北京大学数学物理方法经典课件第五章-傅里叶变换

第五章傅里叶变换对自然界的最深刻的研究是数学最富饶的源泉。----傅里叶2023最新整理收集do

something2学习要求与内容提要目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里叶级数展开法；掌握周期函数的傅里叶展开、定义和性质；δ函数的定义与性质。重点：难点：傅里叶变换、δ函数。δ函数的概念。

1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献:“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”

——傅里叶的第二个主要论点5.1傅里叶级数4

1.波的叠加

在普通物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如Asin(ωt+φ)的波,其中A是振幅,ω是角频率,φ

是初相位.其他的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.（一）周期函数的傅里叶展开非正弦周期函数:矩形波可以用不同频率正弦波叠加构成！56由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)=f(x)

可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.7[-l,l]上的积分等于

0.①其中任意两个不同的函数之积在

2.

三角函数族及其正交性引入三角函数族上的积分不等于0.②两个相同的函数的乘积在[-l,l]8证:同理可证:①任意两个不同的函数之积在[-l,l]上的积分等于0.9同理可证:10②两个相同的函数的乘积在[-l,l]上的积分不等于0.证:11如果周期为2l

的函数

f(x)满足收敛定理条件,则它可以展开式为下列级数(在

f(x)的连续点处)

3.周期函数的傅里叶展开①式①称为f(x)的傅里叶级数

.式中a0,ak,bk称为函数f(x)的傅里叶系数;问题:

a0,ak,bk

等于什么?我们利用三角函数族的正交性来求解12对①在[-l,l]逐项积分,得①乘

在[-l,l]逐项积分并运用正交性,得由三角函数的正交性0由三角函数的正交性得0n=k由三角函数的正交性013类似地,用

sinkπξ/l

乘①式两边,再逐项积分可得归纳:14(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，且在收敛点有：在间断点有：狄里希利定理

:

若函数f(x)满足条件：

4.傅里叶级数的收敛性定理注:第一类间断点如果f(x)在间断点x0处左右极限存在,则称点x0为f(x)的第一类间断点.15其中(在f(x)的连续点处)

如果

f(x)为奇函数,

则a0和ak均为零，即有傅里叶正弦级数（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开说明：16如果

f(x)

为偶函数,则bk为零，即有傅里叶余弦级数(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点

x处,傅里叶级数都收敛于说明：17当函数定义在任意有限区间上时,变换法令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在回代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:（三）有限区间中的函数的傅里叶展开*(自学)18延拓法在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓19利用欧拉公式已知周期为

2l的周期函数f(x)可展开为级数：（四）复数形式的傅里叶展开20注意到同理21傅里叶级数的复数形式:因此得例2：矩形波解：coskπk=2n:coskπ=1k=2n+1:coskπ=-1231.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x

间断点)其中当f(x)为奇(偶)函数时,为正弦(余弦)级数.2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出内容小结2412§5.1作业25周期函数的性质是f(x+2l)=f(x),x每增大2l，函数值就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期2l∞的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“傅里叶积分”。5.2傅里叶积分与傅里叶变换考察复数形式的傅里叶级数:（一）傅里叶变换2626非周期函数的复数形式的形式“傅里叶级数”:引入新参量：上式改写为：27令有若有限，则非周期函数可以展开为称f(x)的傅里叶变换称F(ω)的逆傅里叶变换像函数原函数注意到：28傅里叶积分定理：若函数

f(x)

在区间(-

，+)上满足条件:(1)在任意有限区间满足狄里希利条件；

(2)在区间(-

，+)上绝对可积（即收敛），则f(x)

可表为傅里叶积分，且傅里叶积分值=f(x)的傅里叶变换式29奇函数与偶函数的傅里叶变换傅里叶变换对30

当f(x)是偶函数

当f(x)是奇函数

进一步注意到

当f(x)是偶函数

同理,当f(x)是奇函数

31例1定义:矩形函数为将矩形脉冲展开为傅里叶积分。解:矩形脉冲函数的周期为[-T,T],如右图.32(1)导数定理（二）傅里叶变换的基本性质根据傅里叶积分定理，33(2)积分定理由变上限积分定理：由导数定理利用导数定理证明，记(3)相似性定理空域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）

f(x/2)压缩扩展35(4)延迟定理(5)位移定理36例2求：的频谱？解：由位移定理37若(6)卷积定理和则卷积定义38卷积卷积定理反映了两个傅立叶变换之间的关系，它构成了空间域和频率域之间的基本关系。卷积对深入理解在傅立叶变换基础上的图像处理技术是十分重要的。其中

是积分伪变量。

两个函数f(x)和g(x)的卷积记作f(x)*g(x)，由下式所定义：39f()

011g(-)

0-11/2g(x-)

0-11/2xg()

011/2f(x)xg(x)x011011/2例：求如图所示的f(x)*g(x)，即卷积积分的图解计算40f()

g(x-)

0-11/211x0

x1卷积为：x/2

0-11/2x-1f()

g(x-)1x11

x2卷积为：1-x/2x0-11/211f(x)*

g(x)

x/20

x1f(x)*g(x)=1-x/21

x20其它（7）帕塞瓦尔等式——能量守恒42(三)．傅里叶变换的物理意义求和振幅谱

相位谱43(四)高维傅里叶变换二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换定义如下：设f(x,y)是两个独立变量x,y的函数，且在±∞上绝对可积，则定义积分

为二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换，并定义为F(k1,k2)的逆变换。f(x,y)和F(k1,k2)称为傅里叶变换对。（1）（2）1二维傅里叶变换44例2:求函数

的傅里叶变换(矩孔费琅和夫衍射)。

解：由傅里叶变换关系

有45其幅度谱为（a）信号的频谱图（b）图（a）的灰度图 （幅度谱）图信号的频谱图k1F(k1,k2)k2462三维Fourier变换4748其中：49§5.21,5本讲作业501.源与场质点→引力场，电荷→电场，热源→温度场…2.点源：质点﹑点电荷﹑点热源﹑点光源

点电荷激发的场：点源q0位于

0处，场点位于r

处的电场的数学表示：

3.连续分布的源所产生的场：

无数个点源产生的场的叠加。

如何描述点源?5.3δ－函数(特殊函数)51（一）δ函数

在物理学中对于在某种坐标系下高度集中的量，如点电荷、点光源、质点以及又窄又强的电脉冲等，常用一个特殊的函数——δ函数来描述。

设质量m均匀分布在长为l的线段[-l/2,l/2]上（如图）,

进一步设线的单位长度质量即线质量密度为

l

：下面我们从质点的描述来引入δ函数52线段总质量：时，线段收缩为质点(x=0)。设线段在收缩为当线段在质点的极限下总质量不变，即，即线段收缩为质点(x=0)。线质量密度为当线段在在总质量不变的条件下：5353引入广义函数：

－函数一般地，我们有定义1：且量纲为：1/[x]

δ(x)的形象描述见（图示）54（二）性质(1)偶函数定义2

函数

（筛选性）如果对于任意一个在区间

上连续的函数

恒有

为则称满足上式中的函数

函数，

利用积分形式证55(2)阶跃函数或亥维赛单位函数(δ函数的原函数)(3)复合函数(尺度变换)若

的实根

全部是单根，则