（上海专用）高考数学总复习 专题10 立体几何分项练习（含解析）科试题

第十章立体几何一．基础题组1.【2017高考上海，4】已知球的体积为，则该球主视图的面积等于.【答案】【解析】设球的半径为R，则：，解得：，该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：.2.【2017高考上海，7】如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若的坐标为，则的坐标是.【答案】【解析】将向量的起点平移至点，则平移后的向量与向量关于平面对称，据此可得：.3.【2016高考上海文数】如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1中与直线EF相交的是（）.(A)直线AA1 (B)直线A1B1(C)直线A1D1 (D)直线B1C【答案】D【解析】试题分析：只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与都是异面直线，故选D．【考点】异面直线【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等.4.【2015高考上海理数】若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．【答案】【解析】【考点定位】正三棱柱的体积【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的体积为,区别锥的体积；熟记正三角形面积为，正六边形的面积为.5.【2015高考上海理数】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为【考点定位】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.6.【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】.【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.7.【2014上海,文8】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.【答案】24【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为.【考点】三视图，几何体的体积..8.【2013上海,理13】在xOy平面上，将两个半圆弧(x－1)2＋y2＝1(x≥1)和(x－3)2＋y2＝1(x≥3)、两条直线y＝1和y＝－1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为＋8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______．【答案】2π2＋16π9.【2013上海,文10】已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为，则＝______.【答案】【解析】由题知，.10.【2012上海,理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．【答案】【解析】如图，由题意知，∴l=2.又展开图为半圆，∴πl=2πr，∴r=1，故圆锥的高为，体积11.【2012上海,理14】如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a，c为常数，则四面体【答案】【解析】如图：当AB=BD=AC=CD=a时，该棱锥的体积最大．作AM⊥BC，连接DM，则BC⊥平面ADM，，.又AD=2c，∴.∴VD－ABC=VB－ADM+VC－ADM=.12.【2012上海,文5】一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________．【答案】6π【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.13.【2011上海,理7】若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______．【答案】【解析】14.【2011上海,文7】若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．【答案】3π【解析】15.【2010上海,理12】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为________；【答案】【解析】在折叠过程中，始终没有改变，所以最后形成的四面体中，底面，故其体积，故答案为：.【点评】本题属于典型的折叠问题，解题的关键是：抓住折叠前后哪些几何元素的位置关系发生了改变，哪些位置关系没有发生改变，本题中应用正方形的性质是解题的推手.16.【2010上海,文6】已知四棱椎P—ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱椎的体积是________．【答案】96【解析】底面正方形的面积S＝62＝36，又∵PA⊥底面ABCD，PA＝8，∴VP—ABCD＝×S×PA＝×36×8＝96.17.(2009上海,理5)如图,若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1【答案】18.(2009上海,理8)已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1+2R2=3R3,则它们的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是_____________.【答案】【解析】由题意S1=4πR12,S2=4πR22,S3=4πR32,则S1S2=16π2（R1R2)2,∴.又∵,∴=====.∴.19.(本题满分14分)(2009上海,理19)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C【答案】【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),设AC的中点为M,∵BM⊥AC,BM⊥CC1,∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A设平面A1B1C=(-2,2,-2),=(-2,0,0),∴n·=-2x=0,n·=-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n=(0,1,1),设法向量n与的夹角为φ，二面角B1-A1C-C1的大小为θ，显然θ为锐角.∵cosθ=|cosφ|=,解得,∴二面角B1-A1C-C1的大小为.20.(2009上海,文6)若球O1、O2表面积之比,则它们的半径之比=__________.【答案】2【解析】由,得.21.(2009上海,文8)若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________.【答案】【解析】由题意可知,该几何体是底面半径r=2,高h=2的圆锥,则其体积.22.(2009上海,文16)如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是（）【答案】B【解析】由于主视图是在几何体的正前方,用垂直于投影面的光线照射几何体而得到的投影,易知图形B符合题意.23.【2008上海,理16】(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC124.【2007上海,理10】平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为.试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件25.【2007上海,文7】如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】26.【2007上海,文16】（本题满分12分）在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，求正四棱锥的体积.【答案】【解析】作平面，垂足为.连接，是正方形的中心，是直线与平面所成的角.＝，.，，，.27.【2006上海,文16】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A）48（B）18（C）24（D）36【答案】D28.【2005上海,理11】有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________.【答案】【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况四棱柱有一种，就是边长为的边重合在一起，表面积为24+28三棱柱有两种，边长为的边重合在一起，表面积为24+32边长为的边重合在一起，表面积为24+36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为12+48最小的是一个四棱柱，这说明29.【2005上海,理17】（本题满分12分）已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】【解析】由题意AB//CD，是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得，又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，得又在中，可得，在∴异而直线BC1与DC所成角的大小为如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.则C1（0，1，2），B（2，4，0）所成的角为，则∴异面直线BC1与DC所成角的大小为二．能力题组30.【2016高考上海文数】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.【答案】（1），；（2）．圆柱的体积，圆柱的侧面积．（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则，所以或其补角为与所成的角．由长为，可知，由长为，可知，，所以异面直线与所成的角的大小为．【考点】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答此类试题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.31.【2016高考上海理数】（本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径，，再由三角形面积公式计算后即得.（2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与所成的角，再结合题设条件确定，．得出即可．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．由的长为，可知．，．在中，因为，，，所以，从而直线与所成的角的大小为．【考点】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.32.【2015高考上海理数】（本题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.【答案】【解析】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、、．因为，，所以，因此直线与共面，即、、、共面．设平面的法向量为，则，，又，，故，解得．取，得平面的一个法向量．又，故．因此直线与平面所成的角的大小为．【考点定位】空间向量求线面角【名师点睛】(1)设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)(其中φ为异面直线a，b所成的角)．(2)设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|n·e|,|n||e|).(3)n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．33.【2015高考上海文数】（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点.已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角的大小.【答案】【解析】因为，，所以三棱锥的体积．因为，所以异面直线与所成的角就是与的夹角.在中，，，过作，则，在中，，所以异面直线与所成角的大小.【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.【名师点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．34.【2013上海,理19】如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝1，AA′＝1.证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．【答案】因为＝(－1,0，－1)，所以n·＝0，所以n⊥.又BC′不在平面D′AC内，所以直线BC′与平面D′AC平行．由＝(1,0,0)，得点B到平面D′AC的距离d＝＝＝，所以直线BC′到平面D′AC的距离为.35.【2013上海,文19】如图，正三棱锥O－ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．【答案】体积为，表面积为【解析】由已知条件可知，正三棱锥O－ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，经计算得底面△ABC的面积为.所以该三棱锥的体积为.设O′是正三角形ABC的中心．由正三棱锥的性质可知，OO′垂直于平面ABC.延长AO′交BC于D，得AD＝，.又因为OO′＝1，所以正三棱锥的斜高OD＝.故侧面积为×6×＝.所以该三棱锥的表面积为＋＝，因此，所求三棱锥的体积为，表面积为.36.【2012上海,理19】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，，PA＝2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．【答案】(1);(2)【解析】(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．从而CD⊥PD．因为，CD＝2，所以三角形PCD的面积为.(2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,,0)，E(1,,1)．＝(1,,1)，＝(0,,0)．设与的夹角为θ，则，.由此知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.解法二：取PB中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由，，AE＝2，知△AEF是等腰直角三角形．所以∠AEF＝.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.37.【2011上海,理21】已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A－B1D1－A1的大小为β.求证：；(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．【答案】(1)参考解析;(2)2【解析】设正四棱柱的高为h.(1)证明：连AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1，∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成角，∴∠AB1A∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1.又A1C1⊥B1D1∴∠AO1A1是二面角A－B1D1－A1的一个平面角，∴∠AO1A1＝在Rt△AB1A1中，；在Rt△AO1A1中，.∴.得u＝hw，v＝hw，∴n＝(hw，hw，w)．令w＝1，得n＝(h，h,1)．由点C到平面AB1D1的距离为，解得高h＝2.解法二：连AC，CB1，CD1.一方面，则四面体AB1D1C的体积.另一方面，设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为V1，三棱锥C－B1C1D1的体积为V2，则据此，得，解得高h＝2.38.【2011上海,文20】已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1(1)异面直线BD与AB1所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)四面体AB1D1C【答案】(1);(2)【解析】(1)连结BD，AB1，B1D1，AD1.∵BD∥B1D1，AB1＝AD1，∴∠AB1D1为异面直线BD与AB1所成角，记为α.∵，∴异面直线BD与AB1所成角的大小为.(2)连结AC，CB1，CD1.设正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为V1，三棱锥C­B1C1D1的体积为V2，则四面体AB1D1C的体积V＝V1－4V1＝2，.∴所求体积.39.【2010上海,理21】(本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）.【答案】（1）（2）【解析】(1)设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0<r<0.6)，，

所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；

(2)当r0.3时，l0.6，建立空间直角坐标系，可得，，

设向量与的夹角为，则，

所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为．【点评】本题以圆柱形灯笼为载体，考查二次函数的实际应用、异面直线所成角的概念与求法，由此看出，立体几何板块难度比去年有所上升.40.【2010上海,文20】如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．【答案】(1)当半径r＝0.4(米)时，Smax＝0.48π≈1.51(平方米);(2)参考解析41.【2007上海,理16】体积为1的直三棱柱中，，，求直线与平面所成角.【答案】42.【2006上海,理19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】（1）2;（2）arccos【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.(2)解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－,0),B(1,0,0),D(－1,0,0)P(