【奥数】人教版小学数学五年级上册 约数个数定理（试题）含答案与解析

经典奥数：约数个数定理（专项试题）

选择题（共6小题）

1.如果自然数A=2X3X5,那么A的因数有（）

A.3个B.6个C.8个

2.24的约数一共有（）个.

A.10B.8C.6D.4

3.如果M=AX3XC（4,B,C为不同的质数），则M的因数有（）个.

A.3B.6C.8D.9

4.类似6、28、496、8128…的数称之为完美数，因为这些数的所有因数的和正好等于它

本身的2倍,如l+2+3+6=6X2.则完美数496有（）个因数.

A.8B.9C.10D.12

5.在1--5000中只有3个约数的数有（）个.

A.18B.19C.20D.21

6.4、B、C是各不相同的自然数，且A+B=C,那么A的因数至少有（）个.

A.2B.3C.4

二.填空题（共6小题）

7.某自然数有10个不同的约数，但质约数只有2和3,满足条件的自然数最大

是。

8.[川表示自然数A的约数的个数，例如，4有1,2,4三个约数，可以表示成图=3,计

算：（[18]+[22]）-?[7]=.

9.1024的质因数共有个.

10.24和60的公约数共有个，把其中最大的公约数分解质因数是.

11.已知甲=2X2X2X3X5,乙=2X3X5X5,甲、乙两数的公因数共有个.

12.有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800,求这两个

数分别是.

三.解答题（共7小题）

13.因数和是指一个数所有因数的和，例如“6”的因数和是1+2+3+6=12.

（1）24的因数和是多少？

（2）一个自然数有5个因数，求因数和最小是多少？

（3）一个数的因数和是78,求这个数是多少？

14.有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800,求这两个

数分别是多少？

15.有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4,最大的两个约数之和是100,求这个自

然数。

16.一个数有4个因数，其中一个因数是最小的四位质数，则这个数最小是多少？

17.一个正整数，它的2倍的因数恰好比它自己的因数多2个，它的3倍的因数恰好比它自

己的因数多3个.那么这个正整数是多少？

18.360有多少个因数？所有因数的和是多少？

19.给出一个自然数〃，〃的约数个数用A(〃)表示，〃的约数和用85)表示.

(1)求A(42),B(42).

(2)求A(")=8,最小的自然数"是几？

(3)若A(〃)=2,问〃一定是怎样的数？

参考答案与试题解析

选择题(共6小题)

1.【解答】解：因为A=2X3X5,

所以A的因数有：1、2、3、5、2X3=6、2X5=10、3X5=15和2X3X5=30,共有8

个。

故选：Co

2.【解答】解:24=23X31,

所以24的约数一共有：

(3+1)X(1+1)=4X2=8(个)；

答：24的约数一共有8个.

故选：B.

3.【解答］解：M=AXBXC

共有：(1+1)X(1+1)X(1+1)=8(个)

答：M的因数共有8个.

故选：C.

4.【解答】解：496=2X2X2X2X31=24X31

(4+1)X(1+1)

=5X2

=10(个)

答：完美数496有10个因数.

故选：C.

5.【解答］解：如：22=4,4的约数有：1,2,4,一共3个约数；

32=9,9的约数约数有：1,3,9,一共3个约数；

52=25,25的约数有；1,5,25,一共3个约数；

所以一个质数的平方数，只有三个因数：1,这个质数，它本身；

因为100以内质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、

53、59、61、67>71、73、79、83、89、97一共25个；

因为672=4489；7i=5041；

5000以内只有3个约数的数最大是4489,

所以2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53>59、61、67的

平方数都只有3个因数，这样的数一共有19个，

故选：B.

6.【解答】解：根据分析可知：A的因数至少有1、A(或BC的积)、B、C；共4个；

答：A的因数至少有4个.

故选：C.

二.填空题(共6小题)

7.【解答】解：因为10=2X5=(1+1)X(4+1),

所以一个自然数有10个不同的因数，则这个自然数最大：2'X34=I62«

答：满足条件的自然数最大是162。

故答案为：162。

8.【解答]解：18的因数有：1,2,3,6,9,18；

22的因数有：1,22,2,11

7的因数有：1,7

所以：([18]+[22])4-[7]

=(6+4)4-2

=5

故答案为：5.

9.【解答】解：1024=2?

所以，1024的质因数共有10个；

故答案为：10.

10.【解答]解：24=2X2X2X3

60=2X2X3X5

24和60的最大的公约数是：2X2X3=12

所以，24和60的公约数有：1、12、2、6、3、4,共6个.

其中最大的公约数是12,分解质因数是：12=2X2X3.

故答案为：6；12=2X2X3.

11.【解答】解：甲、乙两数的最大公因数是：2X3X5=2iX3iX5l

所以，公因数共有：(1+1)X(1+1)X(1+1)

=2X2X2

=8(个)

答：甲、乙两数的公因数共有8个.

故答案为：8.

12.【解答】解：2800=24X52X7,

设第一个数是M第二个数是

因为N它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；则它的质因数的指数加1的

积是：

9=3X3=(2+1)X(2+1)；

所以这个数是：A?=22X52=4X25=100；

同理，M的质因数的指数加1的积是：

10=2X5=(1+1)X(4+1),

所以这个数是：M=24X7I=16X7=112；

答：这两个数分别是100和112.

故答案为：100,112.

三.解答题(共7小题)

13.【解答】解：60；31；45

(1)24=23义3,所以因数和为：(1+2+4+8)X(1+3)=60；

(2)5不能分解质因数了，这个自然数只能是某个质数的5-1=4次方，这个数最小是

24,因此因数和最小为：2°+21+22+23+24=+1+2+4+8+16=31；

(3)78=2X3X13=6X13,分解各个因数，看是否能组成各个数(l+a+d+“3+…)的

形式相乘：

经试验，78=2X3X13,(1+1)X(1+2)X(1+3+9),2=1+1,不合题意舍去；

78=6X13,可以得出(1+5)X(1+3+9)符合要求，

所以这个数为：5'X32=5X3X3=45；

14.【解答】解：2800=24X52X7,

设第一个数是N,第二个数是

因为N它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；则它的质因数的指数加1的

积是：

9=3X3=(2+1)X(2+1)；

所以这个数是：7=22X52=4X25=100；

同理，M的质因数的指数加1的积是：

10=2X5=(1+1)X(4+1),

所以这个数是：M=24X7I=16X7=112；

答:这两个数分别是100和112.

15.【解答】解：根据分析可得：

最小的两个约数中一定有一个是1,因此另一个是4-1=3,

最大的两个约数是：

1004-(3+1)

=100+4

=25

100-25=75

所以最大的两个约数是25和75,这个自然数就是75。

答：这个自然数是75。

16.【解答】解：最小的四位质数是1009,则另一个因数一定有1,

要使这个数最小，且有4个因数，所以第二小的因数一定是2,

这个数最小为：1009X2=2018,

因数的个数为(1+1)X(1+1)=4,符合要求；

答：这个数最小是2018.

17.【解答】解：这个数只能含2和3两种质因数，因为如果它还有别的质因数，那么最后

增加的个数要比给定的数字大.

设x=2"3〃，它的约数(a+1)(ZH-1)个，

它的2倍为2"型,它的约数有(a+1+l)(6+1)个，

贝ij：(4/+I+I)(b+1)-(a+1)(b+1)=b+l=2,求出〃=1；

同理，它的3倍为2",它的约数为(«+1)(fe+1+l)个，比原数多3个，

即(a+1)(/H-l+1)-(a+1