【校级联考】广西玉林市八校联考2021~2022学年中考数学模拟检测试题（含答案与解析）

玉林市八校联考2021-2022学年中考模拟检测试题

数学

（本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟）

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴

在答题卡上指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3.非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答

在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一.选择题（每小题3分，满分36分）

1.4的倒数是（）

1I

A.-4B.4C.------D.一

44

2.“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓

的作用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”

图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.21,0975X103B.2.10975X104

C.21.0975X104D.2.10975X105

4.若代数式上的值为零，则实数x的值为（）

x—3

A.x=0B.xWOC.x=3D.xW3

5.一个不透明口袋中放着若干个红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经

搅匀，从口袋中随机取出一个球，取出红球的概率是L.如果袋中共有32个小球，那么袋中的红球有（）

4

A.4个B.6个C.8个D.10个

6.如图，已知aADE是aABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为a,直线BC

与直线DE交于点F,那么下列结论不正确的是（）

A.ZBAC=aB.NDAE=aC.ZCFD=aD.ZFDC=a

7.某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5,则众数与方差分别为（）

年龄192021222426

人数11Xy21

A.22,3B.22,4C.21,3D.21,4

8.下列运算正确的是（)

A.(a?)』a6B.(a+2)2=a2+4

C.a64-a3=a2D.\fa+\/2a=y/3a

9.在RtZ^ABC中，ZC=90°,a,b,c分别是NA,ZB,NC对边，如果3a=4b,则cosB的值是()

10.如图，某小区计划在一块长为32祖，宽为20,〃的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植

草坪.若草坪的面积为570/，道路的宽为切n则可列方程为（）

32m

xm.___________:

A.32x20-2x2=570B.32x20-3/=570

C.(32-x)(20-2x)=570D.(32-2x)(20-x)=570

II.如图，G）O|与。02相交于A、B两点，经过点A的直线CD分别与OCh、。。2交于C、D,经过点B

的直线EF分别与。0卜交于E、F,且EF/7O1O2.下列结论：①CE〃DF；②/D=/F；③EF=20IC）2.必

定成立的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

12.已知抛物线y=-x2+bx+2-b在自变量x的值满足-1GW2的情况下，若对应的函数值y的最大值为6,

则b的值为（）

A.-1或2B.2或6C.-1或4D.-2.5或8

二.填空题（满分18分，每小题3分）

13.若a,b都是实数，b=Jl-2a+，2.-1-2,则a*5的值为.

14.因式分解：3a3-6a2b+3ab2=.

15.已知实数x、y、z满足Jx-4+（y-2）2+|z+3,=0,则（x-y+z）?。18的值是.

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-1交y轴于点A,过点A作人8〃*轴交抛物线于点B,

点P在抛物线上，连结PA、PB,若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则4ABP的面积是.

17.扇形半径为8cm,圆心角为120。，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的直径是

18.如图，四边形ABCD是边长为6正方形，点E在边AB上，BE=4,过点E作EF〃BC,分别交BD,

CD于点G,F两点，若M,N分别是DG,CE的中点，则MN的长是

三.解答题

/12

19.计算："_(乃一3)°-(-1)269__+cos60°

\3?

20.化简求值："L+4”+(包二-a-b),其中a=3,b=l.

a-ba-b

21.如图，在平面直角坐标系中，Rt^ABC的三个顶点分别是A(-4,1),B(-1,3),C(-1,1)

(1)将AABC以原点0为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△4与G；平移AABC,若A对应的点为

坐标为(-4,-5),画出△42^2；

(2)若△4片£绕某一点旋转可以得到△A与G，直接写出旋转中心坐标是;

(3)在x轴上有一点P是的PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标.

22.“中国梦”关系每个人幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦'’的演讲比

赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A,B,C,D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条

形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题.

0BD等级

（1）参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为度，

图中m的值为一；

（2）补全条形统计图；

（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男

生有1名，请用“列表”或"画树状图'’的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率.

23.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,以BC为直径的。O交AB于点D,过点D作。0的切线DE交AC

于点E.

（1）求证：NA=/ADE；

（2）若AB=25,DE=10,弧DC的长为a,求DE、EC和弧DC围成的部分的面积S.（用含字母a的式

子表示）.

24.随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某市某公司根据市场需求代理A,B两种型号

的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B

型净水器的数量相等，

（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？

（2）该公司计划购进A,B两种型号的净水器共55台进行试销，其中A型净水器为m台，购买两种净水

器的总资金不超过10.8万元.试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，该公司

决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70<a<80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公

司售完55台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值.

25.已知：正方形ABCC,等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点。处，使三角板绕点。旋转.

图1图2

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE=1：、斤：3,求即的度数；

（3）若8C=4,点M是边AB的中点，连结。M,DW与AC交于点0,当三角板的边QF与边。M重合时

（如图2）,若0F=旦,求。尸和ON的长.

3

k

26.如图，已知矩形OABC中，OA=3,AB=4,双曲线y=—（k>0）与矩形两边AB、BC分别交于D、

x

E:J,且BD=2AD

（1）求k的值和点E的坐标；

（2）点P是线段0C上的一个动点，是否存在点P,使NAPE=90°?若存在，求出此时点P的坐标，若

不存在，请说明理由.

参考答案

一.选择题（每小题3分，满分36分）

1.4的倒数是（）

11

A.—4B.4C.-------D.一

44

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】解：4的倒数是故选D

4

2.“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓

的作用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”

图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答.

【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误.

故选B.

【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿

对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

3.2022年泰兴国际半程马拉松全程约为21097.5米，将21097.5用科学记数法表示为()

A.21.0975X103B.2.10975XI04

C.21.0975X104D.2.10975X105

【3题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为“xlO"的形式，其中l＜|a|＜10,"为整数.确定”的值时，要看把原数变

成“时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，”是正数；当

原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【详解】解：21097.5=2.10975X104.

故选B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为4X10■'的形式，其中上同＜10,〃为整

数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

Y

4.若代数式一；的值为零，则实数x的值为()

x—3

A.x=0B.x#0C.x=3D.x#3

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据分子为零，且分母不为零解答即可.

【详解】解：•••代数式」一的值为零，

无一3

x=0,

此时分母x-3#0,符合题意.

故选A.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0,②分

母的值不为0,这两个条件缺一不可.

5.一个不透明的口袋中放着若干个红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经

搅匀，从口袋中随机取出一个球,取出红球的概率是,.如果袋中共有32个小球,那么袋中的红球有（）

4

A.4个B.6个C.8个D.10个

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据概率公式列方程求解即可.

【详解】解：设袋中的红球有x个，

X1

根据题意得：—

324

解得：x=8,

故选C.

【点睛】此题考查了概率公式的计算方法，如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其中

事件A出现机种结果，那么事件A的概率P（A）=—.

n

6.如图，已知4ADE是aABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为a,直线BC

与直线DE交于点F,那么下列结论不正确的是（）

A.ZBAC=aB./DAE=aC.ZCFD=aD.ZFDC=a

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用旋转不变性即可解决问题.

【详解】:△DAE是由aBAC旋转得至IJ,

，NBAC=NDAE=a,NB=ND,

,/ZACB=ZDCF,

ZCFD=ZBAC=a,

故A,B,C正确，

故选D.

【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转不变性解决问题，属于中考常考题型.

7.某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5,则众数与方差分别为（）

年龄192021222426

人数11Xy21

A.22,3B.22,4C.21,3D.21,4

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】【分析】先根据数据的总个数及中位数得出x=3、y=2,再利用众数和方差的定义求解可得.

【详解】•.•共有10个数据，

x+y=5,

21+22

又该队队员年龄的中位数为21.5,即2.15二-------，

2

；・x=3、y=2,

19+20+21x3+22x2+24x2+26

则这组数据的众数为21,平均数为---------------------------------=22,

10

所以方差为Jx[(19-22)2+(20-22)2+3x(21-22)2+2x(22-22)2+2x(24-22)2+(26-22)2]=4,

故选D.

【点睛】本题主要考查中位数、众数、方差，熟练掌握方差的计算公式、根据中位数的定义得出x、y的值

是解题的关键.

8.下列运算正确的是（）

A.（a2）3=a6B.（a+2）』a?+4

Ca6-i-a3=a2D.Ja+\[la=

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据基的乘方，完全平方公式，同底数基的除法，二次根式的加减法法则计算即可.

【详解】解：A、⑷）3=a6,故本选项正确：

B、（a+2）2=a2+4a+4,故本选项错误;

C、a64-a3=a3,故本选项错误；

D、＞/a+V2a=Va+V2a＞故本选项错误.

故选A.

【点睛】本题考查了完全平方公式，幕的乘方运算，同底数幕的除法法则，二次根式的加减法的法则，比

较简单.牢记法则是关键.

9.在RtZ\ABC中，ZC=90°,a,b,c分别是NA,ZB,NC对边，如果3a=4b,则cosB的值是（）

【9题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据锐角三角函数的定义可得COSB=D,然后根据题目所给3a=4b可求解.

C

【详解】解：因为在RQABC中，ZC=90°,a,b,c分别是NA,ZB,NC对边，如果3a=4b,

4

令b=3x，则a=4x，所以c=5x，所以cosB=—，

故选D.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握cosB=9.

C

10.如图，某小区计划在一块长为32,〃，宽为20〃?的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植

草坪.若草坪的面积为5704,道路的宽为xm,则可列方程为()

A.32x20-2%2=570B.32x20-3/=570

C.(32-%)(20-2%)=570D.(32-2x)(20-x)=570

【10题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm,根据草坪的面积是570m2,即可列出方程.

【详解】解：设道路的宽为xm,根据题意得：(32-2x)(20-x)=570,

故选D.

【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为

规则图形，进而即可列出方程.

11.如图，OOi与。02相交于A、B两点，经过点A的直线CD分别与。0卜交于C、D,经过点B

的直线EF分别与。0卜交于E、F,且EF〃O1ch.下列结论：①CE〃DF；②ND=ZF；③EF=20IC>2.必

C.2个D.3个

【11题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据相交两圆的性质、圆周角定理的推论、平行线的判定以及三角形的中位线定理分别判断.

【详解】解：连接AB,AE,AF,根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，得AB10I02.再根据

90。的圆周角所对的弦是直径，得AE,AF是直径.

①、根据直径所对的圆周角是直角，得NC=ND=90。，则NC+ND=180。，得CE〃DF；

②、因为BD不一定是直径，所以NF不一定是直角，错误；

③、根据三角形的中位线定理，得EF=2OQ2.

故选C.

【点睛】本题考查了相交两圆的性质、圆周角定理的推论、平行线的判定以及三角形的中位线定理.熟练

掌握圆周角定理的推论是解答本题的关键.半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直

径.

12.已知抛物线y=-x2+bx+2-b在自变量x的值满足-lWx<2的情况下，若对应的函数值y的最大值为6,

则b的值为（）

A.-1或2B.2或6C.-1或4D.-2.5或8

【12题答案】

【答案】D

【解析】

bbh

【分析】求出抛物线的对称轴，然后分当一<-1,当-is2s2,当一>2三种情况求解即可.

222

【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=2,

2

当?<-1,即b<-2时，则-lSx$2,y随x的增大而减小，即x=-1时，y=6,所以-（-1）2-b+2

-b=6,解得b=--；

2

bbbh2

当-1W—S2,即-2gb*时，则-lgxS2,所以x=—时，y=6,所以-（—）2+一+2-b=6,解得bi=

2222

2+2y/5（舍去），b2=2-2y/5（舍去）；

当2>2,即b>4时，则-14x02,y随x的增大而增大，即x=2时，y=6,所以-2?+2b+2-b=6,解得

2

b=8,

综上所述，b值为-3或8.

2

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，及分类讨论的数学思想.对于二次函数产以2+云+c(小b,C

为常数，存0),当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随X的增大而减小，在对称轴的右侧y随X的增大

而增大；当。<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.

二.填空题(满分18分，每小题3分)

13.若a,b都是实数，b=J1-2a+j2a-l-2,则a>>的值为.

【13题答案】

【答案】4

【解析】

【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幕的性质得出答案.

【详解】解：；b=Jl—2a+j2a-1-2,

1-2«>0

'-[2«-1>0

l-2a=O,

解得：a=—,则b=-2,

2

故ab=(-)-2=4.

2

故答案为4.

【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数辱的性质，正确得出a的值是解题关键.

14.因式分解：3a3-6a2b+3ab2=.

【14题答案】

【答案】3aCa-b)2

【解析】

【分析】首先提取公因式3a,再利用完全平方公式分解即可.

【详解】3a3-6a2b+3ab2,

=3a(a2-2ab+b2),

—3a(a-b)2.

故答案为：3a(a-b)2.

【点睛】此题考查多项式的因式分解，多项式分解因式时如果有公因式必须先提取公因式，然后再利用公

式法分解因式，根据多项式的特点用适合的分解因式的方法是解题的关键.

15.已知实数x、y、z满足Jx-4+（y-2）2+|z+31=0,则（x-y+z）2018值是

【15题答案】

【答案】1

【解析】

【分析】根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后代入(x-y+z)2。18计算即可.

【详解】解：；,x_4+(y-2)2+忆+3|=0,

x-4=0,y-2=0,z+3=0,

贝ljx=4,y=2,z=-3,

A(x-y+z)2018=(4-2-3)2018=(-1)20l8=l,

故答案为1

【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限

个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-1交y轴于点A,过点A作AB〃x轴交抛物线于点B,

点P在抛物线上，连结PA、PB,若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则4ABP的面积是.

【答案】2

【解析】

【分析】求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三角形

的高，然后根据三角形面积公式即可求得.

【详解】解:令x=0,则y=x2-2x-l=-l,

.*.A(0,-1),

把y=-l代入y=x2-2x-l得-l=x2-2x-L

解得xi=0,X2=2,

；.B（2,-1）,

/.AB=2,

•.•点P关于X轴的对称点恰好落在直线AB上，

...△PAB边AB上的高为2,

S=—x2x2=2.

2

故答案为2.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解题的关键.

17.扇形的半径为8cm,圆心角为120。，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的直径是

____cm.

【17题答案】

【答案】—

3

【解析】

【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得.

【详解】解：设此圆锥的底面半径为r,由题意，得

120x248

2nr=------------

360

Q

解得：r=-

3

所以直径：—cm

3

【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.

18.如图，四边形ABCD是边长为6正方形，点E在边AB上，BE=4,过点E作EF〃BC,分别交BD,

CD于点G,F两点，若M,N分别是DG,CE的中点，则MN的长是.

【18题答案】

【答案】V13

【解析】

【分析】作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH,利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得:

MK=FK=1,NP=3,PF=2,利用勾股定理可得MN的长.

【详解】过M作MKJ_CD于K,过N作NPJ_CD于P,过M作MHJ_PN于H,

则MK〃EF〃NP,

VZMKP=ZMHP=ZHPK=90°,

四边形MHPK是矩形，

；.MK=PH,MH=KP,

：NP〃EF,N是EC的中点，

.CPNPj_PN_CN_1

"~CF~~EF~~CE~2

111

，PF=-FC=—BE=2,NP=-EF=3,

222

同理得：FK=DK=1,

•••四边形ABCD为正方形，

AZBDC=45°,

AMKD是等腰直角三角形，

，MK=DK=1,NH=NP-HP=3-1=2,

；.MH=2+1=3,

在RIAMNH中，由勾股定理得：MN=^22+32

故答案为

图1

本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质

等知识；本题的关键是构造直角三角形MNH,根据勾股定理计算.

三.解答题

(12

19.计算：V4-(^-3)°-(-l)2019--+cos600

【19题答案】

【答案】-6.5

【解析】

【分析】先计算算数平方根及乘方，然后再计算加减即可.

【详解】解：原式=2-1+1-9+^-=-6.5.

【点睛】含有乘方和特殊角三角函数的实数的混合运算是本题的考点，熟练掌握运算法则是解题的关键.

20.化简求值：------------—(------a-b),其中a=3,b=l.

a-ba-b

【20题答案】

【答案】-5.

【解析】

【分析】利用完全平方公式与平方差公式对分式进行整理变形得到原式="竺，再将a,b的值代入求解即

2b-a

可.

22

【详解】解：原式(-a-+--2-b-]上~十(—3b—幺cr；-b\

a-b\a-ba-b)

=(a+20)24Z?2-a2

a-ba-b

_(a+2b'ya-b

a-b(28+a)(2b-a)

_a+2b

~2b-a'

当a=3,b=l时,

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解此题的关键在于熟练掌握完全平方公式与平方差公式.

21.如图，在平面直角坐标系中，RtaABC的三个顶点分别是A(-4,1).B(-1,3),C(-1,1)

(1)将4ABC以原点O为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△4gG；平移AABC,若A对应的点儿

坐标为(-4,-5),画出2c2；

(2)若△AAG绕某一点旋转可以得到△4名。2,直接写出旋转中心坐标是:

(3)在x轴上有一点P是的PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标.

[21题答案】

13

【答案】(1)见解析(2)(-1,-2)(3)P(-一，0).

4

【解析】

【分析】(1)根据旋转变换与平移变换的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可；

(2)结合对应点的位置，根据旋转变换的性质可得旋转中心；

(3)作出点A关于x轴的对称点A',再连接A，B,与x轴的交点即为P点.

【详解】(1)如图所示，△A4G，AA282G即为所求;

(2)如图所示，点Q即为所求，坐标为(-1,-2)

(3)如图所示，P即为所求，

设A，B的解析式为y=kx+b,

-1=-4k+b

将A，(-4,-1),B(-1,3)代入得＜

3=-k+b

k=±

3

解得《

,13

b=—

3

413

**•A?B的解析式为y=—xH--，

33

41313

当y=0,时，—x+一=0,解得x=-一

334

y小

【点睛】此题主要考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是熟知旋转变换与平移变换的定义与性质，

据此找到变换后的对应点.

22.“中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦'’的演讲比

赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A,B,C,D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条

形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题.

8

7

6

5

4

3

2

1

（1）参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为度，

图中m的值为」

（2）补全条形统计图；

（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，己知A等级中男

生有1名，请用“列表”或"画树状图''的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率.

【22题答案】

【答案】（1）20,72,40；（2）作图见试题解析；（3）|2.

【解析】

【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D级的人数求得D等级扇形圆心角

的度数和m的值；

（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；

（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率.

详解】（1）根据题意得:3-15%=20（人），

4

表示“D等级”的扇形的圆心角为一x360°=72°；

20

Q

C级所占的百分比为)xl00%=40%,故m=40,

故答案为20,72,40.

(2)故等级B的人数为20-(3+8+4)=5(人),

补全统计图，如图所示；

7

6

5

4

3

2

1

0

(3)列表如下:

曼勒,近

斗嘴J

嚏：斗弟n毒》

斗起,盘沿

所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4利则P(恰好是一名男生和一名女

42

63

考点：1.列表法与树状图法；2.扇形统计图；3.条形统计图.

23.如图，在RtaABC中，ZC=90°,以BC为直径的。O交AB于点D,过点D作。O的切线DE交AC

于点E.

（1）求证：ZA=ZADE；

（2）若AB=25,DE-10,弧DC的长为a,求DE、EC和弧DC围成的部分的面积S.（用含字母a的式

子表示）.

[23题答案】

【答案】（1）见解析；（2）75--a.

4

【解析】

【分析】（1）连接CD,求出/ADC=90。，根据切线长定理求出DE=EC,即可求出答案；

（2）连接CD、OD、OE,求出扇形DOC的面积，分别求出AODE和ZkOCE的面积，即可求出答案

【详解】（1）证明：连接DC,

YBC是。0直径，

ZBDC=90°,

NADC=90°,

VZC=90o,BC为直径,

；.AC切。0于C,

:过点D作。0的切线DE交AC于点E,

；.DE=CE,

ZEDC=ZECD,

VZACB=ZADC=90o,

NA+NACD=90°,NADE+/EDC=90°,

；./A=/ADE；

（2）解：连接CD、0D、0E,

VDE=10,DE=CE,

...CE=10,

VZA=ZADE,

.\AE=DE=10,

.\AC=20,

•.•/ACB=90°,AB=25,

...由勾股定理得：2=^252_2Q2=15,

15

.".CO=OD=—,

2

•••&的长度是a,

；♦扇形DOC的面积是《xax"a,

224

ADE,EC和弧DC围成的部分的面积S=—x—xlO+—X—xlO--a=75-—a.

222244

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，扇形

的面积，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

24.随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某市某公司根据市场需求代理A,B两种型号

的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B

型净水器的数量相等，

（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？

（2）该公司计划购进A,B两种型号的净水器共55台进行试销，其中A型净水器为m台，购买两种净水

器的总资金不超过10.8万元.试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，该公司

决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70<a<80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公

司售完55台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值.

【24题答案】

【答案】（1）每台甲型净水器的进价是2000元，每台乙型净水器的进价是1800元；（2）W最大值为（26300

-45a)元.

【解析】

【分析】（1）设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是（x+200）元，根据数量=总价

・单价结合用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，即可得出关于x的分式方程,

解之经检验后即可得出结论;

（2）根据购买资金=八型净水器的进价X购进数量+B型净水器的进价X购进数量结合购买资金不超过10.8

万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，由总利润=每台A型净水器的利

润X购进数量+每台B型净水器的利润X购进数量-aX购进A型净水器的数量，即可得出W关于m的函数

关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题.

【详解】解：（1）设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是（x+200）元,

…k安"5000045000

依题意，得：-------=------

x+200x

解得：x=1800,

经检验，x=1800是原分式方程的解，且符合题意,

.,.x+200=2000.

答：每台甲型净水器的进价是2000元，每台乙型净水器的进价是1800元;

（2）购进甲型净水器m台，则购进乙型净水器（55-m）台,

依题意，得:2000m+1800(55-m)<108000,

解得：m*5.

W=(2500-2000-a)m+(2180-1800)(55-m)=(120-a)m+20900,

V120-a>0,

•••W随m值的增大而增大,

.,.当m=45时，W取得最大值，最大值为（26300-45a）元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式.

25.已知：正方形ABCD,等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点。处，使三角板绕点。旋转.

图1

(1)当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；

(2)在(1)的条件下，若DE：AE：CE=1：、斤：3,求即的度数；

(3)若8C=4,点M是边AB的中点，连结。M,DM与AC交于点0,当三角板的边QF与边。M重合时

(如图2),若0F=立,求。尸和£>2的长.

3

[25题答案】

【答案】(1)CE=AF,见解析；(2)/AED=135°；(3)DF=#，DN=’.

3

【解析】

【分析】(1)由正方形和等腰直角三角形的性质判断出△ADFg^CDE即可；

(2)设DE=k,表示出AE,CE,EF,判断出4AEF为直角三角形，即可求出N