七年级数学8.3实际问题与二元一次方程组

知识点

列方程组解决实际问题

满足条件一般步骤列方程组解决实际问题

(1)方程两边表示的是同类量.(2)同类量的单位要统一.(3)方程两边的数值要相等.审:审题,分析题中已知什么,求什么,找出题中的相等关系.设:设未知数,可以直接设元,也可

以间接设元.列:根据题目中能表示全部含义

的相等关系列出方程,并组成方程组.解:解方程组,得出未知量.检:考虑所得的解是否符合问题的实际意义.答:写出答案.常用的几种基本等量关系(1)行程问题:速度×时间=路程,顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度.(2)配套问题:一套中两个量的数量比=两个量的总量之比.(3)商品利润问题:利润=售价-进价,利润=进价×利润率.(4)工程问题:工作效率×工作时间=工作量,合作工作效率=甲工作效率+乙工作效率.

温馨提示(1)作答时,要根据实际问题的意义判断求得的结果是否合理,不符合

题意的解应舍去.(2)在“设”和“答”时,注意写清楚单位名称.

例夏季来临,天气逐渐炎热起来.某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上

调了10%,将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%.已知调价前买这两种饮

料各一瓶共花费7元,调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费1

7.5元,问这两种饮料在调价前每瓶各多少元?解析

设调价前碳酸饮料每瓶x元,果汁饮料每瓶y元,依题意,得

解得

答:调价前碳酸饮料每瓶的价格为3元,果汁饮料每瓶的价格为4元.点拨设未知数时,一般是求什么,设什么,并且所列方程的个数与未知数

的个数相等.题型一

行程问题例1甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步,甲的速度是

乙的2.5倍,4分钟后两人首次相遇,此时乙还需要跑300米才跑完第一圈,

求甲、乙二人的速度及环形场地的周长.解析

设乙的速度为x米/分,环形场地的周长为y米,则甲的速度为2.5x米/

分.由题意得

解得

∴2.5x=2.5×150=375.答:甲、乙二人的速度分别为375米/分、150米/分,环形场地的周长为900

米.点拨列二元一次方程组解应用题的关键是从题目中找出两个等量关

系,设出适当的未知数,然后用含未知数的代数式表示等量关系中相应量,

进而列出方程组.题型二

配套问题例2某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每天平均能生产螺栓12个

或螺母18个,若一个螺栓配两个螺母,则应分配多少名工人生产螺栓和多

少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的螺栓和螺母刚好配套?解析

设分配x人生产螺栓,分配y人生产螺母.由题意,得

解得

答:应分配12人生产螺栓,16人生产螺母,才能使每天生产出来的螺栓和螺

母刚好配套.点拨解决配套问题要弄清:(1)每套产品各部分比例;(2)生产各部分的

工人数之和=工人总数.题型三

图文信息问题例3在一次春游中,小明、小亮等同学随家人一同到江郎山旅游,如图8

-3-1所示是购买门票时,小明与他爸爸的对话.图8-3-1(1)小明他们一共去了几个成人?几个学生?(2)请你帮助小明算一算,用哪种方式买票更省钱?并说明理由.解析

(1)设小明他们一共去了x个成人,y个学生.根据题意,得

解得

答:小明他们一共去了7个成人,4个学生.(2)购买团体票更省钱,理由如下:若按14人购买团体票,则共需14×40×6

0%=336(元),336<360,所以购买团体票更省钱.点拨解图文信息题的关键是读懂题意,并从图中获取有用的信息,然后

对这些信息进行分析,并联系相关的数学知识解决问题.题型四

商品销售打折问题例4某商场购进商品后,加价40%作为销售价,商场搞优惠促销活动,决

定甲、乙两种商品分别以七折和九折销售,某顾客购买甲、乙两种商品,

共付款399元,这两种商品原销售价之和为490元,问这两种商品进价分别

为多少元?解析

解法一:设甲、乙两种商品进价分别为x元、y元.根据题意,得

解得

答:甲、乙两种商品的进价分别为150元、200元.解法二:设甲、乙两种商品的原销售价分别为x元、y元.根据题意,得

解得

所以甲种商品的进价为:210÷1.4=150(元),乙种商品的进价为:280÷1.4=200(元).答:甲、乙两种商品的进价分别为150元、200元.点拨销售问题中进价是很关键的一个量,标价=进价+进价×利润率=(1

+利润率)×进价,售价=标价×

(当打n折销售时).要把进价、标价、售价、利润率这几个量及它们之间的关系弄清楚.知识点

列方程组解决实际问题1.(2016河北石家庄二中期末)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔

和笔芯.小锦买了20支笔和2盒笔芯,用了56元;小丽买了2支笔和3盒笔芯,

仅用了28元.设每支中性笔x元,每盒笔芯y元,根据题意所列方程组正确的

是()A.

B.

C.

D.

答案

B

本题的两个等量关系:①20支笔和2盒笔芯用了56元;②2支笔

和3盒笔芯用了28元.2.(2015辽宁盘锦中考)有大小两种货车,2辆大货车与3辆小货车一次可以

运货15.5吨,5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨.设一辆大货车一

次可以运货x吨,一辆小货车一次可以运货y吨,根据题意所列方程组正确

的是

()A.

B.

C.

D.

答案

A

题目中蕴涵着两个相等关系:2辆大货车的运货量+3辆小货车

的运货量=15.5吨;5辆大货车的运货量+6辆小货车的运货量=35吨,根据

这两个相等关系便可列出方程组.3.(2014福建漳州中考)水仙花是漳州市花,如图8-3-1,在长为14m,宽为10

m的长方形展厅划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花,

则每个小长方形的周长为

m.

图8-3-1解析

设小长方形的长为xm,宽为ym,则

所以3x+3y=24,∴x+y=8.∴一个小长方形的周长为2x+2y=16m.答案164.(2016江苏扬州中学月考)清明节期间,七(1)班全体同学分成若干小组

到革命传统教育基地缅怀先烈,若每小组7人,则余下3人;若每小组8人,则

少5人.由此可知该班共有

名同学.答案59解析

设一共分为x个小组,该班共有y名同学,根据题意,得

解得

故答案为59.5.(2016云南中考)食品安全是关乎民生的问题,在食品中添加过量的添加

剂对人体是有害的,但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和

运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂,A种饮料

每瓶需加该添加剂2克,B种饮料每瓶需加该添加剂3克,已知生产共100瓶

的A、B两种饮料恰好添加了270克该添加剂,则生产A、B两种饮料各多

少瓶?解析

设饮料加工厂生产了A种饮料x瓶,B种饮料x瓶,根据题意得

解得

答:生产A种饮料30瓶,生产B种饮料70瓶.6.(2015云南曲靖中考)某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水

共500箱,矿泉水的成本价和销售价如下表所示:(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?(2)全部售完500箱矿泉水,该商场共获利多少元?

成本价(元/箱)销售价(元/箱)甲2436乙3348解析

(1)设商场购进甲种矿泉水x箱,购进乙种矿泉水y箱,由题意得

解得

答:商场购进甲种矿泉水300箱,购进乙种矿泉水200箱.(2)300×(36-24)+200×(48-33)=3600+3000=6600(元).答:该商场共获得利6600元.1.(2015山东泰安中考)小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果,甲种水

果每千克4元,乙种水果每千克6元,且乙种水果比甲种水果少买了2千克,

求小亮妈妈两种水果各买了多少千克.设小亮妈妈买了甲种水果x千克,

乙种水果y千克,则可列方程组为

()A.

B.

C.

D.

答案

A

∵小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果,甲种水果每千

克4元,乙种水果每千克6元,买了甲种水果x千克,买了乙种水果y千克,∴4x

+6y=28,又∵乙种水果比甲种水果少买了2千克,∴x=y+2,因此本题选A.2.(2016湖北鄂州鄂城期末)小明和小丽到文化用品商店帮助同学们买文

具,小明买了3支笔和2个圆规,共花19元;小丽买了5支笔和4个圆规,共花3

5元.设每支笔x元,每个圆规y元,请列出满足题意的方程组

.答案

解析

每支笔x元,每个圆规y元,由“买了3支笔和2个圆规,共花19元”列

方程3x+2y=19;由“买了5支笔和4个圆规,共花35元”列方程5x+4y=35,故

列方程组

3.(2016河北保定十七中月考)我市某超市举行店庆活动,对甲、乙两种商

品实行打折销售.打折前,购买3件甲商品和1件乙商品需用190元;购买2件

甲商品和3件乙商品需用220元,而店庆期间,购10件甲商品和10件乙商品

仅需735元,这比打折前少花多少钱?解析

设打折前甲商品的单价为x元,乙商品的单价为y元,由题意得

解得

则打折前购买10件甲商品和10件乙商品需要:10×(50+40)=900(元),∵打折后实际花费735元,∴这比打折前少花900-735=165(元).答:打折后比打折前少花165元.4.根据图中给出的信息,解答下列问题:(1)放入一个小球水面升高

cm,放入一个大球水面升高

cm;(2)如果要使水面上升到50cm,应放入大球、小球各多少个?

解析

(1)2;3.(2)设应放入x个大球,y个小球,由题意,得

解得x=4,y=6.答:应放入4个大球,6个小球.1.陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场,气球的种类

有“笑脸”和“爱心”两种.两种气球的价格不同,但同一种气球的价格

相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二

束气球的价格如图8-3-2所示,则第三束气球的价格为

()

图8-3-2A.14元

B.15元

C.16元

D.17元答案

C

设笑脸和爱心气球的单价分别为x元和y元,由题意得

解得

∴2x+2y=16.∴第三束气球的价格为16元.2.(2015福建泉州五中月考)某公园“六一”期间举行特优读书游园活动,

成人票和儿童票均有较大折扣.张凯、李利都随他们的家人参加了本次

活动.王斌也想去,就去打听张凯、李利买门票花了多少钱.张凯说他家去

了3个大人和4个小孩,共花了38元钱;李利说他家去了4个大人和2个小孩,

共花了44元钱.王斌家计划去3个大人和2个小孩,请你帮他计算一下,需准

备

元钱买门票.解析

设1个大人的门票为x元,1个小孩的门票为y元,由题意得

解得

∴3x+2y=34,∴需准备34元钱买门票.答案343.为鼓励居民节约用电,某省试行阶梯电价收费制,具体执行方案如下:例如:一户居民七月份用电420度,则需交电费420×0.85=357(元).某户居

民五、六月份共用电500度,交电费290.5元.已知该户居民六月份用电量

大于五月份,且五、六月份的用电量均小于400度.问该户居民五、六月

份各用电多少度?档次每户每月用电量(度)执行电价(元/度)第一档小于或等于2000.55第二档大于200且小于4000.6第三档大于或等于4000.85解析

因为两个月的用电量为500度,所以每个月用电量不可能都在第一

档,假设该户居民五月、六月每月用电均超过200度,由题意知此时的电

费共计:500×0.6=300(元),而300>290.5,不符合题意,又因为六月份用电量

大于五月份,所以五月份用电量在第一档,六月份用电量在第二档.设五月份用电x度,六月份用电y度,根据题意,得

解得

答:该户居民五、六月份各用电190度、310度.1.现用190张铁皮做盒子,每张铁皮可做8个盒身或22个盒底,一个盒身与

两个盒底配成一个完整的盒子,设用x张铁皮做盒身,y张铁皮做盒底,则可

列方程组为

()A.

B.

C.

D.

答案

A

因为一个盒身与两个盒底配套,所以盒底数是盒身数的2倍,且

共用去190张铁皮,所以可列方程组为

故选A.2.如图所示,小强和小红一起搭积木.小强所搭的“小塔”的高度为23

cm,小红所搭的“小塔”的高度为22cm.设每块A型积木的高为xcm,每

块B型积木的高为ycm,则x=

,y=

.

答案4;5解析

由题意得

解得

3.(2015湖南娄底中考)假如娄底市的出租车是这样收费的:起步价所包含

的路程为0~1.5千米,超过1.5千米的部分按每千米另收费.小刘说:“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米,付车费10.5

元.”小李说:“我乘出租车从市政府到娄底火车站走了6.5千米,付车费14.5

元.”(9分)问:(1)出租车的起步价是多少元?超过1.5千米后每千米收费多少元?(2)小张乘出租车从市政府到娄底南站(高铁站)走了5.5千米,应付费多少

元?解析

(1)设出租车的起步价是x元,超过1.5千米后每千米收费y元.由题意得

解得

答:出租车的起步价是4.5元,超过1.5千米后每千米收费2元.(2)4.5+(5.5-1.5)×2=12.5(元).答:应付车费12.5元.4.(2016贵州遵义四中期末)为响应国家节能减排的号召,鼓励居民节约用

电,各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度,下表是某省的电价标准

(每月).例如:方女士家5月份用电500度,电费=180×0.6+220×二档电价+10

0×三档电价=352元;李先生家5月份用电460度,交费316元.请问表中二档

电价、三档电价各是多少?档次电量电价一档不超过180度0.6元/度二档超过180度且不超过400度的部分二档电价三档超过400度的部分三档电价解析

设题表中二档电价为x元/度,三档电价为y元/度.根据题意,得

解得

答:表中二档电价为0.7元/度,三档电价为0.9元/度.5.某景点的门票价格如下表:某校七年级(一)、(二)两班计划去游览该景点,其中(一)班人数少于50人,

(二)班人数多于50人且少于100人,如果两班都以班为单位单独购票,则一

共支付1118元;如果两班联合起来作为一个团体购票,则只需花费816元.(1)两个班各有多少人?(2)团体购票与单独购票相比较,两个班各节约了多少钱?购票人数/人1~5051~100100以上每人门票价/元12108解析

(1)设七年级(一)班有x人,七年级(二)班有y人,因为100×8=800<81

6,所以两班的总人数大于100,由题意得

解得

答:七年级(一)班有49人,七年级(二)班有53人.(2)七年级(一)班节省的费用为(12-8)×49=196(元),七年级(二)班节省的费用为(10-8)×53=106(元).一、选择题1.(2016山东日照一中月考,5,★☆☆)20位同学在植树节这天共种了52棵

树苗,其中男生每人种3棵,女生每人种2棵.设男生有x人,女生有y人.根据

题意,列方程组正确的是()A.

B.

C.

D.

答案

D

因为男生有x人,女生有y人,所以根据题意,得

故选D.二、填空题2.(2015湖南长沙岳麓学士中学期末,20,★☆☆)同学们每个星期都会听

着国歌升国旗,但国歌歌词有多少个字可能大家都不知道.已知歌词的字

数是一个两位数,十位数字是个位数字的两倍,且十位数字比个位数字大

4,则国歌歌词的字数是

个.答案84解析

设个位数字为x,十位数字为y,则

解得

∴该两位数为84.三、解答题3.(2016江西玉山一中期末,22,★★★)某旅行社组织一批游客外出旅游,

原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座

客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆220

元,60座客车租金为每辆300元,问:(1)这批游客的人数是多少?原计划租用多少辆45座客车?(2)若租用同一种车,要使每位游客都有座位,应该怎样租用才合算?解析

(1)设这批游客的人数是x,原计划租用y辆45座客车.根据题意得

解得

答:这批游客有240人,原计划租用5辆45座客车.(2)6×220=1320>4×300=1200,∴租60座客车4辆才合算.1.(2016福建福安实验中学月考,3,★☆☆)如图,宽为50cm的矩形图案由1

0个相同的小长方形拼成,则其中一个小长方形的面积为

()

A.400cm2

B.500cm2

C.600cm2

D.4000cm2

答案

A

设小长方形的长为xcm,宽为ycm,结合题图,得

解得

∴小长方形的面积为40×10=400(cm2),故选A.2.(2016安徽合肥六中期末,4,★★☆)一个两位数的十位数字与个位数字

之和是7,如果把这个两位数加上45,那么恰好成为把原两位数的个位数

字和十位数字对调后组成的数,那么原两位数是

()A.16

B.25

C.52

D.61答案

A

设原两位数的个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数为(10

b+a),由题意,得

解得

所以原两位数为10×1+6=16.故选A.3.(2016甘肃白银会宁期末,18,★★☆)根据图中的信息,求梅花鹿和长颈

鹿现在的高度.

解析

设梅花鹿现在的高度为xm,长颈鹿现在的高度为ym.根据题意,得

解得

答:梅花鹿现在的高度为1.5m,长颈鹿现在的高度为5.5m.4.(2015山东崂山十一中期末,22,★☆☆)为落实“促民生、促经济”政

策,某公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案,调整后月工资由基

本保障工资和计件奖励工资两部分组成(计件奖励工资=销售每件产品

的奖励金额×销售件数).下表是甲、乙两位职工今年1月份的工资情况:职工甲乙月销售件数(件)200180月工资(元)18001700(1)试求调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各为

多少元;(2)如果职工丙想在今年二月份工资达到2600元,那么丙当月应销售多少

件产品?解析

(1)设调整后职工的月基本保障工资为x元,销售每件产品的奖励

金额为y元,根据题意得

解得

∴调整后职工的月基本保障工资为800元,销售每件产品的奖励金额为5

元.(2)设丙当月应销售z件产品,根据题意得800+5z=2600,解得z=360,∴丙当月应销售360件产品.一、选择题1.(2016广东茂名中考,10,★☆☆)我国古代数学名著《孙子算经》中记

载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3

匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有x匹,小马

有y匹,那么可列方程组为

()A.

B.

C.

D.

答案

C

根据题意,得

故选C.2.(2015四川广元中考,6,★☆☆)一副三角板按如图8-3-3所示的方式摆

放,且∠1比∠2大50°,若设∠1=x°,∠2=y°,则可得到的方程组为

()

图8-3-3A.

B.

C.

D.

答案

D

根据题图中的平角和直角,得方程x+y=90;根据∠1比∠2的度

数大50°,得方程x=y+50.可列方程组为

3.(2016四川宜宾中考,12,★☆☆)今年“五一”节,A,B两人到商场购物,A

购3件甲商品和2件乙商品共支付16元,B购5件甲商品和3件乙商品共支

付25元,求一件甲商品和一件乙商品各售多少元.设甲商品售价x元/件,乙

商品售价y元/件,则可列方程组:

.二、填空题答案

解析

甲商品售价x元/件,乙商品售价y元/件,根据“A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元,B购5件甲商品和3件乙商

品共支付25元”可列出方程组:

4.(2015湖南湘潭中考,13,★☆☆)湘潭盘龙大观园开园啦!其中杜鹃园的

门票售价为:成人票每张50元,儿童票每张30元.如果某日杜鹃园售出门票

100张,门票收入共4000元.那么当日售出成人票

张.答案50解析

设当日售出成人票x张,儿童票y张,根据题意,得

解得

故当日售出成人票50张.三、解答题5.(2016四川自贡中考,18,★☆☆)某厂为了丰富大家的业余生活,组织了

一次工会活动,准备一次性购买若干钢笔和笔记本(每支钢笔的价格相

同,每本笔记本的价格相同)作为奖品.若购买2支钢笔和3本笔记本共需6

2元,购买5支钢笔和1本笔记本共需90元,问购买一支钢笔和一本笔记本

各需多少元?解析

设购买一支钢笔需要x元,购买一本笔记本需要y元.依题意,得

解得

答:购买一支钢笔需要16元,购买一本笔记本需要10元.6.(2016江苏镇江中考,24,★★☆)校田园科技社团计划购进A、B两种花

卉,两次购买每种花卉的数量以及每次的总费用如下表所示:(6分)(1)你从表格中获取了什么信息?

(请用自己的语言描述,写出一

条即可);(2)A、B两种花卉每株的价格各是多少元?

花卉数量(单位:株)

总费用(单位:元)

AB

第一次购买1025225第二次购买2015275解析

(1)答案不唯一,信息正确合理即可.

(2分)(2)设A、B两种花卉每株的价格分别是x元、y元,由题意得

(3分)解得

(5分)答:A、B两种花卉每株的价格分别是10元、5元.

(6分)1.(2016江苏盐城中考,16,★★☆)李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零

件的时间分别是固定的,现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件

共需55分钟;加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟,则李师傅加工

2个甲种零件和4个乙种零件共需

分钟.解析

设李师傅加工1个甲种零件需x分钟,加工1个乙种零件需y分钟,根

据题意,得

①+②,得7x+14y=140,∴x+2y=20,∴2x+4y=40,故答案为40.答案402.(2015北京中考,13,★☆☆)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基

本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中,方程术是

《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载:“今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八

两.问:牛、羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛、2只羊,值金10两;2头牛、5只羊,值金8两.问:每头

牛、每只羊各值金多少两?”设每头牛值金x两,每只羊值金y两,可列方程组为

.答案

解析

由译文可知,5x+2y=10,2x+5y=8,这两个条件要同时满足,所以可列

方程组为

3.(2016山东滨州中考,20,★★☆)某运动员在一场篮球比赛中的技术统

计如下表所示:注:表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球.根据以上信息,求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个.(10分)技术上场时间(分钟)出手投篮(次)投中(次)罚球得分篮板(个)助攻(次)个人总得分数据4565221011860解析

设投中2分球x个,投中3分球y个,则根据题意可得:

解得

因此本场比赛中该运动员投中2分球16个,3分球6个.4.(2015江苏南通中考,22,★☆☆)有大小两种货车,3辆大车和4辆小车一

次可以运货22吨,2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨.请根据以上信息,提出一个能用方程(组)解决的问题,并写出这个问题的

解答过程.(8分)解析

本题答案不唯一,如:问题:1辆大车一次运货多少吨?1辆小车一次运货多少吨?解:设1辆大车一次运货x吨,1辆小车一次运货y吨.根据题意,得

解得

答:1辆大车一次运货4吨,1辆小车一次运货2.5吨.1.(2016江苏徐州中考)小丽购买学习用品的收据如下表,因污损导致部分

数据无法识别.根据下表,解决下列问题:(1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支?(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具,共花费15