类型七、多项式中的归纳与规律

类型七、多项式中的归纳与规律【解惑】根据下面四个算式：5232＝（5+3）×（53）＝8×2；11252＝（11+5）×（115）＝16×6＝8×12；15232＝（15+3）×（153）＝18×12＝8×27；19272＝（19+7）×（197）＝26×12＝8×39．请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；方法：主要还是以找规律为主，如果是小学学过奥数里面的数列的话，那会更容易理解，我们是以项数和内容为住，比如：第一项是5/3/2这几个变量，那我们就要去看第n项是多少，以此推理即可。【融会贯通】1．观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（）A．20181 B．20191 C．20201 D．202112．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如图，后人也将其称为“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．20203．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：11＝a+b121＝1331＝14641＝请根据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（

）A．2021 B．4042 C．2043231 D．20194．观察下列各式：①

②③……根据以上规律，试求出的值为（

）A． B． C． D．5．根据等式：，，，，…的规律，则可以推算得出（

）．A． B． C． D．6．式子的化简结果为（

）A． B． C． D．7．观察下列各式及其展开式(a+b)2＝a2+2ab+b2(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想(2x﹣1)8的展开式中含x2项的系数是（）A．224 B．180 C．112 D．488．如图，观察表1，寻找规律，表1、表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中m为整数且，则（

）A． B． C． D．9．的计算结果的个位数字是（

）A．8 B．6 C．4 D．210．，，······通过计算，猜想：的结果是（

）A． B． C． D．11．已知，，均为正数，且满足，，则M与N之间的关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定【知不足】12．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要1枚棋子，摆第2个图案需要7枚棋子，摆第3个图案需要19枚棋子，摆第4个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第5个图案需要______枚棋子，摆第n个图案需要______枚棋子．13．在同一平面内，1个圆把平面分成0×1+2=2个部分，2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分，，3个圆把平面最多分成2×3+2=8个部分，4个圆把平面最多分成3×4+2=14个部分，……（1）10个圆把平面最多分成____________个部分；（2）n个圆把平面最多分成____________个部分.14．数学兴趣小组发现：（x－1）（x＋1）＝x2－1（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1利用你发现的规律：求：＝__________15．用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋子的颗数是宽所用棋子颗数的2倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多．如果等边三角形点阵比长方形点阵多用20颗棋子，则等边三角形点阵所用棋子的颗数为________．16．如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)17．古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，那么的值是_____（用含n的式子表示）．18．____．19．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…依此规律，拼成第n个图案需要小木棒_______.20．如图，有一个正六边形的点阵，层数由内向外第一层每边有两个点，第二层每边有三个点，依此类推，从射线开始，沿逆时针方向按顺序将每个点依次标上1，2，3，4，5，6，7，……用含的代数式表示：第层共有______个点、射线上第个数字是________．21．观察下列各式的规律：；；；……根据以上规律，可得到_______．22．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．（1）请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．（a+b）4＝a4+4a3b+_____a2b2+4ab3+b4（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过814天是星期_____．23．我们知道展开后等于，我们可以利用多项式乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢﹖我们不妨找找规律!如果将（为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：计算结果的项数各项系数1121

131

2

141

3

3

1上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．请你利用“杨辉三角”求出下式的计算结果：_____________．24．我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了（）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为_________．25．观察下列算式：……根据以上规律，计算的结果是______，末尾数字是____．【一览众山小】26．观察以下等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：第5个等式：……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：_______________；(2)写出你猜想的第n个等式：___________________（用含n的等式表示），并证明．27．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，已知图1中有5个黑色圆点；图2中有12个黑色圆点；图3中有22个黑色圆点；图4中有35个黑色圆点；……。(1)根据上述排列规律，则图5中黑色圆点的个数为(2)猜想图n中黑色圆点的个数为_______(用含n的式子表示并化简，不用说明理由)；(3)利用(2)的结论求图200中黑色圆点的个数28．观察下列图形与等式的关系：按照以上图形与等式的规律，解答下列问题：（1）写出第5个等式：．（2）写出你猜想的第n个等式：．（用含n的等式表示），并证明（已知：1+2+3+……+n＝）．29．观察以下等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：__________________________；（2）写出你猜想的第个等式：___________________________（用含的等式表示），并证明．30．数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式(1)请你类比上面的等式，计算：①；②；(2)请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明．31．阅读下列材料，完成相应任务．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示：…完成下列任务：(1)写出的展开式．(2)计算：．32．（1）计算并观察下列各式：第1个：；第2个：；第3个：；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则；（3）利用（2）的猜想计算：．（4）拓广与应用：．33．“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．例：求前个正整数之和的平方．第一步：若小正方形的边长为1个单位长度，则、、、的值可用一个正方形的面积来表示（如图所示）；第二步：通过观察，上述各式的值还可以用若干个正方形的面积之和来表示；第三步：根据规律可得到（

）A． B．C． D．34．阅读材料：在学习多项式乘以