第四板块 小题保分练（一） 统计与成对数据的统计分析

第四板块小题保分练（一）统计与成对数据的统计分析1．在学生人数比例为2∶3∶5的A，B，C三所学校中，用分层随机抽样方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n＝()A．9 B．15C．24 D．30解析：选D设A学校的学生人数为2k，则三所学校共有学生10k人，由题意得eq\f(6,2k)＝eq\f(n,10k)n＝30.2．(2023·湖北期末)有一组样本数据：5,6,6,6,7,7,8,8,9,9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为()A．平均数 B．第50百分位数C．极差 D．众数解析：选A平均数为eq\f(5＋3×6＋2×7＋2×8＋2×9,10)＝7.1.10×0.5＝5，则第50百分位数为eq\f(7＋7,2)＝7.极差为9－5＝4.众数为6，故平均数最大．3．(2023·天津高考)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r＝0.8245，下列说法正确的是()A．花瓣长度和花萼长度没有相关性B．花瓣长度和花萼长度呈负相关C．花瓣长度和花萼长度呈正相关D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245解析：选C因为样本相关系数r＝0.8245>0.75，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以A、B错误，C正确；因为样本相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，样本相关系数也会发生变化，所以D错误．故选C.4．(2023·石家庄高三校联考)某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500mL的矿泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A.全部喝完；B.喝剩约eq\f(1,3)；C.喝剩约一半；D.其他情况．该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是()A．40B．30C．22D．14解析：选C由两幅统计图可得喝剩约eq\f(1,3)的人有40人，所以该会议共有eq\f(40,0.4)＝100人，所以喝剩约一半的有100×0.3＝30人，而其他情况共有8人，所以本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是100－40－30－8＝22.5．[多选]某学校一同学研究温差x(℃)与本校当天新增感冒人数y(人)的关系，该同学记录了5天的数据：x568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2.6x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则()A．样本中心点为(8,25)B.eq\o(a,\s\up6(^))＝4.2C．x＝5时，残差(观测值与预测值之差)为－0.2D．若去掉样本点(8,25)，则样本相关系数r增大解析：选ABCeq\x\to(x)＝eq\f(5＋6＋8＋9＋12,5)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(17＋20＋25＋28＋35,5)＝25，故样本中心点为(8,25)，故A正确；经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2.6x＋eq\o(a,\s\up6(^))过样本中心点，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝4.2，故B正确；当x＝5时观测值为17，预测值为eq\o(y,\s\up6(^))＝2.6×5＋4.2＝17.2，故残差为－0.2，故C正确；因为样本中心点为(8,25)，所以去掉样本点(8,25)，样本相关系数r不变，故D不正确．6．[多选]某医院护士对甲、乙两名住院病人一周内的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有()A．病人甲体温的极差为0.3℃B．病人乙的体温比病人甲的体温稳定C．病人乙体温的众数、中位数与平均数都为36.4℃D．病人甲体温的上四分位数为36.4℃解析：选BC病人甲体温的最大值为36.6℃，最小值为36.2℃，故极差为0.4℃，故A错误；病人乙的体温波动比病人甲的小，极差为0.2℃，也比病人甲的小，因此病人乙的体温比病人甲的体温稳定，故B正确；病人乙的体温按照从小到大的顺序排列为36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，病人乙体温的众数、中位数都为36.4℃，病人乙体温的平均数为eq\f(1,7)(36.3＋36.3＋36.4＋36.4＋36.4＋36.5＋36.5)＝36.4℃，故C正确；病人甲的体温按照从小到大的顺序排列为36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，又7×75%＝5.25，故病人甲体温的上四分位数为上述排列中的第6个数据，即36.5℃，故D错误．7.(2023·滨州二模)某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替)()A．x3<x1<x2 B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2 D．x1<x2<x3解析：选A由频率分布直方图可知众数为eq\f(2＋3,2)＝2.5，即x1＝2.5，平均数x2＝0.2×1.5＋0.24×2.5＋0.2×3.5＋0.16×4.5＋0.12×5.5＋0.04×6.5＋0.04×7.5＝3.54，显然第一四分位数位于[2,3)之间，则0.2＋(x3－2)×0.24＝0.25，解得x3≈2.208，所以x3<x1<x2.故选A.8．(2023·潍坊模拟)[多选]统计学是对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：a1，a2，…，a2024(a1<a2<a3<…<a2024)，记其均值为m，中位数为k，方差为s2，则()A．k＝a1012B．a1012<m<a1013C．新数据：a1＋2，a2＋2，a3＋2，…，a2024＋2的均值为m＋2D．新数据：2a1＋1,2a2＋1,2a3＋1，…，2a2024＋1的方差为4s2解析：选BCD因a1<a2<a3<…<a2024，样本数据最中间的项为a1012和a1013，由中位数的定义可知，k＝eq\f(a1012＋a1013,2)，故A错误；不妨令an＝n(n＝1,2，…，2024)，则m＝eq\f(2025,2)，1012<m<1013，故B正确；数据a1＋2，a2＋2，a3＋2，…，a2024＋2的均值为eq\f(\i\su(i＝1,2024,)ai＋2,2024)＝eq\f(\i\su(i＝1,2024,a)i,2024)＋2＝m＋2，故C正确；数据2a1＋1,2a2＋1,2a3＋1，…，2a2024＋1的均值为eq\f(\i\su(i＝1,2024,)2ai＋1,2024)＝eq\f(2\i\su(i＝1,2024,a)i,2024)＋1＝2m＋1，其方差为eq\f(\o(∑,\s\up6(2024),\s\do7(i＝1))[2ai＋1－2m＋1]2,2024)＝eq\f(4\o(∑,\s\up6(2024),\s\do7(i＝1))ai－m2,2024)＝4s2，故D正确．9．[多选]某渔业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：分组(单位：毫米)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100]频数100100m350150n已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中，[95,100]分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是()A．m＝250B．鱼苗体长在[90,100]上的频率为0.16C．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内D．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数的期望为30解析：选ACD因为[95,100]分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，所以[95,100]分组对应的频率为0.01×5＝0.05，n＝1000×0.05＝50，则m＝1000－100－100－350－150－50＝250，A正确；鱼苗体长在[90,100]上的频率为eq\f(150＋50,1000)＝0.2，B错误；因为鱼苗的总数为1000,100＋100＋250＝450,100＋100＋250＋350＝800，所以鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内，C正确；由表中数据易知，鱼苗体长落在区间[80,90)上的概率P＝eq\f(250＋350,1000)＝0.6，设所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数为X，则X服从二项分布，即X～B(50，0.6)，则E(X)＝50×0.6＝30，D正确，故选A、C、D.10．(2023·江西校联考二模)作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题．为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录作出频率分布直方图如图．已知该医院报销政策：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%.则下列说法正确的是()A．a＝0.0018B．若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C．根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为eq\f(3,10)D．这100份花费费用的中位数是4200元解析：选D由频率分布直方图可得(0.00025＋a＋0.00015＋0.00012＋0.0001×2＋0.00005×2)×1000＝1，经计算得a＝0.00018，故A错误；某病人住院花费了4300元，则报销的金额为(4300－400)×65%＝2535元，所以此人实际花费为4300－2535＝1765元，故B错误；样本中可报销费用为80%的占比为0.15，即根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为eq\f(3,20)，故C错误；样本中花费金额小于4000的概率为(0.00018＋0.00012＋0.0001＋0.00005)×1000＝0.45，所以中位数应在区间[4000,5000)内，所以花费费用的中位数是4000＋eq\f(0.5－0.45,0.00025×1000)×1000＝4200元，故D正确．11．(2023·石家庄模拟)2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层随机抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为________人．解析：利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了15人、12人，可得高三年级抽取了9人，又由高三年级共有900名学生，则每个学生被抽到的概率为P＝eq\f(9,900)＝eq\f(1,100)，设该高中共有n名学生，可得eq\f(36,n)＝eq\f(1,100)，解得n＝3600，即该高中共有3600名学生．答案：360012．(2023·连云港统考)为了研究高三(1)班女生的身高x(单位：cm)与体重y(单位：kg)的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).已知eq\i\su(i＝1,10,x)i＝1600，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝460，eq\o(b,\s\up6(^))＝0.85.该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为________kg.解析：eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,x)i＝160，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,y)i＝46，故46＝0.85×160＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝－90，故回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－90，则当x＝170时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－90＝54.5(kg)．答案：54.513．某省中药材研发中心整合省农业科技创新中心、省创新联盟相关资源和力量，为全省中药材产业链延链、补链、强链提供科技支撑，某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x(单位：g)与药物功效y(单位：药物单位)之间满足y＝15x－2x2，检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量x的平均值为5g，标准差为eq\r(5)g，则估计这批中医药的药物功效y的平均值为________药物单位．解析：设6个样本中药物成分甲的含量分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，因为成分甲的含量的平均值为5g，所以eq\i\su(i＝1,6,x)i＝5×6＝30，标准差为eq\r(5)g，所以eq\f(1,6)eq\i\su(i＝1,6,)(xi－5)2＝eq\f(1,6)(eq