江苏省南通市2023-2024高二上学期数学期中试卷及答案

南通市2023~2024学年（上）南通高二期中质量监测一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在空间直角坐标系中，点关于xOz平面对称的点的坐标为（）A． B． C． D．2．直线的一个方向向量是（）A． B． C． D．3．已知在三棱锥中，M，N分别是PC和AB的中点．设，，，则（）A． B． C． D．4．已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．5．圆C：关于直线对称圆的方程为（）A． B．C． D．6．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面ABCD，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（）A． B． C． D．8．已知圆O：，，是圆O上两点，满足，，则（）A． B．3 C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．对于直线l：，下列说法正确的是（）A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限10．下列结论正确的是（）A．若向量，，，则，，共面B．若直线l的方向向量为，平面的法向量，则C．若向量，，则在上的投影向量为D．若空间三点，，，则点C到直线AB的距离为311．已知点P在圆C：上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，则（）A．点P到直线l的距离大于1B．点P到直线l的距离小于7C．当∠PAB最大时，D．以BC为直径的圆与圆C的公共弦所在直线的方程为12．已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，，是C的左、右焦点，是C上一点，连结交C于点B，则（）A．C的离心率为 B．C．的周长为 D．的内切圆半径为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线：和直线：垂直，则________．14．已知椭圆E以矩形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且经过C，D两点．若，则E的离心率为________．15．写出满足下列两个条件的一个双曲线C的方程：________．①焦距为；②直线与C的一支有2个公共点．16．已知正四棱柱中，，．若P是侧面上的一个动点（含边界），且，则点P形成的轨迹长度为________；若P是侧面上的一个动点（含边界），且，则点P形成的轨迹长度为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于点B对称的直线的方程．18．（12分）已知圆C：，点．（1）过点P作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；（2）若圆M经过点P，且与圆C相切于点，求圆M的方程．19（12分）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，．E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值．20（12分）已知椭圆C：的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．（1）若是线段AB的中点，求直线l的方程；（2）若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称．21．（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，M是PB的中点，点N在线段AC上．（1）当N是AC中点时，求点N到平面PCD的距离；（2）当二面角的正弦值为时，求的值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，点，以线段FG为直径的圆与圆O相切，记动点G的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）设点M在x轴上，点，在W上是否存在两点A，B，使得当A，B，N三点共线时，△ABM是以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标和直线AB的方程；若不存在，请说明理由．2023~2024学年（上）高二期中质量监测数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案BCCADBBD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。题号9101112答案ABDACBCDABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13． 14．15．（或），其中．16．，四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）【解】（1）因为点，，所以．……2分因为，所以．……3分因为l经过点，所以直线l的方程为．……5分（2）设直线的方程为．……6分由点到直线l和直线的距离相等，所以，……8分解得，所以直线的方程为．……10分18．（12分）【解】（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为，将代入圆C的方程，解得或，所以，符合条件；……2分若直线l的斜率存在，设l的方程为，即．因为，圆C的半径为，所以圆心到直线l的距离为1，所以，……4分解得，所以直线l的方程为．综上，直线l的方程为或．……6分（2）设圆M的方程为．因为圆M经过点，且与圆C相切于点，所以圆心M在直线CQ：上，……8分所以解得所以圆M的方程为．……12分19（12分）【解】（1）因为直三棱柱中，，所以BA，BC，两两垂直，以点B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．因为侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，所以，，，，……3分设，则．由，得，即．……6分（2）当时，则，，．设平面DEF的法向量为，则由即取．……9分设直线BF与平面DEF所成角为，则，即直线BF与平面DEF所成角的正弦值为．……12分20（12分）【解】（1）设，，则两式相减，得，即．……2分因为是线段AB的中点，所以，，所以直线l的斜率，所以直线l的方程为，即．……4分（2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，只需证，即证．……6分设直线AB的方程为，由消x得，所以，．……8分所以．因为，所以，即点A，D关于x轴对称．……12分21．（12分）【解】（1）因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，．在平面ABP内作，又，所以BA，BE，BC两两垂直，B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．因为，，，N是AC中点，则，，，，，，，．……2分设平面PCD的法向量，则即取．……4分所以点N到平面PCD的距离．……6分（2）因为M是PB的中点，所有，设，则，，．设平面AMN的法向量，则即取．8分设平面PMN的法向量，则即取．……10分设二面角的大小为，则．设，因为二面角的正弦值为，所以，解得，此时，所以．……12分22．（12分）【解】（1）设，以线段FG为直径的圆的圆心为点C，圆C与圆O相切于点H，则．因为C为FG的中点，O为的中点，所以，．……1分当圆C与圆O内切时，；当圆C与圆O外切时，，所以为定值．……3分又因为，所以动点G的轨迹是以，F为焦点的双曲线．设它的方程是（，），则，，即，所以W的方程为．……5分（2）假设存在符合题意的点A，B，由A，B，N三点共线，知直线AB斜率存在．设直线AB的方程为，，，由消去y并整理，得，则