人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第14讲 2.1.1倾斜角与斜率（含解析）

第01讲2.1.1倾斜角与斜率课程标准学习目标①理解直线的倾斜角与斜率的概念。②掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义.。③了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系。④会用两点坐标求直线的斜率。⑤在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围.知识点01：直线倾斜角的定义以SKIPIF1<0轴为基准，SKIPIF1<0轴正向与直线SKIPIF1<0向上的方向之间所成的角SKIPIF1<0叫做直线SKIPIF1<0的倾斜角.（1）当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为SKIPIF1<0；所以倾斜角的取值范围为：SKIPIF1<0；特别地，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直时，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0.（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.知识点02：直线的斜率我们把一条直线的倾斜角SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用字母SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0（1）倾斜角SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；（2）倾斜角SKIPIF1<0时，直线的斜率不存在。【即学即练1】（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是SKIPIF1<0，则此直线的斜率是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为直线的倾斜角是SKIPIF1<0，所以此直线的斜率是SKIPIF1<0.故选:C.知识点03：斜率与倾斜角的联系倾斜角SKIPIF1<0（范围）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0（范围）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0不存在SKIPIF1<0【即学即练2】（2023秋·天津南开·高二天津市第九中学校考期末）图中的直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，则有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由图象可得，SKIPIF1<0，故选：C知识点04：直线斜率的坐标公式如果直线经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），那么可得到如下斜率公式：SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，直线与SKIPIF1<0轴垂直，直线的倾斜角SKIPIF1<0，斜率不存在；（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；（3）当SKIPIF1<0时，斜率SKIPIF1<0，直线的倾斜角SKIPIF1<0，直线与SKIPIF1<0轴重合或者平行。【即学即练3】（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．【答案】(1)存在，1(2)存在，SKIPIF1<0(3)不存在【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率SKIPIF1<0．（2）由题意得，存在，直线CD的斜率SKIPIF1<0．（3）∵SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的斜率不存在．题型01求直线的倾斜角【典例1】（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.【典例2】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）已知SKIPIF1<0是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0是直线的一个方向向量，故直线的斜率为SKIPIF1<0，设直线的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D【变式1】（2023秋·福建福州·高二统考期末）若直线SKIPIF1<0的方向向量是SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由直线l的方向向量是SKIPIF1<0得直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，设直线的倾斜角是SKIPIF1<0，故选：B.【变式2】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为__________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0所以直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行所以直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型02直线斜率的定义【典例1】（2023秋·天津滨海新·高二校考期末）已知直线的倾斜角是SKIPIF1<0，则该直线的斜率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意知：直线的斜率SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】k=tan120°=SKIPIF1<0.故选：B．【变式1】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）已知直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意可得直线l的斜率SKIPIF1<0.故选：D题型03斜率与倾斜角变化关系【典例1】（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设直线SKIPIF1<0的倾斜角分别为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．【答案】D【详解】对于SKIPIF1<0:直线的倾斜角SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0:两直线的倾斜角相等为SKIPIF1<0,斜率不存在,所以SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0:当直线的倾斜角为SKIPIF1<0时直线斜率不存在，所以SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以SKIPIF1<0正确.故选：SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中学校考期末）已知直线SKIPIF1<0经过第二、四象限，则直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0的取值范围是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】直线倾斜角的取值范围是SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0经过第二、四象限，∴直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：D.【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其对应的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列选项中错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】由题图可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知A，B，C错误.故选：ABC．题型04已知两点求斜率【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．【答案】(1)存在，斜率为SKIPIF1<0，倾斜角为SKIPIF1<0；(2)存在，斜率为SKIPIF1<0，倾斜角为SKIPIF1<0；(3)存在，斜率为SKIPIF1<0，倾斜角为SKIPIF1<0；(4)不存在.【详解】（1）解：因为SKIPIF1<0，所以经过SKIPIF1<0的直线斜率存在，所以斜率为SKIPIF1<0，设倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即倾斜角为SKIPIF1<0（2）解：因为SKIPIF1<0，所以经过SKIPIF1<0的直线斜率存在，所以斜率为SKIPIF1<0，设倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即倾斜角为SKIPIF1<0.（3）解：因为SKIPIF1<0，所以经过SKIPIF1<0的直线斜率存在，所以斜率为SKIPIF1<0，设倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即倾斜角为SKIPIF1<0.（4）解：因为SKIPIF1<0，所以经过SKIPIF1<0的直线斜率不存在，【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的直线的倾斜角是钝角，则实数SKIPIF1<0的取值范围是________．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知SKIPIF1<0．(1)求直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的斜率；(2)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（包括端点）上移动时，求直线SKIPIF1<0的斜率的变化范围．【答案】(1)直线AB的斜率为SKIPIF1<0，直线AC的斜率为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率SKIPIF1<0，直线AC的斜率SKIPIF1<0，故直线AB的斜率为SKIPIF1<0，直线AC的斜率为SKIPIF1<0.（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，直线AD的斜率由SKIPIF1<0增大到SKIPIF1<0，所以直线AD的斜率的变化范围是SKIPIF1<0．

题型05已知斜率求参数【典例1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且其倾斜角为135°，则SKIPIF1<0的值为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的斜率为SKIPIF1<0，又直线的倾斜角为135°，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：D【典例2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的斜率为1，那么SKIPIF1<0的值为（

）A．1或4 B．4 C．1或3 D．1【答案】D【详解】解：因为直线过点P(SKIPIF1<02，m)，Q(m，4)，且斜率为1，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D【变式1】（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故选：C【变式2】（2023秋·高二课时练习）过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0.【详解】因为直线的倾斜角为SKIPIF1<0，所以直线的斜率SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符合，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合，综上：SKIPIF1<0.题型06利用直线斜率处理共线问题【典例1】（2023秋·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一条直线上，则SKIPIF1<0值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．2或SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意可得SKIPIF1<0，因为A，B，C三点共线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的值为2或SKIPIF1<0．故选：D．【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能构成三角形，则SKIPIF1<0的值是________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能构成三角形，所以SKIPIF1<0三点共线，显然直线SKIPIF1<0的斜率存在，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：4【变式1】（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若三点SKIPIF1<0在同一直线上，则实数SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．12【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C.【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一条直线上，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5【答案】C【详解】因为三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一条直线上，且直线斜率存在，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故选：C题型07求斜率或倾斜角的取值范围【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交，则直线SKIPIF1<0的斜率取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】如图所示：

若直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率取值范围是SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角的取值范围是__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】如图：

当直线l的斜率SKIPIF1<0，直线l的倾斜角的取值范围为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且与以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为端点的线段相交，则直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围是__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】如下图所示：设过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴垂直的直线交线段SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0移动到点SKIPIF1<0（不包括点SKIPIF1<0）的过程中，直线SKIPIF1<0的倾斜角为锐角，此时，SKIPIF1<0；当点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0（不包括点SKIPIF1<0）移动到点SKIPIF1<0的过程中，直线SKIPIF1<0的倾斜角为钝角，此时，SKIPIF1<0.综上所述，直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例4】（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）经过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0与连接点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的线段总有公共点，则直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0的取值范围是__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0有公共点的直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又直线倾斜角的范围是：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线l的倾斜角的范围为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【变式1】（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考开学考试）已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0,且与线段SKIPIF1<0相交,则直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【详解】画出图像,如图:SKIPIF1<0SKIPIF1<0结合图像可知,要保证线段SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交需满足斜率SKIPIF1<0的取值范围:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故选:D.【变式2】（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上一动点，则直线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0的变化范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】如图所示，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上一动点，所以直线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0的变化范围是SKIPIF1<0.故选：D.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0；综上所述：直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0故选：B【变式4】（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）已知直线斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么倾斜角SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：直线l的斜率为k，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.故选：B.题型08斜率公式的几何意义的应用【典例1】（2023·全国·高二专题练习）若实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则代数式SKIPIF1<0的取值范围为______【答案】SKIPIF1<0【详解】如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，可表示点SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0连线的斜率，由图象可知，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0所成直线的斜率SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0部分图象上的动点，如图所示：可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；故设SKIPIF1<0而SKIPIF1<0可看作函数SKIPIF1<0的图象上的点与点SKIPIF1<0（-1，-2）连线的斜率，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0故选：B.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·江苏·高二假期作业）若直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为（）A．0° B．30°C．60° D．90°【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0两点的纵坐标相等，所以直线SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴，所以直线SKIPIF1<0的倾斜角为0°．故选：A2．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若SKIPIF1<0是直线l的倾斜角，则SKIPIF1<0；②若直线倾斜角为SKIPIF1<0，则它斜率SKIPIF1<0；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】对于①：若SKIPIF1<0是直线的倾斜角，则SKIPIF1<0；满足直线倾斜角的定义，则①正确；对于②：直线倾斜角为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，它的斜率SKIPIF1<0；倾斜角为SKIPIF1<0时没有斜率，所以②错误；对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为SKIPIF1<0时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.3．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）若直线经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由直线经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，可得直线的斜率为SKIPIF1<0，设直线的倾斜角为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，…，9）均为SKIPIF1<0，拉索下端相邻两个针的间距SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，…，9）均为SKIPIF1<0．最短拉索的针SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则最长拉索所在直线的斜率约为（

）（结果保留两位有效数字）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】依题意，以直线SKIPIF1<0为x轴，直线SKIPIF1<0为y轴建立平面直角坐标系，如图，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由对称性得直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以最长拉索所在直线的斜率约为SKIPIF1<0.故选：C5．（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．－6 B．－4C．0 D．6【答案】C【详解】直线经过两SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，．又直线的倾斜角为SKIPIF1<0，斜率一定存在，则直线的斜率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：C．6．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0，那么“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由直线的斜率SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件，故选：A7．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的图象，如图所示：由此可得SKIPIF1<0.故选：A.8．（2023·全国·高三专题练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（

）A．0° B．1° C．2° D．3°【答案】C【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.故选：C二、多选题9．（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）在下列四个命题中，错误的有（

）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是SKIPIF1<0C．若一条直线的斜率为SKIPIF1<0，则此直线的倾斜角为SKIPIF1<0D．若一条直线的倾斜角为SKIPIF1<0，则此直线的斜率为SKIPIF1<0【答案】ABCD【详解】对于A：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为SKIPIF1<0，斜率不存在，所以A错误；对于B：直线倾斜角的取值范围是SKIPIF1<0，所以B错误；对于C：一条直线的斜率为SKIPIF1<0，此直线的倾斜角不一定为SKIPIF1<0，如SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，它的倾斜角为SKIPIF1<0，所以C错误；对于D：一条直线的倾斜角为SKIPIF1<0时，它的斜率为SKIPIF1<0或不存在，所以D错误.故选：ABCD10．（2022春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的直线的倾斜角SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】ABC【详解】由题可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，结合选项可得实数SKIPIF1<0的可能取值有11,12,13，故选:ABC.三、填空题11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0向上的方向所成的角为SKIPIF1<0，如图，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为________．

【答案】SKIPIF1<0【详解】设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0向上的方向所成的角为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.12．（2023·全国·高三专题练习）过原点的直线l与曲线SKIPIF1<0交于不同的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，与曲线SKIPIF1<0交于C，D两点，则直线CD的斜率为__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．四、解答题13．（2023·全国·高二专题练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）A(0，-1)，B(2，0)；（2）P(5，-4)，Q(2，3)；（3）M(3，-4)，N(3，-2).【答案】（1）斜率SKIPIF1<0，倾斜角是锐角；（2）斜率SKIPIF1<0；倾斜角是钝角（3）斜率不存在，倾斜角为90°.【详解】解：（1）kAB=SKIPIF1<0，因为kAB>0，所以直线AB的倾斜角是锐角.（2）kPQ=SKIPIF1<0，因为kPQ<0，所以直线PQ的倾斜角是钝角.（3）因为xM=xN=3，所以直线MN的斜率不存在，其倾斜角为90°.14．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0有公共点．(1)求直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范围；(2)求直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0有公共点，所以由图可知直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．

（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角之间，因为直线SKIPIF1<0的倾斜角是SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．B能力提升1．（2023·江苏·高二假期作业）坐标平面内有相异两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是相异两点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设直线的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，倾斜角SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0，倾斜角SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0故选：B2．（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在线段AB上，则SKIPIF1<0的取值范围（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：A.3．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0可看作SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为点SKIPIF