计算方法-9.5线性多步法

2023/11/2619.5线性多步法单步法计算时只用到前一步的结果，因此只要给定初值，计算就可以进行下去。但是Euler等单步法的精度都较低，龙格-库塔方法虽然可以得到较高的精度，但这类算法为了提高精度，需要增加一些非节点处的函数值的计算，在每一步都需要先预报这些非节点上的斜率值，计算量比较大。考虑到计算yi+1之前已得出一系列节点上的斜率值，能否利用这些已知值来减少计算量呢？这就是线性多步法的设计思想，可以在计算量增加不多的情况下获得较高的精度。用已知的若干节点处的y

及y‘值的线性组合来近似y(xn+1)。线性多步法通式可写为：2023/11/262当

1

0

时，为隐式公式；

1=0则为显式公式。

基于数值积分的构造法将在上积分，得到只要近似地算出右边的积分，则可通过近似y(xn+1)。而选用不同近似式Ir，可得到不同的计算公式。2023/11/263构造线性多步法的主要方法：数值积分法和泰勒展开法。2023/11/264

对积分式分别采用矩形公式和梯形公式可得到欧拉公式和改进欧拉公式，截断误差分别为O(h2)和O(h3)。为此，我们自然可以想到，若用更高次的插值多项式来代替f(x,y)，则所得公式的精度会更高。这就是基于数值积分方法构造线性多步法的起源思想。2023/11/265若积分用节点作为积分点，则有积分系数这是显式格式，q+1阶r+1步格式。局部截断误差2023/11/266例：建立r=1，q=2的显式格式r=1，积分区间为q=2，显式格式，积分节点为所以2023/11/267同样，若以为积分节点，可以构造r+1步q+1阶隐格式2023/11/268例：建立r=2，q=2的隐格式r=2，积分区间为q=2，隐式格式，积分节点为所以2023/11/269它的截断误差较显式格式小，通常也具有更好的稳定性。2023/11/2610

Adams方法是线性多步法的一个代表，它是利用插值多项式进行积分得出来的，这样构造线性多步法的方法称为数值求积法，它是构造线性多步法的一种途径，另外还有Taylor法。(1)显式Adams方法2023/11/2611r=0，积分区间为q=1，显式格式，积分节点为从简单情况入手

Adams公式－－r=0

时候的多步法2023/11/2612所以二阶显式Adams方法2023/11/2613类似方法可通过增加节点得到更高精度的三阶显式Adams公式r=0，积分区间为q=2，显式格式，积分节点为所以2023/11/2614三阶显式Adams方法2023/11/2615同理再增加节点得到四阶显式Adams公式r=0，积分区间为q=3，显式格式，积分节点为所以2023/11/2616四阶显式Adams方法2023/11/2617其对应的局部截断误差为注：一般有，其中Bq与yn+1计算公式中fn,…,fn

q

各项的系数均可查表得到。10123qfnfn1fn2fn3…Bq…………………常用的是q=3

的4阶阿当姆斯显式公式(2)隐式Adams方法2023/11/2619隐式格式表明构造定积分的近似公式中包含了节点xn+1。类似显式公式的推导过程，可得到不同精度的隐式Adams公式r=0，积分区间为q=1，显式格式，积分节点为二阶隐式Adams方法2023/11/2620r=0，积分区间为q=2，显式格式，积分节点为三阶隐式Adams方法r=0，积分区间为q=2，显式格式，积分节点为四阶隐式Adams方法利用q+1

个节点上的被积函数值fn+1

,fn,…,fn

q+1

构造q

阶牛顿前插多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列隐式公式，并有，其中与fn+1

,fn,…,fn

q+1

的系数亦可查表得到。10123qfn+1fnfn1fn2…Bq…………………~常用的是q=3

的4阶阿当姆斯隐式公式较同阶显式稳定2023/11/2622

基于Taylor展开的构造法（待定系数法）将上式中的右端各项yn1,…,yn

r;fn+1,fn1,…,fn

r

分别在

xn点作泰勒展开，与精确解y(xn+1)在

xn点的泰勒展开作比较。通过令同类项系数相等，得到足以确定待定系数a0,…,ar;

1,

0,…,

r

的等式，则可构造出各阶线性多步法的公式。2023/11/2623例：推导最高阶的二步线性多步法二步显式多步法为左端展开后相同项系数相等，得到2023/11/2624解得因此得阶数最高的二步显式线性多步法为其局部截断误差为是三阶方法对应的二步隐式线性多步法为二步隐式多步法为五个可选参数是四阶方法2023/11/26252023/11/2626由泰勒展开推导Adams公式

确定式中待定系数，使公式具有四阶精度。由泰勒展开得2023/11/2627这里有7个未知量，5个方程，若令求解该方程即得四步四阶显式Adams公式：2023/11/2628Adams预估校正公式由于隐式Adams公式需要用迭代法进行求解，比较麻烦，仿照欧拉预估校正公式，常把阿当姆斯显式及隐式联立使用，即构造所谓阿当姆斯预估校正公式。以四阶阿当姆斯为例，将显式和隐式相结合，用显式公式做预报，再用隐式公式做校正，可构成阿当姆斯预报-校正格式。2023/11/2629预报：校正：

这种预报-校正格式是四步法，它在计算yn+1时不但用到前一步的信息yn,y′n

，而且要用到再前面三步的信息yn-1,y′n-2

,y′n-3，因此它不能自行启动。在实际计算时，可借助于某种单步法，譬如四阶龙格—库塔法提供开始值y1,y2,y3。与同阶的龙格库塔方法相比较，阿达姆斯方法计算量小，公式简单，程序易于实现。2023/11/26312023/11/2632解常微分方程初值问题小结

本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值解法。包括单步法和多步法。单步法主要有欧拉法、改进欧拉法和龙格—库塔方法。多步法是阿当姆斯法。它们都是基于把一个连续的定解问题离散化为一个差分方程来求解，是一种步进式的方法。用多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑算法的简易性和计算量，又要考虑截断误差和收敛性、稳定性。2023/11/2633

龙格-库塔法较为常用，适用于多步方法中作初值计算和函数f(x,y)较为简单的场合。四阶标准龙格—库塔法精度高，程序简单，易于改变步长，比较稳定，也是一个常用的方法，但计算量较大。当函数f(x,y)较为复杂，可用显式阿当姆斯方法或阿当姆斯预测—