专题02 中心对称与中心对称图形（四大类型）（题型专练）（解析版）

专题02中心对称与中心对称图形（四大类型）【题型1中心对称图形】【题型2中心对称的性质】【题型3点坐标的对称】【题型4图案设计】【题型1中心对称图形】1．（2022秋•香坊区期末）如图各图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：B．2．（2022秋•曲周县期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．故选：B．3．（2022秋•十堰期末）下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】C【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．故选：C．4．（2022秋•平泉市校级期末）若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵两个图形成中心对称，∴①对应点的连线必经过对称中心，正确；②这两个图形的形状和大小完全相同，正确；③这两个图形的对应线段一定相等，正确；④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合错误，必须旋转180°才能够重合．综上所述，正确的由①②③共3个．故选：C．5．（2022秋•栾城区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′ B．OA＝OA′ C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′【答案】D【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．故选：D．【题型2中心对称的性质】6．（2023春•砀山县校级期中）如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC＝2，AB＝4，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是（）A．4 B． C． D．【答案】D【解答】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，∴AO＝CO＝AC＝1，∴BO＝＝＝，∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝，∴AQ＝AO+CO+CQ＝3，∴AP＝＝＝2．故选：D．7．（2022春•安吉县期末）如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，则对称中心E点的坐标是（）A．（3，﹣1） B．（0，0） C．（2，﹣1） D．（﹣1，3）【答案】A【解答】解：如图，连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点．观察图形可知，E（3，﹣1）．故选：A．8．（2022•贵阳模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，则点A与点B′之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，∴∠CO′B′＝∠BOC＝90°，∴O′C＝OC＝OA＝AC＝2，∴AO′＝6，∵OB＝OD＝O′B′＝BD＝8，在Rt△AO′B′中，根据勾股定理，得AB′＝＝10．则点A与点B′之间的距离为10．故选：C．9．（2022春•连山区期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形组成的，B（3，3），A（a，0）是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（）A．1 B． C． D．【答案】A【解答】解：如图，当AB将图案分成面积相等的两部分时，则有，即，解得a＝1．故选：A．10．（2022春•相城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC＝2，∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，∵AB′＝5，∴，∴，∴，即菱形ABCD的边长是，故选：D．11．（2022秋•天山区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB＝4，则AB'的长是（）A．4 B． C．2 D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC＝2，∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，∵AB＝4，∴O′B′2＝CB′2﹣O′C2＝15，∴AB′＝＝＝＝2．故选：C．12．（2022秋•五华县期中）如图是北师大版九年级上册数学教材第25页第4题内容的变式，如图，三个边长相同的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是8，则正方形的边长为（）A．2 B．4 C．8 D．2【答案】B【解答】解：如图所示，连接O1B、O1C，∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，∴∠BO1F＝∠CO1G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，在△O1BF和△O1CG中，，∴△O1BF≌△O1CG（ASA），∴＝，∴两个正方形重叠阴影部分的面积是S正方形ABCD，同理，另外两个正方形重叠阴影部分的面积也是S正方形ABCD，∴阴影部分的面积和＝8＝S正方形ABCD，∴S正方形ABCD＝16，∴正方形ABCD的边长＝＝4，故选：B．13．（2022秋•沙河口区校级月考）经过矩形对称中心的任意一条直线，把这个矩形分成两部分，设这两部分的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定【答案】C【解答】解：矩形ABCD中，AD＝BC，AO＝BO＝CO＝DO，∴△AOD≌△BOC（SSS），∵∠ECO＝∠FAO，OA＝OC，∠EOC＝∠FOA，∴△OEC≌△OFA，同理可证，△DEO≌△BFO，∴S1＝S2．故选：C．14．（2022春•温州期中）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A（0，3），B（﹣1，0），若直线y＝﹣2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是．【答案】（，3）【解答】解：连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．∵B（﹣1，0），∴T（，），∵直线y＝﹣2x+4平分平行四边形ABCD的面积，∴直线y＝﹣2x+4经过点T，∴＝﹣2×+4，∴m＝，∴D（，3），故答案为：（，3）．15．（2021秋•任城区校级月考）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为．【答案】12【解答】解：如图，∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝4，OD＝3，∴AB＝3，∴图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12．故答案为：12．16．（2022秋•南昌期中）如图，直线MN过▱ABCD的中心点O，交AD于点M，交BC于点N，已知S▱ABCD＝4，则S阴影＝．【答案】1【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥CN，OA＝OC，∴∠MAO＝∠NCO，∵∠AOM＝∠CON，∴△AOM≌△CON（ASA），∴S△AOM＝S△CON，∴S阴＝S△AOM+S△BON＝S△BOC＝S平行四边形ABCD＝1，故答案为：1．17．（2021秋•雷州市校级月考）如图所示的图形是一个中心对称图形，点O是AC与BD的交点，且是对称中心．（1）若AO＝4cm，那么CO的长是多少？（2）试说明△ABO≌△CDO．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心，∴AO＝CO，∵AO＝4cm，∴CO＝4cm；（2）∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心，∴AO＝CO，BO＝DO，在△ABO和△CDO中，∴△ABO≌△CDO（SAS）．【题型3点坐标的对称】18．（2022秋•仙居县期末）点A（﹣1，2）关于原点对称的点B的坐标是（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）【答案】A【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2），故选：A．19．（2023•大东区模拟）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，故选：B．20．（2023春•东港市期中）在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（）A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32【答案】B【解答】解：∵点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），∴a+5＝3，b＝4，∴a＝﹣2，∴ab＝（﹣2）×4＝﹣8．故选：B．21．（2022秋•鸡西期末）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是（）A．a＜﹣或a＞1B．a＜﹣ C．﹣＜a＜1 D．a＞1【答案】B【解答】解：点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点（﹣2a﹣1，﹣a+1）在第一象限，则，解得：a＜﹣．故选：B．【题型4图案设计】22．（2022春•梅江区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，2），B（﹣4，5），C（﹣3，3）（1）画出△ABC．（2）若△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，则点A1的坐标是（5，﹣2）．△A1B1C1的面积是2.5．【答案】（1）图形见解答；（2）（5，﹣2）；2.5．【解答】解：（1）如图：∴△ABC即为所求；（2）∵△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，∴点A1的坐标是（5，﹣2），∵△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，∴△A1B1C1的面积＝△ABC的面积＝2×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×1×2＝6﹣1.5﹣1﹣1＝2.5，故答案为：（5，﹣2）；2.5．23．（2023春•雨花区校级期末）已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，解得a＝1，b＝﹣1，∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，∴点D（﹣3，1）；（2）如图所示：四边形ADBC的面积为：．23．（2021秋•南关区校级期中）图①、②均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A、C在格点上．在给定的网格中按要求作图，所有图形的顶点均在格点上．（1）在图①中作以AC为腰的等腰△ABC，且三边长均为无理数，并写出△ABC的面积为6．（2）在图②中作以AC为边的四边形ACDE，使四边形为中心对称图形，且面积为8．【答案】（1）画图见解答；6．（2）见解答．【解答】解：（1）如图①，△ABC即为所求．△ABC的面积为4×4﹣﹣﹣＝6．故答案为：6．（2）如图②，四边形ACDE即为所求．24．（2021春•浦东新区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣2，0）．（1）图中点B的坐标是（﹣3，4）；（2）点B关于原点对称的点C的坐标是（3，﹣4）；点A关于y轴对称的点D的坐标是（2，0）；（3）四边形ABDC的面积是16；（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC，那么点F的所有可能位置是（0，4）或（0，﹣4）．【答案】（1）（﹣3，4）；（2）（3，﹣4），（2，0）；（3）16；（4）（0，4）或（0，﹣4）．【解答】解：如图，（1）过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为﹣3，因此点B的横坐标为﹣3，过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4