平面任意力系的平衡

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2-4.平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系的平衡条件平面任意力系平衡的必要和充分条件是:力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零.FR'=0MO=0一.平面任意力系的平衡方程(a)基本形式（一力矩式）

Fxi

=0

Fyi

=0

mo(Fi)=01(b)二力矩式投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.(c)三力矩式三个矩心A,B

和C不在一直线上.

mA(Fi)=0

mB(Fi)=0

Fxi=0

mA(Fi)=0

mB(Fi)=0

mC(Fi)=02③三力矩式条件：A,B,C不在同一直线上①三个独立方程，只能求出三个未知数。①基本形式②二力矩式条件：x轴不AB

连线②两投影轴可以不垂直（但不能平行）；矩心也可任选，不一定坐标原点（因为主矢等于零，主矩与简化中心的位置无关）。③采用那种形式，先列那个方程，应以简便为原则。

mA(Fi)=0

mB(Fi)=0

Fxi=0

mA(Fi)=0

mB(Fi)=0

mC(Fi)=03例题2-3.在水平梁AB上作用一力偶矩为m的力偶,在梁长的中点C处作用一集中力P它与水平的夹角为

,如图所示.梁长为l且自重不计.求支座A和B的反力.l/2l/2ABCmP

4解:取水平梁AB为研究对象画受力图.FAxFAy

Fxi

=0FAx-P

cos

=0FAx=P

cos

mA(Fi)=0

Fyi

=0FAy-Psin

+FB=0l/2l/2ABCmP

FB5O

PAFBBFDD

(b)JFDKFBPI

(c)解：解法一：(1)取制动蹬ABD作为研究对象。(2)画出受力图。P

246ACBOED(a)(3)应用平衡条件画出P、FB和FD的闭和力三角形。例题2图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成

=45

角。当平衡时，BE水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm

点E在铅直线DA上，又B、E、D都是光滑铰链，机构的自重不计。6（5）代入数据求得：

FB=750N。（4）由几何关系得：由力三角形可得：P

246ACBOED(a)O

PAFBBFDD

(b)JFDKFBPI

(c)7列出平衡方程：联立求解，得O45°PFBFDD

(b)xy又解法二：建立图示坐标系8例题2-4.图示的钢筋混凝土配水槽,底宽1m,高0.8m,壁及底厚10cm水深为50cm.求1m长度上支座的约束反力.槽的单位体积重量

(=24.5kn/m³.)0.5m0.8m1mABC9解:取水槽为研究对象画受力图.FAxW1=24.5×1×1×0.1=2.45kNW2=24.5×1×0.7×0.1=1.715kNF=0.5×(1×9.8×0.5)×0.5×1=1.225kNW=(1×9.8)×1×0.9×0.5=4.41kN0.5m0.8m1mABC0.5mFAymAW1W2Fd0.45mW0.45m10利用平衡方程求解:FAx

+F=0FAx=-1.225kN

Fyi=0FAt

-W-W1-W2=0FAy=8.575kN

mA(Fi)=0mA-(0.5-0.333)F-0.45W-0.5W1-0.95W2=0mA=5.043kN.m

Fxi

=0FAx0.5m0.8m1mABC0.5mFAymAW1W2Fd0.45mW0.45m11例题2-5.一容器连同盛装物共重W=10kN,作用在容器上的风荷载q=1kN/m,在容器的受力平面内有三根杆件支承.求各杆所受的力.2m2mWqABCD30o30o30o30o60o12解:杆件AD,AC和BC都是二力杆.取容器为研究对象画受力图QFADFACFBCQ=1×2=2kN2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m13利用平衡方程求解:2×1-10×1-FBCcos30o×2=0FBC=-6.928kN

mA(Fi)=0QFADFACFBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m14

mC(Fi)=010×2-2×(1+2cos30o)+FAD

×4cos30o=0FAD=-4.196kNQFADFACFBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m15

mE(Fi)=02×(2cos30o-1)+2FAC=0FAC=-0.732kNQFADFACFBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m16静力学平面一般力系的解题步骤：1.选取研究对象2.画受力图3.选投影轴及矩心：尽可能使投影轴与力特别是未知力垂直，矩心尽可能选在力特别是未知力的交点上，以使每个方程中的未知量的数目最少。4.列方程求解：应先列只含一个未知量的方程，避免解联立方程。此外，计算力矩时要善于应用合力矩定理。17二、平面汇交力系的平衡方程Oxy图示平面汇交力系，取汇交点O为简化中心，则于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面汇交力系的平衡方程：∑FXi=0∑FYi=018三、平面平行力系的平衡方程图示平行力系，xy取如图所示直角坐标系，则∑FXi≡0于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式及二力矩式，得平面平行力系的平衡方程：∑FYi=0基本形式二力矩式OAB连线不能平行于各力的作用线19四、平面力偶系的平衡方程因为力偶在任一轴上的投影的代数和恒等于零，即∑FXi≡0∑FYi≡0所以，有平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面力偶系的平衡方程：∑mi=020[例6]

在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A

、B端水平反力?解:各力偶的合力偶距为根据∑mi=0有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。21§2-7.静定与静不定问题.物体系统的平衡(1)静定与静不定问题对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平衡方程的数目.则应用刚体静力学平衡的理论,就可以求得全部未知量,这样的问题称为静定问题.

若未知量的数目超过独立平衡方程的数目.则单独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量,这样的问题称为静不定问题.(2)物体系统的平衡22

物体系统是指由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统.解静定物体系统平衡问题的一般步骤:(a)分析系统由几个物体组成.(b)按照便于求解的原则,适当选取整体或个体为研究对象进行受力分析并画受力图.(c)列平衡方程并解出未知量23例题4-7.三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知:F=20kN,均布荷载q=4kN/m.求铰链支座A和B的约束反力.1m2m2m3mABCqF24解:取整体为研究对象画受力图.FAxFAyFBxFBy

mA(Fi)=0-4×3×1.5-20×3+4FBy=0FBy=19.5kN

Fyi

=0FAy-20+19.5=0FAy=0.5kN1m2m2m3mABCqF

Fxi

=04×3+FAx+FBx=0(1)25取BC为研究对象画受力图.FCxFCy1m3mBCFFBx19.5kN

mC(Fi)=0-1×20+2×19.5+3FBx=0FBx

=-6.33kN

(2)把(2)式代入(1)式得:FAx=-5.67kN26例题4-8.组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知:F=30kN,Q=20kN,

=45o.求支座A和C的约束反力.2m2m2m2m

FQABC27解:取整体为研究对象画受力图.

Fxi

=0FAx-20cos45o=0FAx

=14.14kN

Fyi

=0FAy-30-20sin45o+FC=0(1)2m2m2m2m

FQABCFCFAxFAymA

mA(Fi)=0mA-2×30-6×20sin45o+8FC=0(2)28取BC杆为研究对象画受力图.2m2m

QBCFBxFByFC

mB(Fi)=0-2×20sin45o+4FC=0FC

=7.07kN

(3)

把(3)式分别代入(1)和(2)式得:FAy

=37.07kNmA=31.72kN.m29例题4-9.构架的尺寸及所受荷载如图所示.求铰链E和F的约束反力.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500N30解:取整体为研究对象画受力图.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500NFAxFAyFB

Fxi

=0-FAx

+500=0FAx=500N31取AEGC杆为研究对象画受力图.2m2m2mACEG500N500NFAyFExFGxFEyFGy

mG(Fi)=02×500-2FEx+4×500=0FEx

=1500N32取DEF杆为研究对象画受力图.FEy'FFxFFy1500N

Fxi

=0FFx-1500=0FFx=1500N

mE(Fi)=02×500+2FFy=0FFy

=-500N

Fyi

=0-500-FEy'+(-500)=0FEy'

=-1000N500N2m2mDEF2m2m2mACEG500N500NF