二维光滑扩展有限元法研究的开题报告

二维光滑扩展有限元法研究的开题报告一、研究背景和意义在现实工程中，许多复杂的几何体都常常需要用到对其上面的场的计算，例如，最常见的流体力学中计算流场的分布，固体力学中计算材料力学性能等。但是，这样的计算都不可避免地会遇到区域边界的问题，因为区域边界会对场分布产生影响，而且这个影响通常是很复杂的。自然地，数值计算方法在域边界的选取和处理上面就非常重要。在有限元中，通常使用截断三角剖分技术将区域分割成有限个单元，每个单元内使用一个多项式函数来近似真实场。然而，在区域边界上，需要增加更多的信息来达到更好的近似效果，例如，区域边界上的法向导数和切向导数。因此，研究区域边界扩展技术巨大地影响了有限元方法在实际工程中的应用。二、研究内容本研究的主要内容是在二维有限元模型上研究光滑扩展的技术，并将该技术应用到流体力学以及固体力学中的几个例子中。1.有限元法的简介介绍有限元法的发展历史，以及其主要的数学基础和常见应用。2.光滑扩展技术的原理和方法介绍光滑扩展技术的原理和基本方法。主要包括分片多项式函数和光滑扩展函数的定义、构造及其性质。3.区域边界的处理技术研究并总结区域边界处理的几种方法，例如，偏微分方程法、层次函数法和虚拟节点技术。4.掌握二维光滑扩展技术的有限元程序设计与实现采用MATLAB和Python等工具编写程序，验证所述光滑扩展技术在实际工程计算中的有效性。5.应用场合分析及验证将光滑扩展有限元法应用到实际工程和学术领域中的几个问题中，例如，复杂流场的数值计算以及材料的力学性能计算。三、研究计划1.第一年综述已有的相关文献和方法，学习有限元法的基本原理和应用，深入研究分片多项式函数的构造及其性质。2.第二年研究不同的区域边界处理方法，探究其优缺点，并尝试将光滑扩展技术应用到二维有限元模型中，进行初步的数值实验。3.第三年在前两年的基础上，进一步掌握光滑扩展函数的构造和应用，并进一步优化程序实现，利用已有的工具验证所得到的计算结果。四、预期结果通过对复杂区域和弯曲边界进行分析和处理，开发出一个高效、准确的二维光滑扩展有限元法的程序，并将该方法应用到实际工程计算中，提高不同工程领域的计算效率和精度。五、参考文献[1]XingY,SunW,ShuCW.Ahigh-orderessentiallynon-oscillatorydiscontinuousGalerkinmethodforwavepropagationovervariabletopography.JournalofComputationalPhysics,2013,243:13-29.[2]CockburnB,KanschatG,SchötzauD.AnoteondiscontinuousGalerkindivergence-freesolutionsoftheNavier-Stokesequations.JournalofScientificComputing,2004,22:313-346.[3]MasudA,FunaroD.Aquadraticfiniteelementmethodforsolvingodd-orderdifferentialequations.JournalofScientificComputing,2016,68:740-757.[4]ChangQ,WangC,ShuCW.StaggereddiscontinuousGalerkinmethodforelasticwavesimulationinanisotropicmedia