小题基准考法-函数的概念及基本初等函数

悉高考函数与导数是高中数学的基础和主线内容，高考对这部分的考查选择题、填空题、解答题均有涉及，难度有大有小.从考查内容上看，小题主要涉及函数的图象、指数、对数的运算及比较大小、函数的性质及零点问题、导数的几何意义、构造函数解不等式等.解答题常作为压轴题出现，难度较大，但2023年新课标Ⅰ卷导数放在了第19题，导数的考查位置移前意味着难度降低了，但也不能由此就乐观地认为导数的考查趋向简单化.2023新课标Ⅰ卷的命题调整，在很大程度上是体现高考的“反规律化”命题.)第六板块

函数与导数小题基准考法——函数的概念及基本初等函数12目录3命题点一函数及其表示命题点二函数图象的识辨命题点三基本初等函数的图象与性质4命题点四函数的模型及其应用命题点一函数及其表示答案：B

A．7 B．6 C．5

D．4答案：D

3．已知函数y＝f(x2－4)的定义域是[－1,5]，则函数y＝f(2x＋1)的定义域为________．[一站补给]方法的“疑点”(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则f(g(x))中，由m≤g(x)≤n，解得的范围即为f(g(x))的定义域；(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n，得到g(x)的范围即为f(x)的定义域思维的“难点”(1)解决抽象函数定义域问题时，谨记f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同；(2)分段函数求值(解不等式)问题，必须依据条件准确找出利用哪一段求解思想的“高点”解决分段函数问题时常用到分类讨论及数形结合思想，注意端点处的衔接命题点二函数图象的识辨答案：A

2．(2023·天津高考)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为

(

)答案：D

答案：A

答案：A

3．(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝x＋sinx，g(x)＝log2(2x＋2－x－1)，则如图所示图象对应的函数可能是

(

)答案：B

[一站补给]方法的“疑点”函数图象的辨识可从以下四个方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不符合要求的图象思想的“高点”由图象选择函数解析式时根据图象性质特点进行选择，运用趋向于0或∞时的极限思想可实现快捷解题命题点三基本初等函数的图象与性质答案：C

2．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是

(

)A．(－∞，－2] B．[－2,0)C．(0,2] D．[2，＋∞)答案：D

3．(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为

(

)A．c>a>b

B．c>b>aC．a>b>c

D．b>a>c答案：D

解析：法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D.法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a；因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D.[素养评价]1．(2023·天津河东一模)已知a＝lge，b＝ln0.8，c＝e0.8，则a，b，c的大小顺序为

(

)A．a<b<c

B．b<c<aC．b<a<c

D．c<b<a答案：C

解析：因为c＝e0.8>e0＝1，b＝ln0.8<ln1＝0,0＝lg1<a＝lge<lg10＝1，所以b<a<c.答案：B

答案：B

解析：∵f(x)＝log22x＝1＋log2x，∴f(x)为定义域上的增函数，且f(1)＝1，故A不成立；4．(2022·全国校联考模拟预测)已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是

(

)A．(－2，－1) B．(－1,1)C．(－1,2) D．(1，＋∞)答案：B

解析：因为函数f(x)＝3x＋1－4x－5，所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5，在坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示．因为y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象都经过A(1,9)，B(－1，1)，结合图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1,1)．5．(2023·北京顺义校考模拟预测)已知函数f(x)＝lgx＋x2－1，则不等式f(x)>0的解集是________．答案：(1，＋∞)解析：lgx＋x2－1>0，lgx>1－x2，作出函数y＝lgx，y＝－x2＋1的图象如图，由图可知，满足不等式lgx>－x2＋1的x的取值范围为(1，＋∞)，所以不等式f(x)>0的解集是(1，＋∞)．[一站补给]知识的“盲点”对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a的值不确定，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数方法的“疑点”由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断[真题导向]命题点四函数的模型及其应用声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则

(

)A．p1≥p2

B．p2＞10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2

答案：ACD

2.(2022·北京高考)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是(

)A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态答案：D

解析：对于A，当T＝220，P＝1026，即lgP＝lg1026>lg103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B，当T＝270，P＝128，即lgP＝lg128∈(lg102，lg103)，即lgP∈(2,3)时，根据题图可知，二氧化碳处于液态；对于C，当T＝300，P＝9987，即lgP＝lg9987<lg104＝4时，根据题图可知，二氧化碳处于固态；对于D，当T＝360，P＝729，即lgP＝lg729∈(lg102，lg103)，即lgP＝lg729∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态．故选D.[素养评价]1.(2023·南通模拟)某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后