《等腰三角形》课前学习活动设计

鲁教版七年级上册--第十章第2节

《等腰三角形》课前学习活动设计

【活动一】体会证明的必要性

情境1

某学习小组发现，当n=0,1,2,3时:代数式「-n+ll的值都是质数，于是得到结论:

对于所有自然数n,r?-n+ll的值都是质数.你认为呢？与同伴交流.

参考答案：列表归纳为

n01234567891011・・・

n'-n+ll11111317233141536783101121

是否为质

是是是是是是是是是是是不是

数

活动目的:

对现在结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性），从而对不完

全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供必要的精神准备.

注意事项：

学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n'-n+ll是一个

质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学

结论的正确性.

情境2：

如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁

丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？

能放进一个拳头吗？

参考答案：设赤道周长为c,铁丝与地球赤道之间的间隙为：

««0.16(m)

2JT2第2”

它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.

活动目的:

通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的

直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材.

注意事项：

要充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算，

结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生，这样就达不到预想的要

求，不能让学生留下深刻的印象.

通过以上两个数学活动情境，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑，从而知道

了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有一效的证明才能对其进行肯定.也即：要判

断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的推

理.

【活动二】回顾命题的结构

活动内容

1.探讨命题的结构特征

观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？

(1)如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等.

(2)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等.

(3)如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.

(4)如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形.

(5)如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形.

2.总结命题的结构特征

(1)上述命题都是“如果……，那么……”的形式.

(2)“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论.

(3)一般地命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分

是条件，“那么”引出的结论，每个命题都有条件和结论.

活动目的：对命题的结构进行分析，让学生会判断一个命题的条件和结论.

注意事项：

分小组交流讨论，教师引导进行归纳.

应告诫学生当一个命题改写成“如果……那么……”的形式时，要注意改写时不要机械

地添上“如果”和“那么”，应适当地补充一些修饰语句，使改写后的语句通顺，完整。

【活动三】回顾命题证明的格式

活动内容:

命题证明：同角的补角相等。

活动目的：

通过命题的证明，使学生充分回顾证明一个命题的正确性，要按“已知”“求证”“证明”

的顺序和格式写出。其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是

由条件（已知）出发，根据已给出的定义，基本事实和已经证明的定理，经过一步一步的推

理，最后证实结论（求证）的过程。

鲁教版七年级上册--第I一章第2节

《等腰三角形》课堂活动教学设计

学习目标：

1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，进一步体会证明的必要性。

2.能用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理，发展推理能力。

3.能运用等腰三角形的性质定理和判定定理进行论证解题。

教学重点、难点：

教学重点：进一步明确证明的必要性，掌握推理证明的基本要求。

教学难点：探索证明等腰三角形性质定理及判定定理的思路和方法，掌握基本证明步骤

和要求。

评价方法设计：

1.通过环节一的问题2、环节二的问题2,检测目标1的达成。

2.通过环节二的问题3-5、环节三的问题1、环节四的问题1,检测目标2的达成。

3.通过环节三的“练一练”、环节四的问题2,检测目标3的达成。

教学过程：

一、创设情境，导入课题

【师生活动】

1.问题1：我们生活在丰富多彩的图形世界里，各种图形装点着我们的生活，我们一

起来欣赏一组生活中的图片。在这几幅图片中，都包含着一类特殊的三角形，你能找到吗？

你是如何判断出等腰三角形的？

设计目的：

(1)通过一组生活图片，引领学生观察、思考、判断，尝试把现实生活中的物体抽象

成几何图形，激发学生的学习兴趣及求知欲。

(2)通过等腰三角形的判断依据，回顾等腰三角形的定义，使学生体会“定义”可以

做为等腰三角形的一种判定方法，也可以做为等腰三角形的一个性质，从而为下一步的动手

操作及说理做好铺垫。

活动预期:通过观察、判断，大多数学生能从图片中抽象出等腰三角形，并能用“定义”

做为判定等腰三角形的一个方法，而其做为“性质”来用，少部分同学可能有所遗忘，教师

可尝试运用启发性的语言进行引导，如“等腰三角形的定义可以带来什么样的性质？”，引

领学生充分回顾好等腰三角形的定义及作用。

2.问题2:你能运用手中的长方形纸片，一剪刀剪出一个等腰三角形吗？(可以折叠，

但不允许度量)

你能利用等腰△的定义说明这样操作的道理吗？

设计目的：

(1)通过挑战性的动手操作活动，调动学生的参与热情，激发他们的探究欲望。

(2)通过“利用定义说明操作道理”这一说理过程，使学生发现有的操作方法可以直

接利用定义说理，有的操作方法却不能直接利用定义推理，引发学习新知的必要性。

活动预期:经过认真思考及以往的操作体验,大多数学生可以一剪刀剪出一个等腰三角

形，而对于小部分有困难的学生，教师可以鼓励其与同伴合作完成。当剪出等腰三角形后，

有的学生能够直接利用定义说明，有的学生则会发现自己的操作方法不能直接利用定义去说

明，教师可给学生留下疑问，从而激起学生的认知冲突，为后续学习做好充分的铺垫。

3.教师板书课题并出示学习目标。

设计目的：出示本节课的学习目标，使学生的课堂学习有明确的方向，促进学生在课堂

的各个环节里主动地围绕目标探索,更好地达成学习目标。

活动预期:对于目标意识有欠缺的同学，教师可在教学过程中适时强化学习目标。

二、温故探新，规范证明

【师生活动】

1.问题1：等腰三角形除了两腰相等，在上学期的学习中，我们还通过折纸活动，探索

并发现了等腰三角形的哪些性质？

设计目的：引领学生尽可能回忆起探索过的等腰三角形有关性质，为下一步的命题证明

做准备。

活动预期：如果学生回忆有困难，教师可以引导学生利用手中的等腰三角形纸片回忆之

前的折纸过程，也可以运用课件演示激起学生的回忆。如果学生的表述不全面，或者命题表

述语言不够严谨，可以通过其他同学的补充完成回顾。

2.问题2：通过折纸活动探索并发现的性质，可以直接当做真命题吗？教师引导学生回顾

命题证明的顺序和格式。

设计目的：

(1)通过折纸活动发现的性质并不能直接当做推理的依据，进一步强化学生对证明必

要性的认识。

(2)通过对命题证明顺序及格式的回顾，为学生规范证明格式做好铺垫。

活动预期:学生进一步明确了证明的必要性，而对于证明的顺序，虽然有了一定的认识，

但可能不熟练，所以要在证明之前做好回顾，并在学习中继续强化。

3.教师引导学生说出命题的条件和结论，学生尝试根据命题画出图形，写出“已知”、

“求证”。

设计目的：培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力。

活动预期：对于转换有困难及转换不规范的学生，可以通过其他的学生交流予以补充和

完善，必要时教师做转化指导。

4.学生独立思考证明过程后，再把证明过程放到小组中交流，鼓励学生尝试运用多种方

法解决，小组代表准备交流证明方法。

设计目的：通过与他人的交流，比较证明方法的异同，提高学生的逻辑思维水平。

活动预期：如果学生没有证明思路，教师可以引导学生通过回顾折纸过程，从而带来证

明启示。

5.请小组代表交流证明思路及证明步骤，其他同学补充完善，并选择自己喜欢的方法将

证明过程完成。

设计目的：

(1)通过方法交流，关注学生能否获得证明的思路，能否用规范的数学语言表达思考的

过程，能否尝试用不同的方法去证明命题。

(2)通过书写证明过程，进一步规范学生推理的严密性。

活动预期：在证明过程中，辅助线的规范描述可能有问题，推理过程也可能有欠缺，教

师在教学时要注意引导学生规范证明步骤。

6.引导总结等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，简述为等边对等角。

并尝试运用符号语言表示性质定理lo

设计目的：

(1)通过归纳总结等腰三角形的性质定理1,使学生养成及时总结的好习惯。

(2)通过“文字语言”到“符号语言”的转换，使学生明确性质定理的运用格式。

活动预期：大多数学生能够完成“文字语言”到“符号语言”的转化，对于少数有困难

的学生，教师可以从推理依据的填法引导其加以体会。

三、拾级而上，更进一步

【师生活动】

1.问题1：在前面研究问题的图形中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能继续

证明等腰三角形的第二个性质吗？

设计目的:在证明全等三角形的基础上，自然引入学生对性质2的证明，水到渠成。

活动预期：部分学生如果有疑惑，可以尝试作其它辅助线的做法证明并交流，充分体会

得到此性质的推理依据。

2.总结等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高

互相重合，简述为“三线合一”。并尝试用符号语言表示性质定理2.

设计目的：

(1)通过归纳总结等腰三角形的性质定理2,使学生养成及时总结的好习惯。

(2)通过“文字语言"到‘‘符号语言”的转换，使学生明确性质定理的运用格式。

活动预期:在“文字语言”转化为“符号语言”过程中，如果学生有困难，教师可以先

引导学生完成第1种情况的填法，引导学生完成转换。

3.练一练：已知在△力比•中，AB=AC,/砌C、=120°,

延长勿到〃使5=4C,则/的=____度;

若过点。作CEVAD,且4后3,则A庆.

设计目的：学生尝试运用等腰三角形的性质定理进行推理解题。

活动预期：大多数学生能够应用等腰三角形的性质定理进行论证解题，对于有困难的同

学可通过与同桌交流，体会性质定理的应用。

四、逆向思考，自主证明

【师生活动】

1.议一议：前面学习中，我们已经证明了等腰三角形的两个底角相等，那么反过来，有

两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你能完成证明吗？学生尝试自主完成命题的证明。

设计目的：

(1)引导学生养成“反过来”思考问题的意识，使学生体会这一获得数学结论的途径。

(2)通过学生自主完成命题的证明过程，关注学生能否类比性质定理1的证明方法，

尝试用不同的方法完成对命题的证明，关注学生能够规范地完成一个命题的证明。

活动预期：在'’等边对等角”的证明过程中，学生积累了充分的解题经验，教师可鼓励

学生尝试用不同方法完成证明，对于有困难的学生，教师注意引导，并鼓励学生按要求将推

理过程书写出来。

2.总结等腰三角形判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形,简述为等角对等边。

并尝试运用符号语言表示这个定理。

设计目的：

(1)通过归纳总结等腰三角形的判定定理，使学生养成及时总结的好习惯。

(2)通过“文字语言"到'‘符号语言”的转换，使学生明确判定定理的运用格式。

活动预期：多数学生能够完成“文字语言”到“符号语言”的转化，对于少数有困难的

学生，可以从推理依据的填法引导其加以体会。

3.问题2：我们再来回顾“一刀剪等腰三角形”的问题，你能运用等腰三角形的判定定

理说明吗？

设计目的：通过运用等腰三角形的判定定理说理，一方面使学生进一步明确，除了基本

事实及定义，只有经过推理证明得到的定理才能做为解题的理论依据，另一方面，也考查了

学生灵活运用判定定理解决问题的能力。

活动预期：多数学生可以尝试运用等腰三角形的判定定理说理，对于有困难的同学，引

导他们认真倾听，体会同伴的说理方法，必要时教师做好指导。

五、课堂小结，交流反馈

【师生活动】

问题：你能试着对本节课所学内容做一下总结吗？你有哪些感受与收获？

教师引领总结提升。

设计目的：

(1)通过学生总结，培养学生的归纳、概括能力，促进学生养成反思的良好习惯。

(2)通过教师引领，提升学生对于几何图形的认识。

活动预期：通过学习小结的归纳，进一步体会证明的必要性，学生的定理体系进一步扩

张，为以后的证明提供了更加广阔的思路。教师引导学生从四大角度来看等腰三角形，提升

学生的数学素养。

六分层作业，延伸提高

1.必做题：

(1)如图所示，木工师傅用到的三角测平架中，AB=AC,R、？

在BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂，调整架身，

如果点A恰好在重锤线上，则BC就处于水平位置。A、.

你能说明其中的道理吗？'

(2)习题10.4第3题

2.选做题：

按证明命题的格式，将证明命题“等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高

线互相重合”的完整证明过程完成在作业本上。

设计目的：分层作业可以使不同的学生得到不同层次的提高。必做题让学生进一步体会

等腰三角形知识在生活中的应用，加深学生对于性质定理及判定定理的理解应用;选做题则

进一步提高学生的规范组织证明步骤的能力。

活动预期：学生充分体会数学知识在生活中的应用，激发其进一步学习数学的兴趣和学

好数学的信心。对于作业题推理过程不严密的学生，可以在下节课中交流完善。

鲁教版七年级下册第十章第2节

《等腰三角形》学情分析

等腰三角形是一种常见的几何图形，学生在七年级上册已经通过折纸的方法，探索并发

现了等腰三角形的性质，之后，又通过学习《平行线的有关证明》，感受了证明的必要性，

并通过平行线有关命题的证明，掌握了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明

经验，这些都为本节有关命题的证明做了很好的铺垫。

但由于本节课的结论学生之前已探索过，因此在证明过程中，一部分学习基础较差的学

生会忘记等腰三角形性质及判定的探索方法；一部分对于“证明过程”理解不够到位的学生

可能会出现一些“循环论证”的现象等等，所以，在课前应让学生做好3个方面的知识基础

及生活经验准备：

1.充分回顾七年级上册通过“折纸试验”对于等腰三角形的性质及判定的探索过程。

2.对七年级下册第八章第2节《证明的必要性》一节的有关知识做充分回顾。

3.对七年级下册第八章第3节《基本事实与定理》一节中有关“证明的基本格式”做

充分回顾。

鲁教版七年级下册第十章第2节

《等腰三角形》效果分析

1.评价测量方法

课上主要通过统计学生举手频数、巡视观察、课堂回答等方式；课后主要通过检查

学生学案完成情况批阅、个别谈话交流、作业完成情况等方式对学生的学习效果进行检

查测量。

2.评价测量结果

\分类

目标达成高目标达鳗好目标达成一般目标未达成

人数

环节一820155

环节二1520103

环节三1222104

环节四162165

3.评测结果分析

【学习效果分析】

(1)通过课前必要的学习活动设计，学生较为顺利进入学习新知的节奏，学生学习

主动、热情，有比较浓厚的兴趣，合作学习的热情较高。

（2）学生的学习差异性较为明显。在环节1的完成方面，由于学生在本节课首次接

触证明，多数学生的证明过程严密性不够，学习目标达成率较低；而在环节2及环节3,

学生可以应用七年级上册探索及本节课的证明，目标达成率较高；经过大半节课的有效

学习，环节4的目标达成率提高明显。

【教学效果分析】

（1）在备课方面，深入研究教材、精心设计教学过程；努力实践应用数学学科《课程标

准》中提出的课程基本理念及所教年级具体教学目标与要求；备课详细、实用，能依据教学

目标与要求在教学设计中认真落实课程基本理念，充分体现“教为主导”的理念。

（2）在上课方面，努力将课程基本理念转化为教学实践行为；教学目标达成较好、课堂气

氛热烈、教学效果较好。

鲁教版七年级下册第十章第2节

《等腰三角形》教材分析

1.教学内容：

《等腰三角形》是鲁教版数学七年级下册第十章第二节的内容。学生在七年级上学期

对于等腰三角形的性质及判定已有过探索发现，但对于性质及判定的有关理论没有进行严格

的证明。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质以外，还具有一些

特殊的性质。它是轴对称图形，具有对称性，本节课就是要利用对称的知识来研究等腰三角

形的有关性质，并利用全等三角形的知识证明这些性质。因此人教版、苏教版、华师大版版

本中等都是放在轴对称图形一章中研究，鲁教版的编排按“七上探索、七下证明”螺旋上升

的方式引领学生学习与等腰三角形有关的知识，其他版本多是将“探索与证明”放在一起完

成。

2.在教材中的地位和作用：

等腰三角形的性质定理及判定定理的证明，既体现了全等三角形知识的应用，也为学生

在以后解题中证明角相等、线段相等、线段垂直等提供了重要依据。所以，本节内容在教材

中起着重要的承前启后作用。

在本册教材第八章“平行线的有关证明”中，教科书正式引入演绎推理的方法及综合法

证明的表达形式，从几条基本事实出发，对与平行线有关的几何命题进行严格的证明。本节

课将继续依据“平行线的有关证明”及“全等三角形”给出的基本事实、已经证明过的定

理，证明等腰三角形的性质定理及判定定理，所以本节课的教学重点是通过对等腰三角形性

质及判定定理的推理证明过程，使学生进一步明确证明的必要性，培养学生进一步掌握推理

证明的基本要求，发展推理能力。掌握基本证明步骤和要求，探索证明等腰三角形性质定理

及判定定理的思路和方法是本节课的教学难点。

3.课时、课型说明：

本节课为第二节《等腰三角形》第一课时，教学中应运用1个课时，课型为“自主合作

探究”模式下的新授课型。

第十章《三角形的有关证明》

第二节等腰三角形

1.证明：等腰三角形的两个底角相等。

（1）依据命题的条件和结论，画出图形，写出“已知”，“求证”。

已知：

求证：

（2）完成证明。

证明：

（3）归纳总结:

等腰三角形性质定理1：等腰三角形的o简述为.

（4）根据等腰三角形性质定理1填空:

已知，如图，在△48。中，AB=AC.

：.ZB=ZC.)

2.根据等腰三角形性质定理2填空:

己知：如图，在aABC中，AB=AC.

(1)•••/〃是顶角的平分线，

±,=

⑵是底边上的中线

±,Z=Z

(3)VADLBC,

/.Z=Z，=

3.K练一练U

已知在△/比'中，AB=AC,ZBAC=120°,

延长6。至使49=47,则/如=度。

若过点。作CELAD,垂足为E,且/田3,B

则助的长为。

4.求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

(1)已知:

求证:

⑵证明:

(3)归纳总结:

等腰三角形判定定理：的三角形是等腰三角形，简述

为=

(4)根据根据等腰三角形判定定理填空。

己知，如图，在△46。中，N8=NC

二AB=AC.()

K备用题5

己知：如图，/C和劭相交于点0,46〃OA=OB.

求证：OOOD

K作业题UD

1.如图所示，木工师傅用到的三角测平架中，4是/C在ill

切的中点〃处挂一个重锤，自然下垂，调整架身，如果点、:良/

A恰好在重锤线上，则比'就处于水平位置。你能说明其中的道理吗？A

2.习题10.4第3题

选做题：将证明命题“等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重

合”的完整证明过程完成在作业本上。

鲁教版七年级下册第十章第2节

《等腰三角形》课后反思

《等腰三角形》是鲁版版七年级下册第十章第二节的内容，本节课是第一课时。等腰三

角形是一种特殊的三角形，学生在七年级上学期对于等腰三角形的性质及判定已有过探索发

现，但对于性质及判定的有关理论没有进行严格的证明。等腰三角形是一种特殊的三角形,

它除了具有一般三角形的性质以外，还具有一些特殊的性质。它是轴对称图形,具有对称性，

本节课就是要利用对称的知识来研究等腰三角形的有关性质，并利用全等三角形的知识证明

这些性质。现将课后反思说明如下：

一、主要优点

1.充分使学生经历“探索一发现一猜想一证明”的过程。

学生在七年级上册已经通过折纸的方法，探索并发现了等腰三角形的性质，之后，又通

过学习《平行线的有关证明》，感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明，掌握

了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验，这些都为本节有关命题的证明

做了很好的铺垫。

无论是等腰三角形“等边对等角”的性质，还是“三线合一”的性质，我在教学中

都注重引导学生回忆之前的折纸过程，从而引导学生发现证明的思路。实际教学过程中，我

发现学生的回忆以及对于性质的证明思路都是有一定的难度。所在这一环节上，我通过观察

实验的数学方法突破此难点。先拿出一张长方形纸，让学生想办法剪出一个三角形。让学生

通过观察得到所剪得三角形是等腰三角形。通过找重合的线段、重合的角，发现等腰三角形

“等边对等角”的性质。但怎样用数学符号表示条件和结论？对于基础差点的学生可能就不

会表示了。在教学过程中假设情境，让学生尝试用符号语言表示。在aABC中，•••AB=AC,

.,.ZB=ZC»而证明这一性质的关键在于作辅助线，引导学生通过折纸试验得到启发一一折

痕就是我们用于证明时要添加的辅助线，从而让学生掌握到添加辅助线的方法。在证明角相

等时，通过数学的转化思想证明角所在的两个三角形全等。通过刚才找重合的线段、重合的

角得到等腰三角形的另一个性质“三线合一”。同时对学生进行强调：用几何符号应用“三

线合一”，必须以“等腰三角形”及“某一线”为前提。

2.淡化等腰三角形的性质及判定的运用

本节课的教学重点是：通过对等腰三角形有关性质及判定的探索证明，使学生进一步明

确证明的必要性，掌握推理证明的基本要求；而教学难点是探索证明等腰三角形性质定理及

判定定理的思路和方法，掌握基本证明步骤和要求。基于以上教学重难点，

对于等腰三角形的性质及判定的运用应淡化处理，可以在以后的课时中重点应用。在本

节课的教学设计中，在探索证明完等腰三角形的性质之后，预设了一个性质1及性质2的应

用练习，但在具体授课过程中，发现学生探索及证明花费的时间较长，所以在课堂中就没有

进行应用练习，这也不违背本节课学习目标的达成及重点难点的处理，所以本节课判定及判

定的应用主要在于“符号语言”的合理表示层面。

3.灵活运用教学方法及教学策略，提升教学效果。

在教学中我坚持启发式、探究式、参与式教学方式，教学中问题的设置都有明确的导

向性。剪三角形中渗透“观察与实验”的数学方法，让学生探索出等腰三角形的两个性质；

在性质及判定的证明过程中，充分运用动手操作，引导学生发现证明的思路；在等腰三角形

的性质2的探索证明中，注重对学生进行分类讨论等数学思想方法的渗透。

4.问题设置由浅入深，层层递