江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

2025届高二年级第三次月考数学试卷11.16命题人：黄漪卉审校人：潘华彬一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为（

）A． B． C． D．2．设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则是（

）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3．直线的倾斜角为，斜率为，若的取值范围是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．三棱柱中，为棱的中点，若，则（）A． B．C． D．5．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程（）A．B．C． D．6．在三棱柱中，为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若平面，则为（）A．棱的中点B．棱的中点C．棱的中点D．棱的中点7．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连结BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．8．已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（每小题5分，多选或错选不给分，漏选得2分）9．已知曲线C：，则下列命题中为真命题的是（）A．若，则C是圆B．若，且，则C是椭圆C．若，则C是双曲线，且渐近线方程为D．若，则C是椭圆，其离心率为10．如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M、N分别为侧棱、的中点，O是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的（）A．平面 B．平面平面C．D．平面11．以下四个命题表述错误的是（

）A．直线恒过定点B．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于C．曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为D．已知圆为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为12．已知曲线：，则（）A．曲线围成的面积为B．曲线截直线所得弦的弦长为C．曲线上的点到点的距离的最大值为D．曲线上的点到直线的距离的最大值为三、填空题（每小题5分，共20分）13．已知分别是双曲线的左右焦点，若，则_________14．将一边长为和的长方形沿折成直二面角，若在同一球面上，则V球：VA-BCD15．已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是16．已知圆C：，点，在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，则点B的坐标为四、解答题（17题10分，18~22题每小题12分）17．（10分）已知点、；（1）求线段的垂直平分线的直线方程；（2）若点、到直线的距离相等，求实数的值．18．（12分）已知直线和圆；（1）若直线交圆于两点，求；（2）求过点的圆的切线方程19．（12分）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为；（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程．20．（12分）已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）．（1）求证：；（2）求点与平面的距离．21．（12分）如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，；（1）证明：平面平面；（2）若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．22．（12分）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为；（1）求轨迹的方程；（2）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D．且，设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．2025届高二年级第三次月考数学试卷答案1、B2、B3、D4、D5、C6、B7、A8、C9、BC10、ABC11、BD12、ABD13．14．15．16．17．【详解】（1）解：线段的中点为，，故线段的中垂线的方程为，即.（2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，若线段的中点为在直线上，则，解得；线段所在直线与直线平行，则，解得．综上所述，或.18．解:（1）由题意，将圆C化为标准方程，得x可得圆心为，半径??????由垂径定理得（2）①当直线斜率不存在时，直线方程为，该直线是圆的一条切线，符合题意②当直线的斜率存在时，由直线经过点，设直线方程为，化简得，直线与圆相切，圆心到直线的距离为，即，解得，此时切线方程为，化简得；综上所述，所求切线有两条：与19．【详解】（1）解：因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得，所以，双曲线的渐近线方程为，即，因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，解得，所以，所以双曲线的方程为.（2）解：若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，设、，设直线的斜率为，则，则，所以，化简得.因为线段的中点为，所以，，所以，解得，直线的方程为20．【详解】（1）如图，取AB中点O，连接交于,∵为等边三角形，∴，又∵平面平面，平面，平面平面，故平面，而平面，∴，又∵,，∴.∴，又∵平面,平面,，∴平面，∵平面，∴.（2）设点与平面的距离为，∵ABCD是正方形，△PAB为等边三角形，∴,，又∵平面平面，平面，平面平面，故⊥平面，而平面，所以，，∴在中，，∴,则易得，由（1）知，平面，∴为三棱锥的高，∴又∵，得.故点与平面的距离为.21.【详解】（1）为等边三角形，，又四边形为梯形，，则，根据余弦定理可知，在中，根据勾股定理可知，，即，平面，平面，又平面平面平面；（2）为中点，，由（1）可知，平面平面，又平面平面平面，平面，连接，则，且平面，故，所以PO，BD，OC两两垂直．以O为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向建立空间直角坐标系，

则，设且，则，由三棱锥的体积为得：，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，则，故，设平面的一个法向量为，则，令，则，故．所以平面与平面的夹角余弦值为：.22.【详解】（1）由已知圆可化为标准方程：，即圆心，半径，圆可化为标准方程：，即圆心，半径，，经分析可得，，则.由题意可知，两