青海省西宁市大通县2024届高三上学期开学摸底考试数学（文科）试题（ 含答案解析 ）

青海省大通县教学研究室2024届高三开学摸底考试数学（文科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义与运算计算即可.【详解】因为，所以．故选：B．2.已知，，则在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法法则计算出，得到其所在象限.【详解】，故所对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D3.已知满足约束条件则目标函数最大值为（）A. B. C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先画出可行域，数形结合计算即可【详解】画出满足约束条件的平面区域，如图所示，易得直线与的交点，平移直线，当经过A时，目标函数取得最大值，即．故选：C．4.乒乓球是中国的国球，拥有广泛的群众基础，老少皆宜，特别适合全民身体锻炼．某小学体育课上，老师让小李同学从7个乒乓球（其中3只黄色和4只白色）中随机选取2个，则他选取的乒乓球恰为1黄1白的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用组合数计算古典概型即可.【详解】根据古典概型，从7个乒乓球中随机选取2个，基本事件总数有个，其中恰为1黄1白基本事件有个，所以概率．故选：A．5.已知为第四象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系求解.【详解】，且为第四象限角，，，，故选：C6.在等差数列中，，是方程的两个根，则的前23项的和为（）A. B. C.92 D.184【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，结合求和公式即可求解.【详解】，是方程的两个根，所以，所以的前23项的和．故选:C．7.已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.【详解】解：由，若，则可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.8.函数的图象有可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判定函数的奇偶性，再求其单调性即可判定选项.【详解】解：函数的定义域为R，又，可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项B、D；易知的导数为，当时，递减；当时，递增，则在处取得极小值，可排除选项C．故选:A．9.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指对数函数的单调性与图像性质及与特殊值（0，1）的比对，易知三者的大小关系.【详解】由于在上单调递增，故，即；由于在上单调递减且，故，即；由于在上单调递增，故，即；所以.故选：A.10.已知是等比数列的前项和，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由与的关系求出数列的通项公式，推导出数列为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.【详解】因为，所以，，，又是等比数列，所以，即，解得，所以．当时，，又满足，所以，，故数列是公比为，首项为的等比数列，所以．故选：A.11.已知抛物线的焦点为为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（）A.5 B.-4 C.3 D.-3【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的焦半径可得，进而可得，联立直线与抛物线方程可得点，由向量数量积的坐标公式即可求解.【详解】由题意得，抛物线的准线为，因为为上一点，且，所以，解得，故抛物线，焦点为，所以的方程为，代入，得，整理得，解得或，因为为上一点，则，由于A在第一象限，所以，所以，所以.故选:D.12.已知直线与曲线相切，则最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出切点，利用导数的几何意义找出所满足的关系式，然后利用导数工具求的最小值.【详解】设切点为，则，解得，所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为______．【答案】【解析】【分析】由渐近线方程得，进而求得离心率.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，双曲线的离心率为.故答案为：.14.在中，点是边上的一点，，点满足，若，则_________．【答案】【解析】【分析】根据向量的线性运算可用表示，结合平面向量基本定理求出的值后可得答案.【详解】因为点是边上的一点，，所以，所以．又，所以，所以．故答案为：.15.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为_________．【答案】【解析】【分析】利用三角函数的图象变换计算即可.【详解】解：函数的图象向左平移个单位长度，可得，再向上平移4个单位长度，可得．故答案为：.16.某几何体的直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为2，高为4．现要加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则圆柱的最大体积为______．【答案】【解析】【分析】设加工成的圆柱底面半径为，圆柱的高为，圆柱的体积用含有h的代数式表示，利用导数求其最大值即可.【详解】设加工成的圆柱的底面半径为，高为，轴截面如图，则，则加工后所得圆柱的体积，所以可得当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值为.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17.如图是M市某爱国主义教育基地宣传栏中标题为“2015～2022年基地接待青少年人次”的统计图．根据该统计图提供的信息解决下列问题．①参考数据：012390330②参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：．（1）求M市爱国主义教育基地所统计的8年中接待青少年人次的平均值和中位数；（2）由统计图可看出，从2019年开始，M市爱国主义教育基地接待青少年的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2024年基地接待青少年的人次．【答案】（1）平均值为：；中位数为：（2）1365【解析】【分析】（1）根据统计图数据计算平均数及中位数即可；（2）利用最小二乘法计算回归方程并预测数据即可.【小问1详解】由图表数据可知：平均值为：，中位数为：．【小问2详解】由图表数据得：，则，所以线性回归方程，所以在2024年时，所以，预测2024年基地接待青少年的人次为．18.记的内角的对边分别为，，.（1）求的面积；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用切化弦，结合两角和差正弦公式可化简已知等式得到，利用正弦定理角化边可得，利用同角三角函数关系求得后，可得的值，代入三角形面积公式即可得到结果；（2）利用正弦定理可求得，代入即可求得结果.【小问1详解】，，即，，由正弦定理得：，即，，，则，.【小问2详解】由（1）知：；由正弦定理知：，则，，又，.19.如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点，．（1）求证：平面；（2）求多面体的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理，结合棱锥体积公式进行求解即可.【小问1详解】如图，取的中点，连接，是的中点，．又，，四边形是平行四边形，．又平面平面．平面．【小问2详解】连接．平面平面．，且平面，平面．同理可得平面．．20.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过、两点．（1）求的方程；（2）若，过的直线与交于、两点，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）设椭圆的方程为，将点、的坐标代入椭圆的方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出椭圆的方程；（2）分两种情况讨论：①直线与轴重合，直接验证结论成立；②直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算得出，可得出轴平分，利用角平分线的性质可证得结论成立．综合可得出结论．【解析】（1）解：设椭圆的方程为，将点、坐标代入椭圆的方程可得，解得，因此，椭圆的方程为．（2）证明：若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的端点，不妨设点，则点，则，，成立；若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，，∴轴平分，∴．综上所述，．【反思】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，，求证.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数的导数，设方程，可得，根据和，结合和分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）由（1）可得，当时，函数两个极值点满足，，根据函数的解析式，化简，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，设方程，可得，①当时，即时，，所以在上单增；②当时，即时，设方程的两根为和，且，则，，且，①当时，可得，，所以在上单减，在上单增；②当时，可得，，所以在上单增，在上单减，在上单增.综上可得：①当时，在上单增；②当时，在上单减，在上单增；③当时，在和上单增，在上单减.（2）由（1）可知，当时，函数存在两个极值点，，且满足，，又由，令，可得，所以在上单减，所以，即.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程分别为，.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与轴交于点，曲线和曲线的交点为，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据公式法，即可得出曲线，的直角坐标方程.（2）由题得，利用曲线的直角坐标方程得出参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，根据韦达定理得出对应参数的关系，然后根据弦长公式，即可得出答案.【小问1详解】因为曲线的极坐标方程为，又，，所以，所以曲线的直角坐标方程为.因为曲线的极坐标方程为，所以，所以曲线的直角坐标方程为.【小问2详解】由题意知，故直线的一个参数方程为（为参数）