等比数列的性质及性质的应用

刘俊斌模板之5等比数列的性质及其应用平罗中学刘俊斌ljb1004@126.com1.等比数列的常用性质qn－mam·an2.等比数列{an}满足

时，{an}是递增数列；满足

时，{an}是递减数列．3．在实数范围内，任意两个非零实数a和b之间，可以插入有限个数使之成为等比数列.注意：（1）当ab>0，q>0时，a，b之间可以插入

个数；（2）当ab>0，q<0时，a，b之间可以插入

个数；（3）当ab<0时，q>0时，在a和b之间可以插入

个数．任意奇数偶数a1>0且q>1或a1<且0<q<1a1>0，且0<q<1或a1<0且q>11．在等比数列{an}中，a2009＝a2011＝3，则a2010＝()A．3 B．－3C．±3 D．9

解析：a2010＝ ＝±3.

答案：C2．在等比数列{an}中，已知a2＝2，a6＝162，则a10＝________.答案：131223．{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝________.4．在等比数列{an}中，若a3＋a8＝124，a4a7＝－512，且公比q为整数，求a10.解：由a4a7＝－512，得a3a8＝－512.又a3＋a8＝124，所以a3，a8是方程x2－124x－512＝0的两．又q为整数，所以a3＝－4，a8＝128，q＝－，所以a10＝a8q2＝512.6、求等比数列1,a,b,c,9中，a、b、c的值.解：由于b是1、9的等比中项，故b2=1X9,得b=3或-3。……错啦！原因：G2=ab表明G是a,b的等比中项，还有一个暗示就是ab>0，即ab同号！表现在等比数列中的一个特征就是隔项必同号。故本例中b不可能为-3，且a、c也要同号。因而只有两组可能的解。正解：典例剖析解：解法一：∵a6＝a2q4，其中，a2＝2，a6＝162，∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13122.解法二：∵2、6、10三数成等差数列，∴a2、a6、a10成等比数列．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为________．解析：利用性质“aman＝apaq“便可迅速获得，设插入的n个数为a1，a2，…，an，G＝a1a2·…·an，则G2＝(a1an)·(a2an－1)(a3an－2)·…·(ana1)＝(1×100)n，∴G＝10n.答案：10n.迁移变式1

[例2]

在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝－，求数列的通项an.[分析]

思路1：设首项为a1，公比为q，由题目中两等式列方程组，解出a1，q，进一步可求出an.思路2：利用am＝anqm－n，可求q，再进一步求an.[点评]

方法1，设首项与公比，列方程解出，是通法；方法2是技巧，巧用公式，使计算简便．迁移变式2

(1)在等比数列{an}中，a5＝4，a10＝27，则q＝________.(2)已知数列{an}为等比数列，a4＝25，a6＝27，则log2a6－log2a4＝__________.22[例3]

已知等比数列{an}中，a3＋a5＋a7＝84，a3·a5·a7＝4096，求an.[点评]

本题得解的关键是利用性质am·an＝ap·aq(m、n、p、q∈N*，m＋n＝p＋q)，并用一变形公式an＝am·qn－m.迁移变式3在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，

则a8·a9·a10·a11＝()

A．10B．25C．50D．75解析：解法一：∵a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，∴a8·a9·a10·a11＝52＝25.故选B.解法二：由已知：a1q6·a1q11＝aq17＝5，∴a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a·q34＝(aq17)2＝52.故选B.B例4.三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，求原来的等比数列。[例5]有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四个数．迁移变式4(1)有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出四个数．(2)已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数．解得q2＝4，∴q＝2或q＝－2.∴所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.课堂测评

B1.课堂测评

2.D课堂测评

3.B课堂测评

课堂测评

4.课堂测评

5.3或27知能提升B知能提升C知能提升A知能提升4.若方程x2-5x+m=0与x2-10x+n=0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是【】A.4B.2C.D.

D知能提升他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，下列既是三角形数又是正方形数的是（）A.289B.1024C.1225D.1378C知能提升知能提升6.D知能提升知能提升C7.知能提升8.0<q<1知能提升9.1知能提升10.知能提升当你迷茫的时候，手边的事情就是好事情，不要犹豫，不要觉得可能自己会错过什么，你犹豫的时候，手边的事情就没做好，最后这辈子啥也没得到。一张纸对折，最多能折几次？无论什么材料的纸，无论纸有多大，也无论纸有多薄，你最多能折几次呢？当然不能裁纸或者借助外力，也不是折了再拆拆了再折的反复动作。

赶快动手吧，随便找一张纸试试看。

试试看，你会发现一个奇妙的现象。哲学上是无穷次，而你实际能折多少次呢？

从物理上分析应该是有限次，要看你纸的大小，材料。假设纸张厚度为0.1mm，对折9次后，纸张的厚度51.2mm，10次是102.4mm，就折不动了。不可能无限的折叠,因为假设纸张厚度为0.1mm，对折9次后，纸张的厚51.2mm，10次是102.4mm，11次是204.8mm,已经不可能从真正意义上说折动了。如果是非常大，非常薄的纸，也不超过9次，折九次时后纸的总厚度是单张的512倍。如果理论上能折50次，总厚度就是原厚度的2的50次方....吓人哪，若原厚度是0.045mm，那么总厚度约是4500公里，信吗？不信，你自己算算。

折一次等于原纸厚度的两倍。一张0.01毫米厚的纸，对折30次后比珠穆朗玛峰还高(10737.41824米)。但你只能折七八次，其中的原因你想想就知道了。假设厚度是0.1毫米，那么42次就相当于地球到月亮的距离了，380000千米。

如果