《微积分》第二章-函数的极限与连续-21数列的极限课件

第二章函数的极限与连续§2.1数列的极限§2.2数项级数的基本概念§2.3函数的极限§2.4极限的性质和运算法则§2.5无穷小量与无穷大量§2.6极限存在的准则与两个重要极限§2.7函数的连续性§2.8函数的间断点1正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽(魏晋时期—公元3世纪杰出的数学家)一、概念的引入§2.1数列的极限22、截丈问题：战国时期哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”把每天截后剩下部分的长度记录如下（单位：尺）：31.定义二、数列及其简单性质

例如4注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数52.数列的表示法公式法图示法表格法运用数轴表示运用直角坐标系表示n12….n….xnx1x2….xn….6介绍几个数列xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……例17…xnx2x1x0x3…••••••••••801–1x所有的奇数项所有的偶数项9x1M3x1xx4x2••••••••••0所有奇数项101xnx3x2x1x0………••••••••••…11(1)数列的单调性3.数列的性质12(2)数列的有界性的定义几何意义：()x0M－M••••••••••13例2…xnx2x1x0x3…••••••••••观察例1中的几个数列：1401–1x15x1M3x1xx4x2••••••••••0161xnx3x2x1x0………••••••••••…17xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……有些数列虽然无界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.18例3即-1，1，-1，1…当n无限增大时，1920212223242526272829303132结论：

当n“无限增大”时,数列的变化趋势有三种情形：

“无限接近”某个常数A。数列极限的直观描述:

对于数列和常数A，如果当n无限增大时,无限接近A，则称该数列收敛于A或以A为极限。问题：（1）如何严格描述两个“无限”？（2）如何用准确的数学语言来描述一个判断法则？

三、极限的直观定义

无限增大；

的变化趋势不定；33对数列(2)的实质1、必须101001000结论：条件：对使得当n>N时,恒有

成立。四、精确定义时，无限接近1

342、定义则称数列{an}在n→∞时以常数A为极限。也称数列收敛于A。记否则说数列发散。当n>N时,有对于数列{an}及常数A,如果(“ε—N”语言)353、注意：（2）而N与ε有关。一般ε越小,N越大;数列的极限与前面有限项无关。（3）极限研究的是数列在无穷远处的动态变化趋势，与数列中的某一具体项无关。（1）定义中ε是用来刻划an与A的接近程度的;an与A要多么接近就有多么接近。（4）极限是一种新的运算，它的运算对象是数列，是一种“无限”、“动态”运算。36不等式|an-A|<ε(n>N)可改写成A-ε<an<A+ε(n>N),则4、几何意义若把an

看成数轴上的点,在数轴上任意取定A的ε邻域,aN

以后的所有点都落在A的ε邻域内.••••••••A+εAA–ε37••(2)若把(n,an)看成平面上的点,在平面上取两直线y=A–ε

和y=A+ε;当n>N时,所有点(n,an)都落在两直线所形成的带形区域内.如图•••••••••••••••••••••••••••••••••A–εA+εANno38例4用数列极限定义证明394041五、性质1、收敛数列的极限唯一2、收敛数列必有界.3、(保号性)若则有：42例如,数列取奇数项:取偶数项:都是(1)的子数列.又如,取奇数项:取偶数项:4、子数列及其敛散性都是(2)的子数列.1111-1在数列中任意抽取无限多项，先后次序，称为原数列的一个子数列.并保持这些项在原数列中的这样得到的一个数列，43收敛数列与其子数列的关系：(1).逆命题不成立.(2).逆否命题成立.,则它的任一子数列也收敛于收敛于如果数列注意子数列发散的数列一定发散子数列收敛的数列未必收敛44例如,数列例如,数列结论：45证明*：必要性：充分性：46

微积分的概念常常是由局部到整体然后再从整体回到局部（如子数列问题，左右极限、连续、导数问题，整体区域与部分区域的连续和积分问题）,所以在微积分的证明和计算中常常是将整体问题