,+«))

【分析】(1)求出函数/(x)的定义域，求得:(力=上詈，分”.°、。>。两种情况讨论，分析导数的

符号变化，由此可得出函数/(x)的增区间和减区间；

(2)由题意可知月11》一”(_?一140对任意的丑1恒成立，令g(x)=xlnx-a(x2-l)(xWl),分°40、

()<〃<；、“2；三种情况讨论，利用导数分析函数g(x)在[1,+8)上的单调性，验证g(x)Zg⑴=0能否

恒成立，综合可得出实数。的取值范围.

【详解】⑴解：函数“X)的定义域为(。，也)，f\x)=--a=—

XX

①当"VO时，则r(x)>0,所以〃x)在(0,+8)上单调递增;

②当”>0时，则由r(x)>0知0<x<，,由/'(x)<0知x>L,

aa

所以在(0，£|上单调递增，在已,引上单调递减；

综上，当“V0时，f(x)的单调递增区间为(0,+8),

当a>0时，“X)的单调递增区间为单调递减区间为+8).

⑵解:由题意知k(x)4。恒成立，

而W0o(x+l)[/(x)+a]-lnxW0=xlnx-a(x2-1)W0,

由=xlnx-tz(x21),得g[x)=lnx+]_2ar,

18

令〃(x)=lnx+l—2ax,贝ljhr(x}=--2a=-~~

xx

①若〃<0,”(力>0,则g'(x)在［1,”)上单调递增，故g'(x)2g'⑴=1—2a",

所以g(x)在［1,内)上单调递增，所以g(x)Zg(l)=O,从而xlnx-。(炉-1)NO,不符合题意；

②若o<"；,则(>1，当时，"(x)>0,g'(x)在K)上单调递增，

从而g'(x)>g'(l)=l-勿>0,所以g(x)在1，在单调递增，所以g(g)>g(l)=0,不符合题意；

③若a2；,则0</41,〃(*卜。在［1,+00)上恒成立，

所以g'(x)在［1,”)上单调递减，g,(x)<g,(l)=l-2«<0,

从而g(x)在口,内)上单调递减，所以g(x)«g⑴=0,所以xlnx-a(x2-l)40恒成立.

综上所述，”的取值范围是g，+8).

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，本题涉及端点效应，一般的解题思路就

是对参数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，验证对应的不等式能否恒成，

由此求解.

21.如图，己知椭圆£:三+y2=i,曲线C,:y=/-1与y轴的交点为M,过坐标原点。的直线/与相

4

交于A、B,直线M4、MB分别与C1交于点。、E.

(1)证明：以DE为直径的圆经过点

(2)记△M4B、AMDE的面积分别为y、邑，若S|=/IS2,求4的取值范围.

'25、

【答案】⑴证明见解析⑵—,+<»

04)

【分析】(1)分析可知直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=履，设点AQ,%)、8(生必)，将直线

/的方程与曲线G的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理计算得出网":MB=T，可得

出屈4_LMB,即可证得结论成立；

(2)设M4的斜率为勺依>0),则M4的方程为>=尢*-1,将直线M4的方程分别与曲线Cz、G的方程

联立，可求得点A、。的坐标，同理可得出点8、E的坐标，可求得邑，进而可得出力的表达式，

利用基本不等式可求得4的取值范围.

19

【详解】（1）证明：若直线/的斜率不存在，则该直线与丁轴重合，此时直线/与曲线G只有一个交点，不

合乎题意.

\y=kx

所以，直线/的斜率存在，设直线/的方程为丫=丘.由［=9_［得f一日_i=o,

设4（々,乂）、双々,当），则A、4是上述方程的两个实根，于是％+多=%,%工2=-1.

又因为点M（0,—1）,

所以4卜=x+i必+]（g+1）（仇+1）心Xz+N.+wH]标+/+[=