2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第二十三讲基本不等式的应用（一）（原卷版）

第二十三讲：基本不等式的应用（一）【教学目标】1．掌握对应的基本不等式求解最值2．掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值【基础知识】基本不等式：（1）；（2）.基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．【题型目录】考点一：公式直接应用考点二：凑项考点三：凑系数考点四：分离考点五：常数代换（1代换）考点六：平方考点七：消元考点八：构建目标不等式【考点剖析】考点一：公式直接应用基本不等式：积定和最小，和定积最大.例1．已知，则的最大值为（） A． B． C．1 D．2变式训练1．已知，且，则的最大值为（） A．36 B．25 C．16 D．9变式训练2．已知，且，则的最小值为（） A． B． C．1 D．2变式训练3．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（） A． B． C． D．考点二：凑项凑项：凑出乘积为定值的值.例2．函数有（） A．最大值 B．最小值 C．最大值4 D．最小值4变式训练1．函数在上的最小值是（） A．2 B．1 C．2 D．3变式训练2．已知实数x满足，则的最大值为（） A． B．0 C．4 D．8变式训练3．的最小值等于（） A．3 B． C．2 D．无最小值考点三：凑系数凑系数：凑出和为定值的值.例3．已知，则当取最大值时，的值为（） A． B． C． D．变式训练1．若，则取最大值时x的值是（） A． B． C． D．变式训练2．已知正数，满足，则的最大值为（） A．2 B．1 C． D．变式训练3．设，则的最大值为（） A．1 B． C． D．考点四：分离例4．函数的最小值是（） A． B．3 C．6 D．12变式训练1．当时，函数的最小值为（） A． B． C． D．4变式训练2．已知正实数x，则的最大值是（） A． B． C． D．变式训练3．若函数在处取最小值，则（） A． B．2 C．4 D．6考点五：常数代换（1代换）构造一个条件为的等式，目标函数乘，化简求解.例5．若，则的最小值为（） A． B． C． D．变式训练1．若正实数，满足．则的最小值为（） A．12 B．25 C．27 D．36变式训练2．设为正实数，且，则的最小值为（） A． B． C． D．变式训练3．已知正数满足，则的最小值为（） A． B． C． D．考点六：平方例6．已知为正实数，，求的最大值．变式训练1．若，则函数的最大值为（） A． B． C． D．变式训练2．设正数，满足，则的最大值为（） A． B． C． D．变式训练3．已知，且，则的最大值为（） A． B． C．3 D．4考点七：消元例7．已知，则的最小值为（） A． B． C． D．变式训练1．已知正数满足，则的最小值为（） A．1 B． C．2 D．变式训练2．若，，且，则的最小值是（） A．5 B．8 C．13 D．16变式训练3．设，为正实数，若，则的最小值是（） A．4 B．3 C．2 D．1考点八：构建目标不等式例8．已知，则的最大值为（） A．1 B．2 C． D．4变式训练1．已知，，且，则的最小值为（） A．2 B．3 C． D．变式训练2．已知，且，则的取值范围是（） A． B． C． D．变式训练3．已知正数、满足，则的最大值为（） A． B． C． D．【课堂小结】1．知识清单：(1)利用基本不等式求最值．(2)利用基本不等式求解取值范围．(3)基本不等式的综合应用．2．方法归纳：配凑法、常值代换法．3．常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)．【课后作业】1、若a，b为实数，且，则的最小值为（） A． B． C．3 D．22、已知为正实数，且，则的最大值为（） A．1 B．2 C． D．3、若，则的最值情况是（） A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值24、的最小值为（） A． B． C． D．5、已知都是正实数，且，则的最大值是（） A． B． C．1 D．6、若，则的最大值为（） A．1 B． C． D．7、若正实数满足，则的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．48、已知，则的最小值是（） A．1 B．4 C．7 D．9、已知，则的最小值为（） A．－2 B．0 C．1 D．10、已知函数的定义域为，则的最大值为（） A．5 B． C．1 D．11、已知，t为常数，且的最大值为，则等于（） A． B．2 C． D．412、下列函数中，最小值为2的是（） A． B． C． D．13、下列命题中正确的是（） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为14、已知，则有（） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值315、函数的最大值为（） A．3 B．2 C．1 D．116、若函数在处取最小值，则（） A． B．2 C．4 D．617、下列说法正确的为（） A． B．函数的最小值为4 C．若则最大值为1 D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值818、已知，，，则的最小值是（） A．3 B．4 C．5 D．619、已知非负数满足，则的最小值是（） A．3 B．4 C．10 D．1620、设为正数，且，则的最小值为（） A． B． C． D．21、已知正实数、满足，则的最小值为（） A． B． C． D．22、设，，则的最小值为（） A． B． C． D．23、已知，，则的最小值为（） A． B． C． D．24、已知，则的最小值为（） A．20 B．32 C． D．25、已知正实数，满足，则的最小值是（） A．25 B．18 C．16 D．826、已知正数满足，则的最大值是（）